Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.djvu), страница 2

Достаточна большое внимание уделяется прикладному комментарию к некоторым теоремам. Этим формируется своеобразное «прикладное мировоззрение» читателя, ею будущие взаимоотношения с теоретическими исследованиями. Дело в том, что алгоритм приближенного решения сложной задачи математической физики практически никогда не бывает строго обоснованным в том смысле, который придает этому слову математика. Полезные теоретические результаты, как правило, относятся к выделенным из него идеализированным фрагментам.

Использование строгих результатов в практической вычислительной работе — своего рода искусство, в котором результат оправдывает средства. Это характеризует «вычислительную физику» как науку, в значительной мере экспериментальную. Ее взаимоотношения с чистой теорией достаточно сложны н неоднозначны.

Вторая часть книги точнее соответствует содержанию, термина «вычнслительная физика». В ней собраны описания методов приближенного решения частных задач, имеющих, однако, важные области приложения в современной науке и технике. Каждый параграф посвящен одной из таких задач. Принят следующий способ изложения. Вначале дается замкнутая математическая формулировка задачи, указывается ее «прикладное происхождение»». Физическая терминология используется для «оживления» изложения, но никакого физического обоснования постановки задачи не проводится — это дело физика, а не вычислителя.

При этом указываются те особые обсгоятельсгва, которые делают задачу нестандартной, требующей разработки специальных вычислительных методов. Затем описывается метод приближенного решения, оказавшийся достаточно эффективным. Основное внимание уделяется именно тем деталям метода, которые учитывают специфическую нестандартность данной задачи и которым метод обязан своей эффективностью. Попутно обсуждаются те трудности, с которыми сталкиваются прн стандартном подходе к задаче (формально не только возможном, но иногда даже строго обоснованном). В некоторых случаях приводятся и обсуждаются характерные численные результаты. Стандартные детали вычислительной методики описываются бегло, а иногда и совсем опускаются. Материал второй части книги несет двойную нагрузку.

Во-первых, описываемые задачи достаточно интересны в приложениях и опыт нх успешного решения представляет прямой интерес в связи с задачами именно этого типа. Во-вторых, разработка эффективного ПРЕДИСЛОВИЕ алгоритма частной задачи обычно связана с использованием приемов, имеющих более широкое, выходящее за рамки данной задачи значение. Автор предпочитает знакомить читателя с такими приемами на примерах конкретных задач, в которых они были использованы с большим эффектом. Есть и другой путь — выделить эти приемы как отдельные самостоятельные сюжеты, дать абстрактное описание ситуаций, в которых их применение целесообразно.

Подобный способ изложения представляется нам чуждым духу вычислительной физики. Отметим некоторые технические детали изложения. Текст книги разбит на параграфы, каждый из которых имеет свою нумерацию формул. При ссылке на формулы другого параграфа используется двойной номер (параграфа и формулы). Впрочем, автор стремился свести к минимуму подобные ссылки. В тексте опускаются и библиографические ссылки. Этот недостаток компенсируется библиографическим комментарием, тем более необходимым, что во многих местах излагаются результаты, еще не вошедшие прочно в учебную литературу и часто освещенные лишь в журнальных, а то и ротапринтных публикациях.

Курсивом в тексте выделены общеупотребительные термины вычислительной математики. Оба курса, на основе которых написана эта книга, читались по предложению академика О. М. Белоцерковского, много сделавшего для внедрения компьютерных наук в «систему физтеха». Пользуюсь случаем высказать Олегу Михайловичу свою искреннюю благодарность. Автор должен отметить и неоценимое влияние, оказанное на него коллегами по Институту прикладной математики им, М. В. Келдыша. Нет возможности упоминать их здесь, автор постарался должным образом отметить их вклад в развитие предмета книги в библиографическом комментарии к списку литературы.

Это будет полезно и для будущих историков науки, которым рано или поздно предстоит изучать историю становления отечественной вычислительной математики. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В 1. Решение систем нелинейных уравнений В самых различных задачах вычислительной физики часто возникает необходимость решать системы нелинейных уравнений.

