Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8.djvu), страница 11

3.121: > 1вр11оаср1ос ( (х=у" 2, х=1), х=о .. 1, у=-1 .. 1, ахеа=поьва1) ) Объем тела, как следует из рисунков, равен Б Ц (х -1)'а(хНу =1 с(х 1 (х -1)'йу. о ь —,4к 1 совврхностныв интегралы Рис. 3.11 а лз Рис. 3.12 Вычисляем объем тела: > 1иС (1их ( (1-х) 2, У=-вяхС (х) .. вс1гь (х) ), х=в .. 1); 32 105 32 Ответ: —. 105 Аналогично вычисляются тройные интегралы, Задача 115~, 8.84).

Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями у=х, а=у, а+у=2. 2 Решение. Достаточно построить две поверхности, чтобьс увидеть заданное тело и правильно расставить пределы интегрирования: > (>1оьвс((( '1Г' (У>=х" 2, У, О), '1В' (У> х 2, 2- У, О) ),:с=-1.. 1, у О .1,ахов иохпа1)) Глава (И. Высшая математика х у Рис. 3.13 Объем тела ав равен тройному интегралу от элемента объема, то ес>пь Р = Щдхдуд = ~дх~ду ~дг.

-> к> У Вычисление объема >пела: > 1пс (1пс (1пс (1, а=у .. 2-у) у= "2 .. 1), , у=х .. 1), х=-1 .. 1) 16 15, 1б Ответ: —. 1Ь Обычно большие вычи слительные трудности возникают п и аналит расчетах потоков векторных поле" р т при аналитических дачи решаются в Мар1е. ных полей чеоез паве хности.

т) р с и. Посмотрим, как такие заЗадача. Дано векторное поле >о = (у' — г') >'+ (х' — г') ) + 2ху >> и пирамида с вершинами О(0, О, 0), А(1, О, 0), (, ток поля через внешнюю сто о , Б О, 1, 0), С(0, О, 2'. " сторону поверхности пирамиды. решение. Ст троим пирамиду с использованием о анием оператора логического > Р ('1Е' (хУУ<=1апУ( х>=оапк( У>=0,2-2*х- 2*, О > 1осзс( х=-1 .. 1, у=-1 .. 1, ахеа=похаа1) > А Рис. 3.14 87 Поверхностные интегралы Задаем векторное поле: > Рс чеооох((у"2-2"2,х"2-2"2,2*хяу]); Р:= [у2 — г',х2 — г2 2ху[ Поток векторного поля через ориентированную поверхность (Я вьсчисляется по формуле (со — о где п — поле единичных векторов, нормальных к поверхности, ориентированных в ту сторону, откуда видна во(бранная сторона поверхности, дав элемент площади, причем под знаком поверхностного интеграла справедливы соотношения йхду дхдг дуссг до = СОБ У СОБ [О СОБ СС где в знаменателях — направляюи(ие косинусы нормалей к поверхности, Для решения задачи надо вычислить потоки через грани пирамиды и найти их сумму.

!, Грань АВС является п госкостью с уравнением 2х+ 2у+ г = 2. Нормальный вектор, соответствуюсций заданной ориентации и = (2,2,1). Вво— о п 2 2 1 дим на листовое поле п = = = ( —, —, — ) и проводим расчеты: [п~ Г5 пГ5 ~Г5 > п:=чесооя ( !2/яс(хх (5),2/яо(хь (5), 1/яс)ях (5) ] ) ' п: = ~ — пГ5, — Г5, — Г5 ~2 2 1 ~5 '5 '5 > я1СЬ(11па1О)сдс=с)охрхос)(р,п)с д: = — (у — г ) Г5+ — (х — г ) Г5+ — ху~Г5 2 2 2 2 2 5 5 5 > р с =япЬя ( 2=2-2*х-2*у, и) *ос(хо (5) с р: = Ы (у' — (2 — 2х — 2у)'Л + 2 (х' — (2 — 2х — 2у)')>Г5+ 2 хупГ5 пГ5 ')5 5 5 > Бпс(хпс(р,у=0..1-х),х 0..1) с -11 12 2.

Грань ОАВ имеет уравнение г = О, соответствующее поле нормаль-о ных векторов п = — ]с = (О, О, — 1). Подставляем последний вектор в формулу для вычисления потока и, учитывая, что при сведении поверхностного интвграла к двойному перед ним следует поставить знак минус, получаем: вв Глава!И. Высшая математика > и:-'и':и:=чессог([0,0,-1]); и: = [О, О, — 1[ > д:='ч':д:=богргос)(р,п); > гпг (впс (О, У=О .. 1-х),х=О..

