Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.djvu), страница 10

Но чтобы это можно было сделать, надо вырабатывать и сохранять соответствующую инфармацию (в виде некоторых таблиц), Задача вычисления и(х, у) является, как нетрудно понять, одной из типичных, наиболее массовых задач при содержательном истолковании решения, полученного методом конечных элементов в виде таблицы (и«) значений функции в узлах сетки. Ведь нас интересует, что происходит в той или иной точке именно исходного геометрического пространства (х, у).

Выше были приведены характерные геометрические задачи, которые легко решаются, если мы имеем перед собой чертеж триангуляции, на котором около каждого узла указан его номер в, а в каждом треугольнике — его номер т. Алгоритмизация, т.е. перевод этих «интуитивно» очевидных способов решения на чисто цифровой способ задания и обработки информации, — увлекательное и часто очень непростое занятие, особенно если строятся не просто принципиально верные алгоритмы, а, например, оптимальные по числу операций.

Реализация метода конечных элементов, не содержащая на первый взгляд серьезных трудностей, в действительности требует решения большого числа вспомогательных задач (некоторые из них были указаны выше). Кроме того, метод конечных элементов требует и достаточно больших объемов оперативной памяти ЭВМ. Этим в известной мере объясняется тот факт, что развитие и широкое внедрение в расчетную практику метода конечных элементов произошло в США, хотя основополагающие теоретические работы в этой области принадлежат чешскому математику М. Зламалу.

основы вычислительной мьтемлтики Некоторые сведения о полиномах Чебышева. Как зто принято в теории аппрокзимацин, будем рассматривать стандартный интервал изменения независимого переменного ( — 1, 1]. Полиномом Чебышева, или полнномом наименее уклоняющимся от нуля, степени р называют полипом, реализующий шгп (шах ]Т (!)]). -гага! Здесь пйп берется по всем полиномам степени р, нормированным условием: козффициент при ГР равен единице. Иногда зту задачу трактуют и как задачу наилучшей (в норме С) аппроксимации функции ГР полиномом степени не выше р — 1, Чебышевым была указана явная формула Т (!) = —,соз (рагссоз г].

(14) Правая часть, несмотря на тригонометрическую форму представления, в действительности является именно полиномом от ! степени р. Если нас интересует полипом, наименее уклоняющийся от нуля на произвольном интервале 1а, Ь], следует сделать замену переменных а+Ь Ь вЂ” а 2 / а+Ы х= — + — / г= — х —— 2 2 ' Ь-а ~ 2 которая переводит интервал — 1 и ! к 1 в а к х и Ь. Очевидно, Множитель ](Ь вЂ” а)/2]Р введен для сохранения нормировки: коэффициент при хг в тр(х) равен единице. Легко вычислить корни полинома Чебьппева, используя его тригонометрическое представление (14): 22 — 1 2 Р Для /г = 1, 2, ..., р получаем разные корни. Их значения имеют простую геометрическую интерпретацию: полуокружность единичного радиуса нужно разделить на 2р равных частей и из каждой нечетной тачки деления опустить перпендикуляр.

Отметим, что плотность корней повышается на концах интервала [ — 1, 1]. Корни чебышевского полинома на произвольном интервале (а, Ь] суть а+Ь Ь-а 22-! х = + — сов — и. 2 2 2Р Полиномы Чебьппева являются хорошим базисом в пространстве функций, заданных на каком-то интервале, для определенности на ИИТИРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ зз1 1 — 1, 1]. Базис — важное понятие в приближенных методах. Напомним, что это система функций, обладающая свойством полноты, т.е. другие функции можно сколь угодно точно представлять конечными суммами (линейнимн агрегатами) функций базиса с числовыми коэффициентами. Кроме свойства полноты, с практической точки зрения важна «цена» (в числе операций) вычислений функций базиса, С этой точки зрения удобен степенной базис (1, г, гз, ..., гл, ...).

Он является полным. Полипом с коэффициентами а„, аи ..., а„вычисляется достаточно просто, Обозначая частичные суммы через З =~ аРГ'", Р-Ь полипом зз вычисляем рекуррентно: Зь-1 = Пь-1 + Рзь К =а, л л т.е. за л сложений и л умножений. К сожалению, степенной базис обладает серьезным дефектом: он плохо обусловлен. Плохими являются такие базисы, элементы которых котя и линейно независимы, но очень «похожи» друг на друга. Рисунок б поясняет, что имеется в виду.

Точка А в плохом базисе имеет представ- л ление а,~р, + азуз с очень большими, противоположными по знаку и близкими друг к другу по модулю коэффициентами ап ИЗ. Вычисление такой суммы сопровозкдается уже знакомым нам неприятным явлением — сокращением знаков. Итак, плохой базис — это «сплюснутый» базис. Есин читатель потрудится «нарисовать» графики функций г, гз', ..., Узз, едва ли он отличит нх друг от друга, н это заставит его насторожиться. Если читатель сможет найти аппроксимацию какой-либо нормальной функции полнномом высокого порядка, он увидит, что коэффициенты растут очень быстро при повышении степени (т.е. при уменьшении погрешности аппроксимации).

При не таких уж больши:с степенях (прн р, равных 20, 30, 40) они достигают столь больших величин, что вычисление полинома на ЭВМ, имеющей 10 — 15 десятичных знаков в мантиссе машинного числа, оказывается невозможным из-эа полноуь потери точности. Вспомннм, что совсем не так ведут себя коэффипзгеитм разложения какой-либо,функции по такому хорошему базису, как тригонометрический: коэффиппеатн Фурье «честно» убывают в соответствии со степенью гладкости функции.

