Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.djvu), страница 18

Выше описан стандартный шаг итерационного процесса. Итерации продолжаются до получения достаточно малой невязки. Отметим, что во многих прикладных задачах одной иэ наиболее трудоемких операций является линеаризацня, т.е. вычисление У„. Конечно, такая операция трудна при достаточно сложной форме правой части. В рассматриваемом примере это не так. Трудоемкой операцией, вообще говоря, является и вычисление шага Л, требующее несколъкнх вычислений невязки. Естественно, число операций пропорционалъно числу интервалов сетки М, и следующее ниже усовершенствование имеет целью повысить точность, не увеличивая существенно М или даже совсем его ие меняя. Это достигается изменением определения невязки.

Упвочненная' формула вычисления невязки. Имея сеточную функцию (х„), восполняем ее до непрерывной функции х(1) с помощью кусочно-гладкого интерполяционного аппарата (с помощью сплайна, например). Теперь, в принципе, можно говорить о непрерывной функции г(г) = х — Дх(г)) и вычислять ее норму () гза1)из.

Разумеется, норма вычисляется по какой-нибудь хорошей квадратурной формуле, так что на самом деле такая «непрерывная» невязка вычисляется в дискретном наборе узлов квадратуры (в описываемых ниже расчетах на каждом интервале (г„, 1„+,) интеграл вычислялся по квадратуре Гаусса с тремя узлами). Остальные элементы вычислителъной схемы остаются без изменений. 88) Решение кРАеВых зАдАч для систем Оду Таблица 7 держит только компоненту х — У; невязкн в краевых условиях остаются нулевыми. Расчет проводился прн шаге основной сетки т = П50=0.4.

Таблица 8 характеризует точность расчета. В ней приведены значения компонент вектора х в нескольких характерных точках Таблица 8 х (5.6) х (20) х (12) х (0) «3(10 4) х)0О. О а) б) -1.0808 -1.091 -1.091 -1.1808 — 1.190 — 1.190 -0.0455 -0.0444 -0.0443 — 0.9621 -О. 9863 -0.9863 -О.ОВЗВ -О.О4ЗОВ -0.04312 0.1244 0.1214 0.1213 В) х (0) хз(5.6) «5(12) х <5.6) «4(12) хз(ЕО) В) б) — 0.09101 -0.08878 -0.08874 !ЛВЗВ 1,1817 1.1820 0.9867 0.9867 0.9866 0.6442 0.6529 0.6529 0.02496 0.02434 0.02433 0.009!5 О.ООВВО6 О,ОО8622 В) времени. Каждая величина представлена тремя числами: а) результат, полученный за одиннадцать итераций при грубом вычислении невязки; б) результат, полученный после одной дополнительной итерации с более точным вычислением невязки, в) «точноеь решение.

Приведем результаты, характеризующие эффективность алгоритма и достигнутую точность. В табл. 7 представлены следующие данные: ! — номер итерации, 28 — норма невязкн, )) — шаг на 1-й итерации. Начальное приближение выбрано таким, что краевые условия выполнены; они линейны, поэтому не нарушаются в процессе итераций. Невязка со- ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ вв й 9. Метод днфференцнаиьной прогонки Начнем изучение самого, вероятно, популярного в вычислительной математике алгоритма.

С ним связаны существенные успехи в решении сложных задач, и его изобретение считается по праву ярким событием в истории развитии современной вычислительной математики. Любопытно, что метод прогонки предназначен для решения задачи, на первый взгляд не содержащей никаких проблем. Пусть требуется решить краевую задачу для системы двух уравнений х= ау+/, у=Ьх+ р, Оц1 <1, а>0, Ь>0, с краевыми условиями х(0) = Я'В, у(1) =О.

Коэффициенты а и Ь ради простоты считаем постоянными, Очень важны их числовые значения. Пусть а Ь 40. Эти значения взяты не случайно, в них суть дела. Как мы увидим дальше, а и Ь вЂ” «большие параметры». Именна то, что они большие, определяет специфику задачи и требует разработки принципиально новых алгоритмов.

