Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8.djvu), страница 7

2, у=-1..1); Рис. 2.23 Дополнительнь4е построения на плоскости Вывод уравнения лемнискаты Бернулли в полярных координатах: > зпЬз (х=г*соз (РЬ1), у=г*ядп(рЬ1), ( (х- а) "2+у"2) * ( (х+а) "2+у"2) =а"4)2 ((» сов(ф) — о)' + г' яг2(ф)')((~ юа(ф) + ~)' + г' ~(г)(ф)') = > Я124Р11»У (Ъ, ГГ1д) 2 ЗЦЬЯ (СОЯ (Рнь) "2=(1+СОЗ (2*РЬ1) ) /2, $) 2 -4г ~ — + — соз(2ф))а +а +2а г +г =а 2(1 1 2 4 2 2 4 4 (,2 2 > зо1че (Ъ, г) 2 О, О, Г2~/сов(2ф) а, — ~Г2у(соя(2ф) а Следовательно, в полярных координатах ее уравнение г = а /2 сов 2ф. Скалярное поле р = р(х, у) изображается графической функцией ((епз((ур(о(, а семейство линий уровня — графической функцией соп(оигр)о(.

Например, если р = х' — у', то: > И1СЬ(Р1ОГЗ) ГЕЕПЯ1СУР1ОГ(Х"2-У 2,Х=-2..2, У=-2..2) 2 Рис. 2.24 > иггк (Р1ос Я ): сопгопгР1ог (х" 2-У" 2, х=-2 .. 2, У=-2 .. 2) 49 Геометрические построения в просгпранстве 9 3. Геометрические построения в пространстве Построение поверхностей происходит аналогично построению кривых на плоскости. Пусть требуется построить гиперболический параболоид, заданный уравнением а = х' — у'. Самый простой способ — через контекстное меню 1зтаг1-способ). 1. Вводится аналитическое выражение, определяюшее поверхность. 2.

Выводится его стандартный математический вид, последний выделяется и шелчком ПКМ открывается контекстное меню.' 3. По строке Р!о1з переход на строку 3-ь! Р!о1, а через нее на нужный порядок переменных. Щелчок ЛКМ по переменным приводит к построению графика. Такими шагами получаем: > х"2-у"2; 2 з х — д > змахср1асзс1х, у! (х" 2-у" 2) 1зне Рис. 2.28 График «сырой» нет осей координат, плохой обзор. Щелчком ПКМ по нему открываем контекстное меню и по строке Ахея (оси) переходим на строку !чогта! ниспадаюшего меню: Рис.

2.29 ) пеев рл ) еоа«етрические построения ои Щелчок ЛКМ по ней дает: це Рис, 2.30 Координатные оси появились, но угол обзора по-прежнему плохой. Поэтому щелкаем ЛКМ по графику, но кнопку не отпускаем, а двигаем мышь так, чтобы за счет вращения графика, которое при этом происходит, получить лучший угол обзора: Рис. 2.3) Графическая функция ядра Мар!е, предназначенная для построения поверхностей, р)о(3б, Конструкцией р)о(3б((,х=а..Ь,у=с..б) строятся повбрхности, заданные уравнением а =)(х, у), а конструкция р)о(3б([(),(2ЯЗ),п=а..Ь,у=с..д) позволяет построить параметрически заданные поверхности.

Построим поверхность ху(х' — у') г = ~х' + у' которая называется «обеаьяньим седломгк > Р1ОСзс) (Х*У* (Х" 2-У" 2) /Зяте (х" 2+у"2), х=-10 .. 1О, у=- 10 .. 10) Геометрические построения и пространстве 57 Рис. 2.32 Построим псевдосферу й х = в(п и сов о, у = з(низ)пи, г =1п (я — а сов и 2 постоянной полной кривизны К = -1: >р1осзо(1а?п(п) "соа (и), выл(п) "а?п(и),1п(сап (пу2) ) +сои (с) 1, и=- 2, .' О, и=о.,2" Рь, ахеа=попта1); Рис 2.33 Так же просто строится, например, катеноид хе списозо, у=с)?ив(по, а=и, поверхность врап(ения, принадлежашая классу минимальных поверхностей (мыльных пленок): > р1о?Зо((соан(п)*сои(ч),сопи(п)*выл(и),п),о=- 2..2,и=0..2*Р1)," Рис.

