Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8.djvu), страница 12

Слагаемое 0((х — х ) ) убирается встроенной функцией сопчег1(%,ро!упогп),при точном представлении оно отсутствует. Примеры: > вегтез (1/ ( (х-1) *х), х=1, З); !)-! ! ! ( !)в ( !)3 ( !)4 О(( !)5) > соп>егс(ь,ро1упов) — 2 + х — (х — 1)' + (х — 1) ' — (х — 1)' х — 1 > вегтев(втп(х"3),х 0,7) х~ + 0(хв) > вег1ев(з1п(х)/(х"3), х=О, 10 ); х — — + — х — — х + -2 ! ! 2 в ! б 1 х +0(х ) б 120 5040 Зб2880 При разложении /(х) в ряд Тейлора по степеням х — х, можно использовать более слабую встроенную функцию 1ау!ог(/, х = хв, к), в которой при х, = 0 вместо х = хв достаточно ввести х.

Задача ([4), 5.393). Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции х у = — в точке х = 2. Построить графики данной функции и ее многочлена х — 1 Тейлора 3;й степени.;, ' .',;. -'!.'2к(1~й.>'. '95 Ряды Решение. > гау1ог (х/ (х-1), х 2, 4) ( ! 2 — (х — 2) + (х — 2)' — (х — 2) + 0((х — 2) ) > сопхегс(а,ро1упот) 4 — х + (х — 2)' — (х — 2) > р1ог ( (х/ (х-1), 4-х+ (х-2) "2- (х-2) "3), х=о .. 5, — 1 ..

5, ахеа=погеа1) Рис. 3.!5 В случае функции нескольких переменных применяется встроенная функция гп(ау1ог, вызываемая из библиотеки встроенных функций. Задача ([4), 7.185). Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, 1, О) до членов второго порядка включительно функцию ((х, у, з) = 1п(ху+ г~). Решение. > геао11Ь(псау1ог)г ргос() ...

епб ргос > тсау1ог (1п (х" у+а 2), (х 1, у=1, а=с], 3) у — 2 + х — — (х — 1) ч- х — — (у — 1) 2 2 1 2 2 2 Ответ: х — 1+ у — 1- — (х — 1) — — (у — 1) +г . 2 1 2 2 2 2 Асимптотические разложения находятся встроенной функцией азутр1. Например, > ааувре (х/ (х+1), х! г (1'1 1- — + — — — + — — — +О~ — ~ х хз хз х4 хз ~ха/ Разложение в ряд Лорана по степеням х — ха функции комплексного пере- мен~ЩЩ,находится встроенной в пакет пцгпарргок функцией 1а)ггеп(. Глава /рд Высшая математика Задача ([5), 12.364).

Разложить в ряд Лорана по степеням г — г,: г (г )г о Решение. > е1с)>(поварргох); (сЬеЬйед, сЬеЬти14 сЬеЬрас1е, сЬеЬеог(, сЬеЬуеЬе)( соп~гафогт, Ьегт!терайе, Ьогпегуогт, !пупогт, 1аигеп(, т!и!тах, райе, гетег) > 1аосеог (г/ (г" 2е1) "2, а=1) -- !(г — !) — — !+ — (г — !) + — !(г — !) — — (г — !) 1 г 1 1 3 г 1 4 16 16 64 32 — !(г — !)' .(- О((г — !) ) 256 1 хе Ь ("(г - 1)" ' Ответ:— 4(г — !) 8,, 2' В окрестности точки го = оо ряд Лорана находится командой азутр(. Задача (15), 12.353). Найти разложение в ряд Лорана и установить область сходи мости: 1 , го = оо. г (г — 1) Решение, > аеуарС (1/ (г* (г-1) ), г) ! 1 ) — + — + — + — +О~ — ! 2 гз г( г5 Область сходимости очевидна:)г~ > 1.

