Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.djvu), страница 14

Здесь 2' — искомый элемент- некоторого функционального пространства Х, г — некоторый заданный элемент пространства Г, Š— оператор, отображающий Х в г (зг мы будем называть иногда «правой частью уравнения»). Приближенное решение задачи (1) тем или иным способом сводится к решению уравнения Е,,(х,) = Я',. (2) Здесь х, — искоммй элемент некоторого конечномерного пространства Х„г; — элемент другого конечномерного пространства Р„ 1., — оператор, отображающий Х, в Рк По существу (2) есть конечная система (вообще говоря, нелинейных) уравнений. Поясним смысл индекса Б (символ «сетки» в обобщенном смысле слова).

Наличие индекса Б связано с тем, что в теории численных методов мы имеем дело не с одной задачей (2), а с бесконечной последовательносп ю задач, с целым семейством, Б — параметр семейства (который может быть не только скалярным, но и векторным). При интегрировании задачи Коши в роли параметра выступает шаг сетки т. Нас будет интересовать предельный переход прн Б- О, т.е. точное решение в* задачи (1) должно быть пределом решений систем (2) при Б О.

Однако еще предстоит ввести процедуру сравнения в' и х,, ведь это элементы разных пространств. Следующий элемент приближенного метода — некоторый оператор Р,, отображающий Х в Х,. Мы еще вернемся к обсуждению этого оператора. Можно вычислить элемент л.', = Р,Д' Е Х, и подставить его в уравнение (2). Конечно, .и', не удовлетворяет уравнению (2), и появляется новый важный объект — невязка, или погрешность аппроксимации, г, =* Ь,(д',) — Я г (3) Теперь можно установить связь между уравнениями (1) и (2).

Пока что у них не было ничего общего, кроме использования одинаковых букв (Е, .г и т.д.). з — 1ззз ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТВЛЬНОй МАТВМАТИКИ [Ч. 1 66 Определение 1. Говорят, что семейство задач (2) аппроксимирует уравнение (1), если [[г,[[ - О при х -» О. (4) Если, кроме того, установлена оценка [[г,[[ Н С, [ г ~[г (С, не зависит от з), (5) говорят„что аппроксимация имеет порядок р по ж В общем случае г есть набор малых параметров, а р — соответствующий набор показателей. Отметим важное требование: оценка (5) — равномерная на семействе 'задач (2), т.е. С, — универсальная для всего семейства постоянная. Если имеет место факт аппроксимации, значит уравнения (1) н (2) уже имеют между собой много общего, так как решение исходной задачи (1) в некотором смысле является «почти решением» уравнения (2).

)Аадьнейшее основано на следующем соображении. Приближенное решение х, и образ точного решения Я', удовлетворяют близким уравнениям: одно — уравнению (2), а второе — почти такому же уравнению, но с мало измененной правой частью (тем меньшей, чем меньше г): Е,(Я;) =Я;+ г,. 2.(х) ~'" =1~ г (у) — Я =![ следует [[х, — у [[ н Сз([[ЦД + ~[»[,[[). (Здесь подчеркнем равномерность оценки: Сз ие зависит от х.) И наконец, дадим еще одно определение. Определение 3.

Говорят, что приближенное решение х, задачи (2) сходится при г- О к решению исходной задачи (1), если [[х,— й',[[- О при г- О. Если установлена оценка [[х, — 2',[[ч С[В[« (С не зависит от г), говорят, что сходимость имеет порядок т. Выше мы ввели три фуш[аментальных понятия теории приближенных методов: аппроксимация, устойчивость и сходнмость. Связь Можно надеяться, что нх решении х, и .и; мало отличаются друг от друга.

Для того чтобы зто было так, нужно предположить семейство' задач (2) устойчивым в следующем смысле. О п р е д е л е н и е 2. Говорят, что семейство задач (2) устойчиво, если из отношений з 61 Авст»Акти»я «огмл пгизлижевного мвтодА между ними устанавливает теорема «аппроксимация + устойчивость =» сходимость». Т е о р е м а. Пусть приближенная задача (2) аппроксимнрует исходную задачу (1) и семейство задач (2) устойчиво. Тогда приближенное решение х, сходится к решению исходной задачи и'. Если аппроксимация имеет порядок Р по з, то и сходимость имеет тот же порядок. Доказательство. Приближенное решение х, находится из уравнения ь,(х,) — Я, = О, а образ точного решения Я; = Р,З'— из уравнения С,(В',) — Я', = г,, причем в силу аппроксимации ~~ г,11 и С, ~ з ~ г.

Тогда из предположения об устойчивости немедленно следует (б) «Доказательство» закончено. Заметим, однако, что здесь есть еще один вопрос: что нам дает оценка (б)2 Ведь нас интересует связь между х, (это то, что вычислитель имеет, если он умеет решать задачу (2)) и 2' (это то, что его интересует), Непосредственно сравнивать элементы разных пространств мы не можем. Значит, для того чтобы сходимость (б) была содержательно ценным фактом, нужно предположить какие-то важные свойства оператора Р,. Грубо говоря, он должен быть в некотором смысле «обратнммм», более того, еше и «непрерывно обратимым». Это означает, что по й', мы должны уметь восстанавливать М'.

