Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8.djvu), страница 9

Существуют и другие конструкции ввода. Например, для плоскости, как следует из справочной системы Мар!е, их 7. В задании многогранников вообще нет единой конструкции. Каждый вид, а в Мар!е их 8, задается только ему присущими параметрами. В следующей задаче показывается, как встроенные функции данного пакета применяются к решению задач аналитической геометрии в пространстве. Задача. Пирал(ида ЗАВС задана вершинами 5(б, 7, 13), А(8, -7, -6), В(-5, б, -7), С(-3, -4, -10). Найти; 1) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С; 2) величину угла между ребром БС и гранью АВС; 3) площадь грани АВС; 4) уравнение высоты, опущенной из вершины Б на грань АВС и ее длину; 5) объем пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок пирамиды, определяемой заданными точками: > рогпп (Б, б, 7, 13); ровпс (А, 3, -7, -б); ро1пй (В, -5, б, -7); ро1пп (С, -3, -4, -10); > дпесгайепгоп (Т, [Я, А, В, С] ); > бпач(т,ахеа=попва1,стс1е='Пирамида') Пирамида ри . а.в Глава И1, Высшая мап)аиатика 1) Вывод уравнения плоскости АВС: > р1апе (р, [А, В, С) ); р > сега11 (Р): нагп1пд, аввпп1пд гпаг гпе папев ох гпе ахея аге х, у апо' г пате о(" йе оЬ|ес(: р )отт о~"йе оЪ1еса р1апе3д едиа(1оп о7 йер!апе: 729-49* х-41«у+104» г = О 2) Вычисление величины угла между ребром А5 и плоскостью АВС: > 11пе(1, [А, Я) ) ) > угпаАпд1е(1, р ) агсв)п ч(9228б42 250 464321 > еча1г($) .5455107810 > сопчегг (а, ппгсз, гаагапв,оедгеез) 31.25546542 3) Вычисление плои(ади основания пирамиды; > Гггапд1е (АВС, [А, В, С] ): АВС > агеа(АВС) — 44893 4) Определение уравнения высоты, проходяи(ей череэ 5, и расстояния от 5 до плоскости АВС; > )апе(П,[Я,Р)): Ь > оепа11(П)/ Иагпгпд, аззшпе Гпап гпе рагапепег гп ГПе рагапепг1с едпап1опв гз Иагп1пд, авзыпвпд гпап СПе пааев ог ГПе ахея аге х, у, апс' в > с1згапсе (В,Р) ) патео2йеоЬ1ес(: Ь 7опп о7 (Ье оЬ|есг ГйеЗФ едиапоп о7йейпе: 1 х= б-49з Ь у = 7-41з А в=13+104' 1) > агвСапсе(В,Р); —.44898 250 2483 Пинейная алгебра 5) Вычисдепие объема пирамиды: > чо1опе !Т)г 250 9 2.

Линейная алгебра Список встроенных функций пакета !!па!а: > и!то !1зпа19] ) [В!ос/г!Иадола1, Я'атЯсйт!йг, йогйапВ1ос1г, ЕИ~есотр, Дййесотр, Игюпз!йап, аййсо1, аййго)ч, аф, ай!о!лг, аля1е, аиятелг, Ьас!гзиЬ, Ьалй, Ьази, Ьегоиг, Ь)осЬпагг!х, сйагтаг, сйагро!у, сйо!езпу, со!, со!й!т, соЬрасе, со!зрап, сатрап!оп, сопсаг, сола), сорутго, с-оззрюй, сиг1, йефл1ге, йе1соЬ, йе!ю)чз, йег, й!ае, й!чегяе, йо!рюй, е!яепчаЬ, е!яепча1иез, е!яепчесгогз, е!яелчесгз, епзегтагг!х, ес!иа1, ехропепг!а1, ехзепй, Ядаиззе!!т,запасе!, !ог)чагйзиЪ, )юЬеп!из, даиззе!!т, раиззуогй, яепеалз, яептатггх, огай, Ьайатагй, йегтйе, Ьезз!ал, Ь!!Ьегз, Ьггалзрозе, !Ьегт!ге, !лйех!йлс, !лпегргой, !лгЬаз!з, 1пчегзе, !зт!1Ь, Ьз!т!!аг, игего, )асоЬ!ап, !огйап, !гегпе1, 1ар!ас1ап, 1еазмдгз, Нпзо!че, та!айй, таатх, ттог, ттро!у, ти!со1, та!го)ч, ти1пр1у, погт, погта1!зе, пи1Ьрасе, оггйоя, регтапепг, р!чог, рогеппа1, гапйтап !х, гапйчесгог, гап!г, га!)Ьггп, го>ч, говй!т, ю>чзрасе, гоизрал, ггеу; зса!агти1, з!пяи1агчаЬ, зт1Й, згас!опазг!х, зиЬтагга, зиЬчесгог, зитЬазЬ, знарсо1, хяарю)ч, зу1чезгег, !сер!!)з, гласе, Ггалзрозе, чапйегтопйе, чесро)епГ, чес!й!т, чесгог, юолз!пал ] Основные встроенные функции пакета и возвращаемые результаты: апа!е — величина угла между векторами; апдщеп1 — матрица, объединяющая заданные матрицы по горизонтали; сгоззргой — векторное произведение векторов; с))агро!у — характеристический полином матрицы; со! — столбец матрицы с заданным номером; пе1 — определитель; йо1ргоо — скалярное произведение векторов; е!оепча!з — собственные числа матрицы (линейного преобразования); е!депчес1огз — собственные векторы матрицы (линейного преобразования); 1пчегзе — обратная матрица; !!пзо!че — решение системы линейных уравнений по матрице системы и матрице свободных членов; п)ц!1!р!у — произведение матриц; гапк — ранг матрицы; го~и — строка матрицы с заданным номером; з1ас)ппа1г!х — матрица, объединяющая' заданные матрицы по вертикали; ац5!пйтг!х — подматрица, стоящая а пересечении указанных 'строк и столбцов; -вяг- =-" " " 'Глава Ий Высшая мвтвмвтикв 1гасе — след матрицы; [гапзрозе — транспонированная матрица.