1 Ответ: ~ —. ьв г Глава ЧЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ 5 1. ДиФференциальные уравнения Основной пакет методов решений дифференциальных уравнений 0Е!оо!з системы Мар1е вызывается командой: > иг е!1 Вксоо1э! г Для краткости список встроенных функций пакета не приводится, Начнем с работы классификатора дифференциальных уравнений, входящего в этот пакет. Если ввести в командную строку ключевое слова одеаднзог, выделить его и нажать <Р1>, то справочная система откроется на странице, содержащей основные виды дифференциальных уравнений, различаемых Мар!е.

* Дифференциальные уравнения 1-го порядка: АЬе1, АЬе12А, АЬе12С, ВегпоиИ!, СЫп!, С1а1гац1, ИА!егпЬег1, ехас1, Ьогпоцепеоиз, ЬогпояепеоизВ, ЬогподепеоизС, ЬогподепеоизР, ЬогподепеоизО, Ипеаг, раяегпз, оиас1га!цге, гаиопа1, В!оса!1, зерагаЫе, зуго !гпрйс!1 * Дифференциальные уравнения 2-го порядка; Веззе!, ЭцП!пд, еИ!рэоЫа1, еИ1р1!с, Егпс1еп, ег1, ехасг Ипеаг, ехас! попйпеаг, ОевепЬаиег, На!гп, Негпп1е, ЗасоЫ, (адегз1гогп, 1адиегге, 1.!епагг), 1.1оичй1е, Ипеаг ООЕз, Ипеаг зугп, ппзэ)пд, Ра1п1ече, г!цаг1га1цге, гедде!Ые, зуго Рх, Т1!сЬгпагзЬ, Чап бег Ро1 * Дифференциальные уравнения высших порядков: оиаг1га1иге, гп1зз1пд, ехас! Ипеаг, ехас! попйпеаг, гедцс!Ые, Ипеаг Ог)Ез После щелчка ЛКМ по виду дифференциального уравнения происходит'переход на страницу справочной системы, где приводится общий вид дифференциального уравнения, описание и примеры.

Например, щелкнув ЛКМ по ключевому слову зерагаЫе, узнаем, что это класс дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, щелкнув по ехас1, выясняем, что это дифференциальные уравнения в' полных дифференциалах (потенциальная функция С(х, у)) и т.

д. В частности, Ьогподепеоцэ — однородные дифференциальные уравнения различных видов. Глава (К Дисрференс(иальные уравнения. Ряды Фурье Пусть требуется определить тип .уравнения у 4:х' =1+ у'. Вызываем, если только приступили к работе, встроенную функцию обе абч!зог: > игпи (окпоо1а, оаеаачьаог); [ос(еас(о!аког[ Видим, что она готова к работе. Заполняем командную строку указанным ниже образом и нажимаем <Еп[ег>: > оаеаачдаог (с]1ГГ (у (х), х) *аягг (1-х" 2) =1+у (х) "2, у (х) ); [ зерагаЫе[ Как и следовало ожидать, это уравнение с разделяющимися переменными.

Понятно, что уравнение может принадлежать нескольким классам. В таких случаях ог(еас(ч!зог возвращает пользователю их список. По существу все методы решений дифференциальных уравнений и систем таких уравнений, рассматриваемые в курсе высшей математики втузов, заменяются в Кар)е одной встроенной функцией бэо!че, входяшей в ядро системы. Ее простейшая конструкция дзо!че (уравнение, неизвестная функция), причем по умолчанию решение ишется в явном виде. Формы ответов, как и методы решений, выбираются автоматически или устанавливаются пользователем с помощью экстра-аргументов, с полными списками значений которых можно ознакомиться в справочной системе Мар!е, выделив в командной строке [)зо!че и нажав <Р!>. Далее приведены их основные значения и соответствующие примеры.