Такую систему будем записывать кратко в виде у(х) = О, имея в виду, что х есть точка л-мерного пространства, т.е. х = = (х„хм ..., х„), а у — л-мерная вектор-функция, т.е. = У,, ~з, ..., Я. Таким образом, (1) есть система л уравнений с л неизвестными: /~(хп хм ..., х ) =О, (2) Т'„(х,, х, ..., х„) = О.

Конечно, когда речь идет о нелинейных уравнениях в общем случае, мы не имеем ни теорем о существовании, ни теорем о единственности решения. Тем не менее, имея дело с системой (1), мы предполагаем, что искомое решение существует. Оно, быть может, не единственно, н методы, которые будут рассмотрены ниже, не имеют целью найти все решения; обычно достаточно будет какогото одного. Более того, мы предполагаем, что из каких-то содержательных соображений нам известно примерное расположение этого решения, некоторая не очень большая область, в которой оно находится. Таким образом, лучше говорить не о решении системы нелинейных уравнений, а об уточнении имеющегося весьма грубого приближения к некоторому решению.

Ниже это будет должным абразом конкретизировано. Метод Ньютона. Основная вычислительная конструкция, применяемая для решения системы (1), по традиции приписывается Ньютону, хотя теоретические исследования этого алгоритма были выполнены лет на сто позже (Фурье, Коши).

Основу метода состав- |о ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ лает фундаментальная для вычислительной математики конструкция — метод итераций (последовательных приближений) и линеаризация уравнений. В методе Ньютона, начиная с некоторого начального приближения хО, последовательно находится точки х', хз, ..., х", ... таким образом, что 11ш Г(хе) = О, а 1нп х« = х", где х* — решение систе- В мы (1).

Нужно только иметь в виду, что вычислительную математику интересует не только факт сходимости, но и скорость скодимости. Метод Ньютона особенно ценен тем, что обеспечивает очень высокую, как говорят, «квадратичную» скорость сходимости (точный смысл этого термина выяснится позже, после доказательства соответствующей теоремы) . Рассмотрим стандартный шаг итерационного процесса метода Ньютона.

Пусть имеется некоторое уже найденное приближение х«; следуюгдее приближение хе+' ищем в виде х"«' = х'+ Ьх, где Ьх — малая поправка, уточняющая х«. Для ее определения выпишем уравнение /(х" + Ьх) = О. Само по себе оно не проще исходного уравнения (1 ), но, используя предположение о малости Ьх, его можно лииеаризовальь, т.е. использовать разложение У по Ьх с точностью только до членов первого порядка: ~(х" + Ьх) =/(хе) +/„(х") Ьх+ О(ЦЬЛЦ~). Пренебрегая членами О(ЦЬхЦВ), получаем линеаризованное уравнение для Ьх: У(хе) + У„(х") Ьх = О, (3) которое уже решаешься, н можно выписать его явное решение: Ьх = — У„'(х«) У(хе), Итак, алгоритм метода Ньютона (МН) имеет следующую форму: 1) имеется некоторое уже найденное приближение х; 2) вычисляются вектор Г(х) и матрица /„(х); 3) решается система (линейных) уравнений (3); 4) пересчитывается приближенное решение х НВ х+ Ьх.

Далее процесс повторяется циклически до получения достаточно малой величины Щх) 11. Прежде чем перейти к теоретическому исследованию, рассмотрим некоторые связанные с методом вопросы. 1. Что такое /,? Это есть производная вект'ор-функцин по векторному аргументу. Точный смысл /„ определяется первым членом Решение снстем нелинейиых уРАВнений ряда Тейлора У(х + Ьх) У(х) + У„(х) Ьх. Это — векторная форма запнся отрезков ряда Тейлора для всех л функций: дУ' дУ' ау1 Ях! х ) + а Ьх1 + а Ьхз + + а Ьх н ау„а/„ау„ у'„(х„..., х ) + — Ьх, + — Ьхз+ ...