Наиболее простой способ задания вектора, например,х = (1,2,3), в виде: > хв=чессох([1,2,3))в х: = ~1,2,3) Аналогично: > у: чесссг([3,2,1))г у; =!3,2,1) Имеется тест для проверки принадлежности к векторам: > суре[к,чесссх)в ( ие Выведем на листовое поле первые элементы векторов: > х[1]; > у[1]; Найдем величину угла между векторами: > аао1е(х,у) ' агссоз— Наиболее простой способ задания матрицы, например имеет вид: > Л:=вват сах( [ [5, 2], [2, 2] ] ) Аналогично: > В:=ваах1х( [ [4, 3), [2, 1] ] ) Можно проверить, что введенные объекты являются матрицами: > Суре(а,васках) г [гие > Суре(в,аваехьх)г 1гие 69 Линейная алгебра Выведем на листовое поле по одному их' элементу: > в [ 1, 1] г > В[1, 2]; Понятие вектора в Мар]е близко понятию одномерного массива, но не совпадает с ним.

Простейшая конструкция одномерного массива аггау(([[пт, Из(), где ([]гп — диапазон изменения нумерации элементов массива, ][з( — список элементов массива. Одномерные массивы, в которых нумерация списков начинается с единицы, являются векторами. Действительно, > с:=аггау(1.. 3, [3,4,5]); %= [3,4,5] > сура (с, чеогог) Ггие > ч:=аггау(0..2, [3,4,5]); а: = аггау(0 .. 2, [ (О) = 3 0)=4 (2) =5 !) > суре (ч, чеосог) !а[ее Аналогично, 2-мерные массивы, в которых нумерация списков начинается с диницы, являются матрицами: > И:=аггау(1..2,1..3, [ [1,2,3], [4,5, б] ] ); > суре (Х,тасг1х) ггие > Я:=аггаУ(0..1,0..2, [ [1,2,3], [4,5, б]]) 4 Я:= аггау(0..2,0..2,[ (1, 1) = 5 (0,0) =1 (1, 2)=б (0,1) = 2 ]) , (0,2)=3 (1,0) = 4 УВ Глава Ш. Высшая математика > гуре((),вагг1х); ~аде Следующие три секции показывают, что вектор не фиксируется [строка, столбец), а понимается из контекста проводимых вычислений: > х: чесгог([1,2])) Х:= [1,21 > во1сур1у(Х,В)) [8, 5[ > во1Г1р1у(В,Х)г [10, 4) Как можно задавать матрицы строки [столбцы) показывается в следующих двух секциях: > Х: васгвх(1, 2, [1, 3) ) Х:=[1 3[ > Х: =васг1х (2, 1, [1, 3] ) Далее приведены примеры применения основных встроенных функций рассматриваемого пакета: > аосвепс(А,В); 5 2 4 3 > х:=чессог ( [1, 2, 3] ): у:=чессог ( [3, 2, 1] ):сгоааргос) (х, у) ~ [-4, 8,-4) > спагро1у (А, 1авоса); Л вЂ” 7Л+6 > со1(В,1); [4, 2[ > сес(А); > носргос(х,у): 10 > еусепча1а (А) г 6,1 > езсепчесоога(А)) В, [Л[1.