Задача ([5[, 9.27). Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяюшимися переменными: у' Г! — х' =1. у'. Решение. > с[ео1че(с[1гг (у(х), х) *аяте (1-х" 2) =1+у(х) 2, у (х) ); у(х) = (ап(агсгйп(х)+ С1) Лроверка: > аоЬа(у[м) = Сап(агсаьп[м)+ С1),1чу(х] "2- аьсс (у (м), х) *аясс (1-х "2) ); ее н ~+ со' -(~ >.м ° ы ) ° сс)4: ' (,дх > еча1Г(Ъ)г О, Ответ: у = Гй(агсз(п х + С), ' Диффвр)внциеяьные уравнения Если требуется получить не общее решение, а общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения, то добавляется экстра-аргумент !шр!!с]1. Найдем общий интеграл последнего дифференциального уравнения: > с(яс1че(адст(у(х),х)*вязе(1- х"2) 1+у(х) "2,у(х),1ыР11схе)с агсв!п(х) — агс(ап(у(х))+ С1 = О Задача ([5), 9 45).

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию я у'гйх = у, у(-) = 1. 2 Решение. Частное решение ОДУ ло заданному начальному условию находится встроенной функцией дзо!ое, в которой они объединяются фигурными скобками: > с(яс1че ((с(ьхт (у (х), х) *Сап (х) =у(х), у (Рь/2) =1), у (х) ) г у(х) = в(п(х) Ответ: у = в!их. Задача ([5[, 9.64), Найти частное решение однородного дифференциального уравнения 1-го порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию ху' = у!п —, у(1) = 1. х Решение. > с)яс1че ((с)1ГГ (у(х),х) *х=у(х] *1п(у(х) /х), у(1) 1), у(х) ); у(х) = е нх Ответ: у = хе1 ".

Задача ([51, 9.89). Решить уравнение Бернулли у у' = усгдх+ —, в!и х Решение. > аяс1че (с(1хс (у(х), х) = (у(х) *соя(х) ) /яда (х)+(у(х) *2) /звп (х), у(х) ) г гйп(х) у(х) =— х — С1 Проверка: > зоЬя (у (х) = -я1п (х) / (хС1), (у(х) *соя (х) ) /выл (х]+ (у(х) "2) /яхп(х) -аьгг (у(х), х] ) г сов(х) гйп(х) д в(п(х) х-.' С1 (х- С1)з дх; х- С1 /лввв М Диффврвнцивльныв урввнвния. Ряды Фурье т 00' > еча1г(%) ' 5)П Х Ответ: у =— С вЂ” х С педагогическими целями предусмотрена возможность, с помошью экстра-аргумента цзе1п1, вывода решения в квадратурах. Окончательный результат выводится командой ча!це.

Например, таким образом, для последнего уравнения получаем: > с(зо1че(с)1гг(у(х),х) (у(х)*сов(х))/зап(х)+(у(х!"2)/з1п(х),у(х), пве1пс) г у(х) = [=..' ") * й+С1 5!П Х > ча1пе(%)) 5(п(х) — х+ С1 Параметрические решения находятся экстра-аргументом рагагпе(г!с. Задача ([10[, 1.122). Решить уравнение:!и у'+ 5!и у' — х = О. Решение. > с(во1че (1п (азгг (у(х), х) ) +в1п (с(1гг (у(х), х) ) - х-о, у (х), рагавегг1с) ) [х( Т) !и( Т) + 5|п( Т), у( Т) = соз( Т) + Т 5!п( Т) + Т е С1) Ответ: х = !и(+ 5!и(, у = соз(+ (5!и(+ (+С.

Задача ([5], 9.363). Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициеь.тами и правой специальной частью: у'+ 5у'+ бу = е " + е '". Решение. > аво1ча (с(1гг (у (х), х52) +зс с)1гг (у(х), х) +6*у(х) ехр(-х) +ехр (- 2*х), у (х) ) ) у(х) = е' '"' С2+ е' '"' С1+ — (е" — 2+2х)е' '"' 1 2 Убедимся, что частное решение найдено правильное > зоЪв (у (х) -1/2* (ехр (х) -2+2 ах) *ехр (-2*х), с)155 (у (х), х52) +5>с)1гг (у (х), х) +5*у (х) -ехр (-х) -ехр (-2*х) ) с — — (е" — 2 + 2х)е( ье + — — (е' — 2 + 2х)е( ев + +3(е" — 2+2х)е' " — е' ' -е' ™ Дифференциельньге уравнения > в1врШу(е) Ответ: у = С,в " + С,е '" + — (в' — 2+ 2х)в '".