Хорошими базисами являются ортогональные нли близкие к ним. Это одна нз причин, определяющих основы зычислитзльноа мАтвнлтнки большую роль различных ортогональных систем функций в ириближенных мепщах. Полиномы Чебышева с этой то шн зрения хороши, Ови образуют ортогональную (правда, в специальной метрике с весом) систему функций: 1 ~ ть(с) т (с) ~ — '~ —— б'. -! Полиномы Чебышева близки к известному хорошему базнсу— тригонометрическому и, в сущности, совпадают с ним с точностью до замены независимого переменного х = агссоз С.

Дело'стало только за «ценой» вычисления Тг(с). Но и здесь ситуация достаточно блаюпрнятиая: существует удобная рекуррентная формула, позволяющая очень дешево вычислить в какой-то точке с последовательность Т (с), т,(с), ...: т,(с) = 1, т,(с) = с, ..., ть+ (с) 2с ть(с) — ть,(с). и Таким образом, вычисление ~ аь т„(с) стоит, как нетрудно под*-о считать, примерно 2р умножений и 2р сложений. $4. Вычисление определенных интегралов Речь пойдет об одной из самых распространенных в анализе опера- ций — вычислении определенного интеграла $У(с) й.

Весьма общий подход состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию /(с) какой-то другой функцией 7(с1, для которой интеграл вычисляется аналитически. Итак, строим с'(с) с оценкой 1Лс) — 7(с)! % с, 'с с е [а, а), и полахаем приближенно ь ь $дс) ссж~7(с) й с очевидной оценкой погрешности з(Ь вЂ” и). Введем на (а, Ц сетку (сь)„"„в и таблицу У„)„" о, являющуюся ограничением подынтесральной функции 1 на сетку. Рассьн)трим несколько шюстйх вариантов 'построения /, приводящих к широко распространенным формулам. 49 Ь 41 вычнсленне опгеделенных ннтепллое 1. Функция г(г) строится как кусочно-линейная интерполяция [у'„)» на равномерной сетке с шагом т = (Ь вЂ” а)/Ф.

Очевидно, что ~ 7(г) ~й = ',~ 0.5 (у„+ У„,.,) т = О а о =т(05уо+У~+Уг+" +Ум-1+05ун). Эта формула известна как Формула транедий. Формулы такого сорта ф С„У„) называют мехпническими квадратурами, ф— коэффициентами (весами) квадратуры, г„— ее узлами. Точность формулы трапеций зависит от гладкости У. Если У ~е Ир(С), то 1 У(г) — /(г) ) «0.5Ст и погрешность формулы трапеций не превосходит 0.5Сг(Ь вЂ” а). Если У на 1а, Ь1 имеет вторую производную, ограниченную числом С, то линейная интерполяция на каждом малом интервале есть интерполяциоиный полипом первой степени: ~Дг) — 7(г) ~ ц 0 5ггС и погрешность формулы трапеций не превосходит 0.5тгС(Ь вЂ” а).

2. Еше более популярна формула Симпсона. Она так же строится на основе равномерной соски, содержащей четное число интервалов. Находится таблица Д„)~"' и У(1) строится как кусочно-квадратичная интерполяция, т.е. на каждой паре интервалов (гг„, гг„~н гг„+г) по значениям гг„, угв+„уг„~г строится интерполяционный полипом Лагранжа второй степени. Несложные выкладки дают аде ( у(г)д~=ъ-, у„+4!„„, +у„„). Суммируя для и= О, 1, ..., Ф вЂ” 1, получаем ь и-1 ~7(1) Ы=-, '~(У +4У „+У „) = а -о = з Уо + 4А + юг+ 4уз + " + ага-г + ага-1 + Угн) Формула легко запоминается, ее точность легко оценивается, Если функция у имеет третью производную и ~ У"'(г) ~ ц с, то ~ 7(г) — У(г) ~ ц Стг/3 и иогрелпюсть формулы Симпсона не превосходит Ст (Ь вЂ” а)/3, т= (Ь вЂ” а)/2М.

Однако теоретические оценки не очень популярны среди прахтнков.'Если нужно вычислить' интеграл с погрешностью е, то мало кто основы вычислительной млтвмлтнкн 1ч. г сначала оценит третью производную функции у и вычислит шаг сетхи т ° ((Зе/С(Ь вЂ” ' а))) ог. Дело, конечно, в том, что сама оценка завышена и тем более завышена константа С, особенно если функция У задана сложным алгоритмом. Поступают иначе. Вычисляя интеграл с небольшим числом узлов (М= 2 + 3), получают число Ю,; вычисляя интеграл с удвоен- Ч'вблнпа 5 ным У, получают, 5, Ясли модуль ~5 „— 5,~ с,е, число 5 считают ответом с требуемой точностью.

В прот(явном случае вычисляют еще 5р, и сравнивают ~5г,„— 5гл~ %~в, и т.д. Нужно иметь в виду, «то для гладких функций у ча интеграл вычисляется очень~ точно при неожиданно малом~ числе узлов. Поясним на конкретном примере полезный прием, позволяющий заметно повысить точность ответа, когда известны 5н, 5 „, ... (это так называемая экстраполяция Ричардсона).

Вычислим, например, г ~ е" ~й = ег — 1 = 6.389056098. о В табл. 5 представлены (У„) и коэффициенты квадратур Симпсона С„для Ф, равных 1, 2, 4. По таблице легко вычисляются значения Ю = б 420727761 Яг = 6.391210176 5з = б 3891937. Относительные погрешности этих величин суть 0.5, 0.03, ОЛ)02 7,'. Для многих инженерных приложений даже погрешность 0.5 % считается малой. Экстраполяция Ричардсона.