1) -о 3. Грань ОАС имеет уравнение у = О, и = -у = (О, — 1, 0). Поэтому: > и:='и':и: чессог([0,-1,0]); и:= [0,-1, 01 > 0:='д':чь=аосргоб(р,п) > тпг(тпс(о,г=0,.2-2*х),х=0..1) — о 4. Так как грань ОВС имеет уравнение к = О, и = -( = [ — 1, О, 0), то: > и:='и':и:=чессог ( [-1, О, 0] ); и:= [ — 1,0,0[ > о;='д':0: босргос)(р,п); > ' пс (1пс (д, г=-0 .. 2-2*у), у=О .. 1) 1 2 Суммируя полученные значения, получаем П = О. Такой же резулыпат получается по формуле Остроградского — Гаусса, так как дивергенция векторного поля равна нулю.

Ответ: О. Задача. По данным предыдущей задачи найти циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура АВС, ориентированного положительно: 1) непосредственно, 2) по формуле Стокса. Решение 1. Циркуляция вычисляется по формуле Ц=)где (т и равна сумме циркуляций по каждому участку. 89 Ловврхноотные интеералы 1, Ребро АВ задается уравнениями г = О, у е 1 — х, то есть дг = О, ду = -с(х, С помощью вектора п задаем подынтегральную функцию, исключаем у и интегрируем от А к В: > п:геессог([1,-1,0]) 1 и:= [1,— 1,0[ > О:=аогргоа(р,п) > р:=ясЬя(у=1-х,с);1иГ(р,х=1..0); р: = (1 — х)' — х' 2.

Ребро ВС задается уравнениями х = О, г = 2 — 2у, то есть дх = О, дг = -2ду: > и;ееесгог([0,1,-2„'); и:= [0,1, — 2[ > с:=аогргос)(Г, п) 1 д:= х — г — 4ху я я > р: =япЬя (х=О, я=2-2*у, О); ]пГ (р, у=1 .. О ); р: = — (2 — 2у)' 3. Ребро СА задается уравнениями у=О, 2=2 — 2х, то есть ду = О, дг = -2дх1 > и:=еесяог([1,0 ° -2]): и:=[1,0,— 2) > О; =Согргос) (р, и); д:= у — г — 4ху 2 2 > р:=ясЬя (у=О, г=2-2 х, д) 11пГ (р, х=О .. 1); р: = -(2 — 2х)' 4 4 Ц= О+ — — — =О. 3 3 11.

Находим ротор заданного векторного поля: > ссг1 (г, [х, у, г ] ); [2х+ 2е, — 2г — 2у,2х — 2у[ Глава Ш. Высшая математика а Ю 2 2 1 Умножая скалярно на вектор и = — = ( —, —, — ) и вычисляя поток ро- Ц >/5 >Г5 «Г5 тации через площадку АВС, получаем: > и: =оеогог ( [2/аг)гг (5), 2/апгг (5), 1/ачгг (5) ) ); и: = — >Г5, — Г5, — ~Г5~ [5 '5 '5 > с)огргос (Ч, о); 2 2 1 — (Зх + 2г)>Г5 ч- — ( — 2г — 2у)>(5 + — (2х — 2у) Г5 5 5 5 > а1ар111у($) — х Г5 — — Г5у б б 5 5 > 1ос (1оГ ( б/5*х*апгГ (5) - б/5*аягс (5) *у, у=с ..

1-х), х=о .. 1) Ответ: О. Задача ([5], 10.13б). Проверить потенциальность векторного поля и найти потенциал 1 у — ! г — 1 х а =( — — —,).[ ч-( — — —,) /+( — — —,) Й. х' х у' у г' Решение, > а: [1/г-у/ (х" 2), 1/х-г/ (у" 2), 1/у-х/(г" 2) 1 ~!у!г1х1 а:= ! г х' х у' у г' ~ > оиг1(а,(х,у,г)); [О, О, О] > росеосьа1 (а, [х, у, х), 'П ) ' (гие х у г + — + г х у х у г Ответ: — + — + — + С. г х у В Мар!е необозримое число систем криволинейных координат Дифференциальные операции векторного анализа в них рекомендуется рассмотреть самостоятельно: Ряды 5 5; Ряды Сумма членов конечной числовой последовательности х„= )(п), где л = 1, ..., й, находится в Мар[е встроенной в ядрб системы функцией а(]о(1(п), п=1..1().