-2В [6. 1, [[2,,1!)[ Линвднвя влавбрв Здесь. первый элемент во внешних квадратных скобках — собственное число, второй — кратность собственного числа, в фигурных скобках — собственный вектор. В следующих двух секциях, проверка: > ви1сдр1у (А, [1, -2] ) ' [1, -2! > еп1еьр1у (А, (2, 1]): [12, 6[ Найдем матрицу обратную к матрице А и сделаем проверку: > ьпчегае (А); 1 — 1 3 3 -1 5 3 6 > ап1С1р1у(А,а) [' '1 Обратная матрица также находится как А '.

> еча1в(А" (-1) ) / 1 -1 3 3 — 1 5 3 6 В следующих двух секциях решается система [' 'Ю-Р > С: =таег1х (2, 1, (9, 6] ) с:=[] > 11пао1че(А, С) ~ М Последующие секции пояснений не требуют; > гапк(А) ( 72 Глава /И. Вывшая мвтвматика > аеас)кмасх1х (А, В); 5 2 2 2 4 3 2 1 > ззЬяасзах (А, 1 .. 1, 2 .. 2); [ 2! > т тасе (А) > г заззрозе(В) Приведенные примеры показывают, что пакет !!па!д предназначен, в первую очередь, для работы с функциональными матрицами. Иначе длительность набора многих встроенных функций себя не оправдывает.

9 3. Математический анализ Пределы функций!пи 1(х) вычисляются в Мар1е встроенной функцией к-«а 1!п)!((!(х),х=а,(((г), где ((!г — необязательный параметр, принимаюший значения 1ей (предел слева), г(н))( (предел справа), геа! (действительный), согпр!ех (комплексный). Данная встроенная функция вводится в командную строку как с клавиатуры, так и с панели ЕХРВЕ5510Х (рис. 1.2).

Шаблон встроенной функции вычисления предела имеет вид: > 11мге(З., Зз=ьт) Г Пример ([4[, 1. 290). Вычислить предел: зГх+ Гх-1 — 1 1пп «-М / 2 Решение. > 11а«1С ( (зяте (х) езязе (х-1) -1) /вязе (х" 2-1), х=1) — Г2 .Г2 Ответ: —. 2 73 Матвматичвоииб анализ Пример ((41, 1.302), Вычислить предел; !1гп хз(Да+2,Дз 2) к-е Решение > 11е1С(х" (372) *(вЧхС(х"3+2)-вЧте(х"3-2) ), х 1от1оасу) г ' Ответ: 2. Пример ([4), 1.339). Найти односторонние пределы: 2+х !ни —,. "-'~за 4 — х Решение. > 15мтс ( (2+х) / (4-х"2), х=2, х1д'ос) г > 11пп'.с ( (2+х) / (4-х" 2), х=2, 1етс) ( Встроенная функция ()!зсоп1(1(х),х) возвращает пользователю значения, в которых нарушается непрерывность функции 1(х). Например, > с<авсоос (ху « х-2) *(х+3) ),х) г (3, 2) > йавсоос(сао(х),х); Встроенная функция !зсоп1(1(х),х=а..Ь) возвращает 1гце, если !(х) непрерывна на открытом промежутке (а, Ь), и 1а!зе, если она на нем не является непрерывной.

Аналогично действует встроенная функция !зсоп((1(х),х=а..Ь, с!озег)'), только на замкнутом промежутке. В частности, > ьвсоое(хl((х-2)*(х+3)),х=2..3)) > 1всоос (х/ ((х-2) * (х+3) ),х=2 ..3, 'с1овеа ) 1а1зе Задача (14), 1.401). Исследовать на непрерывность 24х, если 0 ~ х ~ 1, 4 — 2х, ес((и1 < х < 2,5, , 2х — 7, если 2,5 й х й 4. Г)тена у.

В)исшвя мнптенвгпика Решение. Вводим заданную Функцию: > ст р1есеы1ее(х< 1,2*ецсс(х],х<2.5,4-2*х,х< 4,2+х- 7) 4 2Б ха) — 4 — 2х х<25 2х — 7 х54 Применение встроенной функции!5соп) дает: > аьсоос(х,х 0..4, 'с1озео'); Вычисления односторонних пределов: > 11иЫ(т,х 1,1ето); > 11и1<(с,х=1,садЫ > 11иее(т,х 2.5,1есс) > 11вво(с,х=2.5, гечИС) График заданной функции имеет <скачок> при х = = 2,5) > р1ос (т, х 0 ..