Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.djvu), страница 16

Если функция /(х, /) имеет ограниченные производные /с-го порядка (следовательно, решение .Ф'(/) производные (х + 1)-го порядка), то метод Рунге — Кутты х-го порядка имеет х-й порядок аппроксимации и к-й порядок сходимости. Однако стоит еще раз напомнить, что, кроме погрешности аппроксимации, есть еше погрешность машинного представления чисел, т.е. фактически после подстановки в разностные уравнения машинных чисел Я«„" получим — (й'"„+, — .«'„") — Р( «'„", /„, т) = О(т~) + — !.Ф' ~ с, и при т < ()2'~ с)щ«+ц результаты численного интегрирования с уменьшением шага начнут ухудшаться, а не улучшаться. Обратим внимание на то, что в теореме об устойчивости в оценке фигурирует крайне неприятный множитель ест.

Конечно, оценки очень грубы, но простые примеры показывают, что в общем случае, если, кроме условия Лившица для /, других предположений не делать, эта оценка не улучшаема. Но в важных частных случаях онз может быть намного улучшена, и зто существенно, так как часто приходится проводить численное интегрирование в ситуации, (ч. ! ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ТВ когда тгесг (к — порядок аппроксимации метода) есть величина много ббльшая требуемой точности, а попытки достичь этой точности за счет уменьшения т приводят к непосильному для ЭВМ обьему вычислений. Простые примеры более точных оценок мы сейчас получим. Рассмотрим два случая.

1. Пусть определяемая численным интегрированием система такова, что матрица А(х) = — (Е„(х) + Е'(х)) в нужном нам диапа! зоне изменения х строго отрицательна, т.е. (А(х)Ц, с) ч — а(с, Ц), »( $, х (а > О). Траекторию, в окрестности которой выполняется это условие, будем называть «устойчивой». У т в е р жд е ни е 2. Прн интегрировании устойчивой траектории методом Рунге — Кутты л-го порядка аппроксимации погрешность приближенного решения есть О(т") при всех ! > О. Утверждение будет доказано, если мы получим оценку устойчивости разностной схемы, не содержащую экспоненциального множителя типа ест. Доказан!ел»стива. Оценим сначала норму ((е+тг„)ф, (е-ьтг„)1) !!Е+ т,д !!г $ (1, Е) + гт (А1, 1) + тг(Р'„1, Л„1) =зпр ' ' " " а1 — 2та+ О(тг).

При достаточно малых т можно пренебречь величиной О(тг) и пользоваться оценкой ~~Е+ тЕ„(х))~ < 1 — С,т, С! >О. Теперь обратимся к оценке устойчивости. Как и раньше, из уравнений (2) имеем ~)х„+! — у»+!~~ И ~)(х„— у„) + т(Е(х„) — )т(у„))~~ + 2те. Оценим норму в правой части более аккуратно: Е(х) — Е(у) = Г(у+ з(х — у)) ~, «' — г(у+ з(х — у)) !(з= ~ Е„(у+ з(х — у))(х — у) в(з. исслвдовлннв скодимостн мвтодов и нгв-ютгы 1 Так как х — у= )(х — у) ~!з, то о 11(х — у) + т(Е(х) — Р(у))11 = 1 = !! ~ (Е+ тР„(у+ з(х — у)))(х — у) с(з!! ц а 1 ц ~ 11Е+ тР„!! с(з !1х — у1! ц (1 — Сг с)11х — у1!.

о В итоге мы имеем оценку 11х„~, — у„+~!! ц (1 — С~т)11х„— у„!! + 2тв. Отсюда, как н раньше, 1 — ц — С,т)" 11х„— У„!1 ц (1 — С,т)" !!хо Уо11 + 2те 1 Таким образом, 11» У 11 ц !!хо Уо11 + 2сЖ и эта оценка не ухудшается при всех п>0, Имея такую оценку устойчивости, получаем утверждение о порядке скодимости, совпадающем с порядком аппроксимации при интегрировании на сколь угодно большом интервале времени (конечно, только при интегрировании уетойчивой задачи). 2. Более интересный н тонкий результат можно получить для «не неустойчивых» систем, т.е.

для систем, у которых матрица А(х) (симметричная часть Е,) только неположительна, т.е. (АС, г) ц О, 'т' $, х. В этом случае оценка 11Е+ тР„(х) 1! находится так же, как это делалось выше; 11 Е+ тр„(х) 11 ц ! + С тз. Повторяя далее оценки для решений двух разностнык уравнений, имеем !!х„тз — уам11 ~ (1+ Стт )11х„— у„11+ 2тв, откуда уже известным способом получаем и+с т')" — ! 11х„— У„11 ц (! + Стт ) !!хо Уо11+2те Стт~ основы вычислительноя млтвмдтикн 'та Пусть теперь используется метод х-го порядка аппроксимации, т.е. е = О(т~) (й в 2). Тогда, как нетрудно понять, можно положить н и 1/тз (что соответствует времени г„= нт ж С/т); при этом (1 + Сзт~)" ж ессь Таким образом, для и и Сз/т~, Сз = О(1), имеем их — у и и ес,сз ~~х — у ) в + О(тг 1) ес,с, Итак, прн интегрировании «не неустойчивой» системы методом й-го (х в 2) порядка аппроксимации с шагом т на интервале времени О < 7 и С /т численное решение имеет точность О(т~ ').