Объясним причины, по которым описанный в 3 8 метод сведения краевой задачи к задачам Коши не работает. Проанализируем известный («школьный») метод. Ради простоты положим / = р = 0 (не в них дело). Найдя решение двух задач Коши: а) х' =ау', х'(0) =1, у' = Ьх', у'(0) = О; б) хг = дуг, х'(0) = О, уг = Ьхг уг(0) ищем решение в виде линейной комбинации х(Г) х'(1) + хг(1) ( ) = С,е~', + Сгегт' где Х„У; — некоторые числа (которые легко вычисляются, но они нам не нужны), С„Сг — произвольные постоянные, а Л,, Лг— корни характеристического уравнения / — Л а) бе1 ~ Ь Л) =О, т.е. Л =аЬ, Л, г — — ч= ГаЬЬ вЂ” .»40.

а коэффициенты а, и аг определим, подставив его в краевые условия, Что же из этого получится? Посмотрим, какие последствия имеют большие значения коэффициентов а и Ь (и в самом ли деле они большие). Как известно, точное общее решение рассматриваемой системы уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид 89 9 91 метод диФФеРенциАльнОЙ пРОГОнки Таким образом, почти любое частное решение (в том числе построенные нами два линейно независимых решения) есть сумма (с примерно равными коэффициентами С„Сз) двух экспонент: одной— сильно растущей (типа е40'), второй — сильно убывающей (типа Е 40') Теперь обратимся к исходной задаче.

Прежде всего подчеркнем, что выбор больших значений коэффициентов а и О не был произвольным, ои продиктован практикой. Наиболее близким содержательным примером задачи, качественные черты которой хорошо передает разбираемая модельная, является прохождение излучения через слой большой оптической толщины, например прохождение потока нейтронов, источником которого является ядерный реактор, через слой зашиты. В этом случае одно краевое условие хо — — Х задает поток нейтронов, падающий на внутреннюю поверхность зашиты, второе условие у(1) =0 означает отсутствие потока нейтронов, падающих на внешнюю границу защиты. Интересующая же нас величина х(1) имеет смысл потока нейтронов, выходящего со стороны внешней границы защиты.

Искомое решение есть функция типа е 40'.4." (в этом, собственно, и состоит назначение защиты: ослабить поток нейтронов примерно в е40ж 10'4 раз). Мы же пытаемся получить его в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений, в каждом из которых решающую раль играет именно растущая экспонента. Получить Функцию типа е 40' в виде линейной комбинации решений, в которых главную роль играют компоненты типа е40' (они должны взаимно погаснться), — очень трудная вычислительная задача, сопровождающаяся резким падением точности. Следует принять во внимание и накопление погрешностей вычислений. В рассматриваемом случае, допустим, при интегрировании задач Коши методом е-го порядка погрешность аппроксимации у левого конца траектории имеет величину порядка тей'0 (т — шаг численного интегрирования).

Ве последствия у правого конца траектории достигнут величины е40ЕЬЯ'О, н нужно, чтобы они были заметно меньше искомого решения, т.е. величины порядка е 40,2' . Итак, имеем ориентировочное соотношение для шага численного интегрирования: е40ть~к 0-40 т е ть ~ 10-30 Даже при К=5 получаем с<10 0, т.е. нужно брать сетку с миллионом узлов.

Это чудовищно. Забегая вперед, укажем, что ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ фактически такие задачи решаются методом прогонки при условиях ~Х, т~ «к1. В нашем случае т.-"к1/40, т,е. вполне приемлем, например, расчет при тж1/200 и даже при т 1/100. Убедившись в провале «школьного» метода решения простой краевой задачи, приступим к описанию метода прогонки. Отметим только в качестве «морали»: в вычислительной математике важна не столько внешняя форма задачи, сколько качественные свойства искомых решений. Абсолютно одинаковые внешне задачи часто требуют существенно разных методов.