В общем случае п = пппп..лгпах: > ас)с) (и, о=1 .. 100); 5050 Хотите узнать, чему равна сумма первых пятидесяти четных натуральных чисел? Пожалуйста, > ас(с)(2*о,о=1..50); 2550 Для функциональных последовательностей следует использовать более мощную функцию зшп(1(х,п),п=]..]с).

Выведем с ее помощью формулу суммы первых и членов арифметической прогрессии, имеющей, как известно, вид: а,,а, + с(,а, + 2([,...,а, + (п — 1)с(, Здесь а, — первый член, а( — разность арифметической прогрессии. Находим данную сумму: > закс(а [1] + ()с-1) *с), )с=1., о) ( а (и а 1) — — г](п ч- 1) + — г](п ж 1)' — а + с! 3 ! 1 2 2 После упрощения полученная формула принимает знакомый вид: > саосох(%)г 1 — л(2а — с( + с]л) 2 или, что тоже самое, а, +а„ 2 Пусть задана геометрическая прогрессия Найдем сум[яу первых и ее членов: > зоас(Ь[1] *Ч ()с-1),)с=1..п)( (ан) ! ! ! /)аав И Высшая маптамап)ока Приходим к известной формуле Ь,(! -с]") 1-д Рассмотрим применение встроенной функции зцгп к решению некоторых конкурсных задач для поступающих в вузы.

Задача ([11], 4.041). Найти целое положительное п из уравнения (3 е 6 -~ 9 +... + 3(п — !)) + (4 -с- 5,5 + 7 +... + ) = 137 8+ Зп 2 Решение. > вип(3* (х- 1), К=1 .. и) азиз( (вез*)с) /2, К=О .. и):1зо1че (в=137, в); (п =7) Ответ: 7. Задача ([1!], 4.061). Решить уравнение х — 1 х — 2 х — 3 1 + +...+ — =3 х х х х Решение. > 1зо1ие(вовс( (х-К) /х,)с=1..х-1) З,х) (х =7) Ответ: 7. Задача ([7], 8.1.13).

В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных 220. Найти десятый член прогрессии. Решение. По условиям задача составляем систему, решаем ее и находим а~в: > зо1ее ((вовс(а(1]+ (2*)с-1) *с(, к=1 ..10) =250, вовс(а ]1) +2*)с*с), )с=с .. 9) =220], (а ]1], с)) ); (ас = 3, а, = -5) > -5е9*3; 22 Ответ: 22. Найдем п-ю частичную сумму ряда ф „., п(а +1)(и +2) > зевс(1/()с*()с+1) *()с+2) ),К=1..и) 1, 1) 1 2 (и+1)(п+2), 4 Ряды 93 Найдем п-ю частичную сумму гармонического ряда и убедимся, что ряд расходится: > зов(1/)с )с=1. и)' Ч ~а+ 1)+ у > 11всп (Ра1 (п+1) +Чавва, и=ьис1иьеу); Встроенная функция зцп) заменяет все признаки сходимости числовых рядов вместе взятые, более того, в случае сходимости ряда она находит его сумму.

Если же ряд расходится, то возврашается он же или один из символов еаза, Задача 1[51, 12.31). Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость ряд: ~п'+5 ив 2" Решение. Применение признака Даламбера. > 11вьС( ( (и+1) 2+3) *2 "и/2" (и+1) / (и"2+3), п=1пт1и1Су); 1 Так как — < 1, то ряд сходится. 2 Применение встроенной 4ункции сит дает сумму ряда; > апв( (и" 2+5) /2 "и, и=1 ..1итгп1су); Ответ: ряд сходится, 5 = 11.

Задача 115), 12.32). Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость ряд: „., п) Решение. > 11в1С ( (п+1) " (п+1) *п! / (и+1) ! /и" и, п=апаьпвсу) > аив(и"и/и!,и 1..1пгап1еу) ~п" вя п) Ответ: ряд расходится.. Глава ))I. Высшая математика Задача (!5), 12.90). Исследовать на абсолютную и условную сходимость Решение. > впв ( (-1) " (ее 1) *1/ (3*п-1), в=1., тпг ьптгу) — )п(2) + — кпГЗ 1 1 3 9 > впп (1/ (3*п-1), п=1 .. 1пт1п1Су) Ответ: ряд сходится условно. Представление /(х) в виде =й-1 ~а.(х — хв)" + 0((х — хв)"), где 0((х — хв)') — бесконечно малая величина к-го порядка относительно х — )вв, находится встроенной функцией зег!ез(/, х = хо, )г), по умолчанию и = б. Заданное значение )г переустанавливается автоматически, если ав = ... = аве„= 0 илн, если коэффициенты разложения слишком малы.