Разумеется, на конечном интервале времени О а г а т точность метода есть О(т"). В дальнейшем она понижается на один порядок. С такими задачами вычислители встречаются при расчете процессов, носящих характер «вращений», колебаний и т.п. Их приходится рассчитывать на длительных интервалах времени, так как физическое время, интересное для приложений, обычно бывает очень большим для системы в том смысле, что оно содержит большое число колебаний или оборотов. Поэтому приведенная выше оценка точности численного интегрирования очень важна. Мы рассмотрели простые варианты теорем, дающих оценки погрешности численного интегрирования существенно более точные, чем стандартные (опирающиеся только на условие Липшица для правой части).

Они доказаны при достаточно сильных предположениях о свойствах матрицы /„(х). Более тонкие теоремы должны основываться на более слабых предположениях. Но в любом случае такие оценки будут существенно опираться на свойства решений так называемого уравнения в вариациях: — = /„[х(г) ~ Ьх + г(г). Это линейное уравнсние с переменными коэффициентами. Оно определено на исследуемой траектории х(7) и описывает (в первом порядке) эволюцию возмущения траектории х(г), вызванного малым возмущением правой части.

Возмущенная траектория удовлетворяет уравнению — /(х) + г(Г), г(7) — малое возмущение. Полагая х(7) х(Г) + Ьх(7) (здесь (х(7) — решение уравнения х = = /(х)), разлагая /(х+ Ьх) в ряд Тейлора и пренебрегая членами О(11ЬхЦ7), получаем уравнение в вариациях, играющее огромную роль в теории устойчивости и в близких к ней вопросах о точности численного интегрирования. 79 гвшзиие юмзых злдлч для систвм одт й 8. Приближенное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Следующий по сложности (после задачи Коши) класс задач — это краевые задачи, в которых часть конечных условий задана на левом конце интервала времени, а часть — на правом.

Краевые условия могут быть сформулированы вообще в терминах левых и правых концов траектории одновременно. Начнем с линейных краевых задач. Итак, требуется найти решение линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами — = А(!) х+ а(!), 0 ж ! к Т.- (1) Здесь х и а — р-мерные векторы, А(1) — р- р-матрица. Как известно, для выделения однозначной траектории требуется еще задать р конечных соотношений. Запишем их в общем виде: С х(0) + 27х(Т) = У (г) (С, 19 — р- р-матрицы, У вЂ” р-вектор).

Стандартный метод решения такой краевой задачи связан с основным результатом теории линейных систем: общее решение системы (1) задается явной конструкцией х(М) = х~(!) + ~~~ а, х!(й), (3) ! 1 где хо(!) — произвольное решение неоднородной системы, т.е. хо должно удовлетворять уравнению хс = А(!)хз+ а(1) (краевые условия для хо какие угодно, вернее, те, которые нам по каким-то причинам удобны). В соотношении (3) х!(!) — это р линейно-независимых решений однородной системы, т.е. х! удовлетворяет уравнению х' = А(!)х', а краевые условия для х' тоже произвольные, лишь бы они обеспечивали линейную независимость совокупности векторов х!(!), ! = 1, 2,..., р, при всех к Как известно, достаточно проверить линейную независимость при каком-то одном значении !.

Что касается (скалярных) коэффициентов а,, то они произвольны, и этот произвол «тратится» на выполнение р заданных краевых условий (2). То, что конструкция (3) при любых а! удовлетворяет уравнению (1), очевзщно. Подставим ее в краевые условия; С ~хо(0) + ~~' а,, х!(0)~ +Ю ~хо(Т) +~ а, х!(Т) =У, ! ! 80 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ~~' а. [С х'(0) + В х'(Т)[ =.( — С хо(0) — О хо(Т).

(4) Получена система р линейных алгебраических уравнений с матрицей, ю'-й столбец которой есть Сх'(0) + Ох'(Т). Если система (4) имеет единственное решение (ое1 ~ 0), краевая задача имеет единственное решение. Но это не есть обязательный факт, хотя его можно считать типичным. Отсутствие решения (или неединственность прн подходящей правой части) следует считать вырождением задачи. Все, что было сказано выше, полностью взято из курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Специалист по вычислительной математике должен добавить только четкое указание, откуда взять функции х'(1), 1=0, 1, ..., р. Ответ почти очевиден: , раз мы научились численно интегрировать задачу Коши, то просто нужно сконструировать такие задачи Коши, которые дадут то, что нужно. Решение хо(г) можно получить, взяв задачу Коши с начальными данными хо(0) =О.

Само решение находим каким-либо численным методом, хотя бы по схеме Эйлера. Обозначая х~ожхо(1ь), где [1 ) — сетка, покрывающая интервал [О, Т[, используем простейшую схему хо хо+В А(Г )хо+а(Г ) т,=1+,— Г, хо=О, й=0,1,...,К, Конечно, реально на практике используют более точные методы, Рунге — Кутты например, но сейчас важна принципиальная схема.