Та же самая задача при а Ь 5 (илн на интервале 0 ц г к 0.1) без всяких затруднений может быть решена только что скомпрометированным методом фундаментальных решений. Рассмотрим детально метод дифференциальной прогонки. Будем искать связь между компонентами решения вида х(г) = а(г) у(~) + В(г), где а(1), р(г) — неизвестные пока «прогоночные коэффициенты».

Получим уравнения для них. Дифференцируя прогоночиое соотношение! х = ау + ау+ р, и учитывая, что х= ау+ /, у= Ьх+ р, имеем ау+ / = ау+ а(Ьх + р) + Р. Заменяя х на ау+ р: ау+/= а+ Ьазу+ Ьра+ ар+ и приводи подобные члены (коэффициенты при у н единице), получаем у [а+ Ьаз — а) +(р+ Ьра — /) =О. Приравнивая нулю коэффициенты при у и единице, приходим к уравнениям для а и р: а+ Ьаз — а=О, р+ арЬ+ ар — /=О. Эти уравнения дополним начальными данными, используя стандартный прием метода прогонки.

Левое краевое условие х(0) =.Ф'О запишем в виде того же самого прогоноч ного соотношения: х(0) = а(0) у(0) + р(0). Очевидно, следует положить а(0) = О, р(0) = 2' . Итак, получены задачи Коши для а(1) н р(Г). Они могут быть проинтегрированы (например, численно), и можно считать, что функции а(Г) и р(1) у иас уже есть. Перейдем к следующему характерному элементу прогонки— разрешению правого краевого условия. Имея условие у(1) =0 и метод еи««егеииилиьиоИ ш огоики 59! 9! прогоночное соотношение при г = 1: х(1) = а(1)у(1) + р(1), легко находим значение х(1) = р(!).

Наконец, рассмотрим заключительный этап прогонки. Опять-таки отклоним напрашивающийся рецепт: раз мы знаем х(1) и у(1), можно (формально) интегрировать задачу Коши справа налево, Но зта задача так же неустойчива, как и задача Коши, решаемая слева направо. Мы воспользуемся уравнением у = Ьх+ Р. Заменяя х из прогоночного соотношения х = ау+ р, получаем уравнение для у: у= Ьау+ рЬ+ о, у(1) =О.

Проинтегрируем задачу справа налево, попутно определяя х(г) = = а(г)у(г) + О(г). Перейдем к анализу метода прогонки, рассматривая для общности краевые условия вида Ах(0) + Ву(0) = С. В этом случае а(0) = — В/А, р(0) = С/А. РазбеРио 9 ремся в том, действительно ли «большой» параметр (который так н осгался в задаче) уже не страшен и процесс вычислений устойчив. Нам нужны некоторые оценки для а(!). Ограничимся физически наиболее естественными условиями при г = 0: А>0, ВаО, т.е.

а(0) >О. Рассмотрим поле направлений а. На плоскосги (1, а) введем кривую (рис. 9) а = О, т.е. а(г) и'Ь(с)7а(г) = О(1). При а = О, очевидно, а > О. Вьшелим области а > 0 (ниже кривой а(!)) н а < 0 (выше кривой а(г)). Несложный анализ показывает, что 0 ж а(1) ц шах а(!) = О(1). Этого нам достаточно для дальнейшего. Посмотрим, что даег теория численного интегрированна, примененная к уравнению а = — Ьаз+ а. Если бы мы оценивали устойчивость численного интегрирования для этой системы по самой общей теореме, оперирующей с оценкой погрешности типа еес' (где С— константа Липшица правой части, е — локальная погрешность), то картина была бы пессимистической. В самом деле, Сж ~ — (Ьаз)! ж2Ьаж80, ди основы вычнслнтвльнон млтвмлтнкн и все трудности были бы такими же, как и при методе фундаментальных решений.