Реально же мы будем восстанавливать функцию к' по приближенному решению х,, мало отличающемуся от Я',. Выше не случайно были использованы кавычки, так как в строгом смысле слова операторы Р, просто необратимы. Тем не менее сделанные для Р, естественные предположения о «непрерывной обратимости» в дальнейшем приобретут некоторое обоснование. Приведем простые примеры операторов Р,.

Нас больше всего будет интересовать оператор «ограничения функции на сетку» М, (см, з 3). В задаче Коши такой оператор строится очень просто. Пусть (г„)„" « — сетка на интервале [О, Т11, а в'(г) — определенная на этом интервале функция. Тогда Р,Х определяется как таблица чисел (.и'„) „«, где й'„= .и'(г„).

(Здесь з — символ сетки, или, если угодно, ее шаг т; если сетка неравномерная, то ~ «~ = шах ~ 1„+, — 1„1.) «Обратным» к Я, будет тот или иной оператор интерполяции, который по таблице (й'„) строит непрерывную функцию У(г) (разумеется, не основы вычислительной млтемлтики 68 совпадающую с 2'(О, но близкую к ней при выполнении некоторых предположений о .в'(г) ).

Рассмотрим еще один пример оператора Р,. Пусть функция 2'(г) разлагается в ряд Фурье: Я. (1) ~ С «пинг Тогда Р,Х определяется как конечномерный вектор (Св)в~ ю (Здесь под малым параметром в можно понимать 1/Ф.) «Обратный» к Р, оператор очевиден: это конечная сумма и л'(г) ~ С еы«пт Очевидно, что оба оператора Р, необратимы в строгом смысле слова (на всем пространстве функций), Но они «почти обратямы» на подпространстве гладких функций. Оператор ограничения на сетку Р,=1с, в качестве «обратного» имеет.

тот или иной интерполяционный аппарат, и смысл термина «почти обратим на гладких функциях» разъяснен в з 3. Такое его обращение сопровождается потерей информации, зависящей от вида интерполяции и гладкости функций. Во втором примере оператор Р., обратим на подпространстве конечных сумм Фурье (С = 0 при ~й~ > Ф), почти обратим (с малой потерей информации) на подпространстве гладких функций (у которых часть ряда Фурье с ~й~ > М пренебрежимо мала), Замечание 1. Внимательный читатель, наверное, обратит внимание на то, что погрешность аппроксимации, как невязка в уравнениях приближенного метода при подстановке в них Р,Х, не определена однозначно, так как эти уравнения можно записать в тривиально эквивалентных разных формах, от котормх, однако, существенно меняется невязка.

Например, уравнения метода Эйлера можно записать в таких формах: т '(х„+~ — х„) =г'(х„), х„+, = х„+ т у(х„), т [х„, — х„— т у(х„) 3 =. О, и т.д. Это одно и то же, но невязка имеет оценки О(т), О(тз), О( тз) соответственно. В принципе, здесь нет ничего страшного — ведь в теорию входит произведение оценок аппроксимации и устойчивости. Ум- 69 6 61 яесп летняя»огмя пгиелиженного методл ножая уравнение на т, мы «выигрываем» в аппроксимации, но ровно столько же проигрываем в устойчивости.

Однако принято устранять эту неоднозначность, выбирая из всех форм ту, которая в пределе т- О переходит в решаемое дифференциальное уравнение, и относительно такой нормировки считать порядок аппроксимации. Не будем давать строгих определений для абстрактной формулировки задачи. Вышесказанного достаточно, чтобы в любом, практически, случае была выбрана «каноническая» форма записи уравнений приближенного метода (имеются в виду в основном методы конечно-разностного типа). Замечание 2.

При изложении абстрактной теории мы не обсуждали вопросов выбора норм, хотя все это становится содержательной теорией только при том или ином конкретном их выборе. В каком-то смысле была изложена «инвариантная» относительно выбора норм схема теории. В нее входят разные варианты обоснования численного метода, отличающиеся выбором норм. Содержательно такие теории не все равноценны, и доказательства свойств аппроксимации и устойчивости могут в одной и той же схеме приближенного решения задачи сильно отличаться. Разумеется, мы заинтересованы в том, чтобы нз относительно слабых предположений получить возможно более сильные оценки отклонения приближенного решения от точного, Поэтому хотелось бм иметь в основном ключевом свойстве схемы — устойчивости возможно более слабую норму для погрешностей аппроксимации и возможно более сильную норму в оценке 11х, — у,11, например чтобы норма невязки 11г,)~ была аналогом какой-то интегральной нормы, а 11х, — у,11 — нормой типа С.

Поэтому не стоит удивляться„встречая разные обоснования одного и того же метода приближенного решения какого-то класса задач. Замечание 3. Использованная нами форма записи уравнения с,(Х) = Я и приближенного метода Е,(х,) = Я', не является универсальной. Можно записывать задачу в форме Ь( е', Я') = О и т.д. Предоставим читателю, если ему это покажется интересным, соответствующим образом скорректировать абстрактную форму записи приближенного метода, определения аппроксимации, устойчивости и т.п.

Нам будет достаточно и такого уровня абстракции. Замечание 4. Доказанная выше теорема «аппроксимация + устойчивость =э сходимость» применительно к методу конечных разностей установлена В. С. Рябеньким и А. Ф. Филипповым и носит их имя. В западной литературе аналогичная теорема называется теоремой Лакса. Впервые, видимо, теоремы такого типа в различных методах приближенного решения задач в функциональных пространствах доказывал Л. В. Канторович. основы вычислительной мАтвмАтики й у.