2.34 Главе д. Геометрические построения Конструкция р!0(3б(((, К),х=а..Ь,у=с..()) позволяет построить две поверхности в одной системе координат. Заметим, что в подобной ситуации на плоскости уравнения объединялись квадратными скобками. Построим, например, пару плоскостей: > р1осЗц((1ехеу,1ех-у),х=-2..2,у=-2..2); Рис, 2,35 Теперь рассмотрим некоторые графические функции пакета р1о(з трехмерной графики.

Графическая функция ипрйсйр!о(36 строит поверхности, заданные неявным уравнением Ях, у, з) = О. Пусть требуется построить двуполостной гиперболоид х' + у' — а' = — 1. Тогда, используя данную функцию, получаем; > итсь (р1ося): 1мр11сьпр1осЗО (х"2ьу"2-я"2=-1,х=-2 .. 2, у=- 2..2,я=-З..З,ахея похма1); Рис. 2.36 Линии уровня высоты поверхности з = ~(х, у) строятся графической функцией соп(оцгр!0(3(((1, х=а..Ь, у=с..((). Например, для плоскости г = б — х — у графическая секция имеет вид: > сопсопхр1осЗс)(6-х- у,х=0..7,у=0..7,ахея=попма1,со1ог=ь1асе); Б 4 2 0 .2 -Б Рис. 2.37 Глава Гл Геометрические построения Графическая функция ро]п[р]о[3([ предназначена для построения последовательности точек: > иьЬЬ (р1оев):родиер1оезс]([вся ([С+1, С-1, С+3], С=-1 ..5) ], со1охг вес, ахев=сохта1, вуеЬо1=Ьох); Рис. 2А! 9 4.

Сплайн-интерполяция Согласно описанию справочной системы Мар]е, встроенная функция зр!]пе(Х. У, х, И предназнзчена для интерполирования таблично заданных функций (Х, У) натуральными сплайнами. В ней Х, У вЂ” векторы или одномерные массивы, х — независимая переменная, ]( — необязательный параметр, принимающий значения ], 2, 3, 4, которые заменяются ключевыми словами Ипеаг, (]ца(]та[]с, сиЫс, (]наг[]с, соответственно. Посмотрим, как она работает. Пусть функция задана таблицей Введем векторы значений переменных: > Х:ввессос ( [1, 2, 3, 4, 5] ); т:г яессох ( [5, 1, 4,2, 3] ) ) Х:= (],2,3,4,51 У: = (5, ], 4, 2.

3! При к = ! получаем: > 1 [1]:=вр11се ( [1, 2, 3, 4, 5], [5, 1, 4, 2, 3], х, 11сеах) г х<2 х<3 х< 4 ойегычзе 9 — 4х -5 +Зх !О-2х — 2 +х Сплайн-инлзврполяция Построим интерполяционнукз функцикз и заданные точки: > р1ох([5[1),[к[а),у[а),5.=1,.51),х=0..5,0..5,есу1е-[1асе,роаст], со3ох=[тес(,Ь1се))з Рис. 2.42 При к = 2 получаем: > 5[2] з=ер1зсе((3, 2, 3, 4, 5), [5, 1, 4, 2, 3),х,сдзас)тагес) з о()зег(в)эе В этом случае график интерполяционной функции имеет вид: > р1ог ( [с [2], [Х [т), У [ 4), 4=1 ..

5] ), х=-2 .. 5, -3 .. з, егу1е =[1тсе,ротсс), сотог=[хес(,(>1ое])з Рис. 2.43 Таким образом, имеет место гладкая интерполяция многочленами второй степени. 44 258 129 — — + — х- — х' 17 !7 17 505 474 115 з — х+ — х' 17 17 17 745 526 — — + — х — 5х' 17 17 970 454 55 — — — Х+ — Х' 17 17 17 974 410 41 — — + — х — — х' 17 17 17 3 х<— 2 5 Х<— 2 7 Х <— 2 9 Х <— 2 Глава П, Геометрические построения При к = 3 получаем: > т(3] з ар1зое([1, 2, 3, 4, 51, (5, 1, 4, 2, 3),х,соЬзс) з 4 48 з 16 д+ — х — — х' + — х' 7 7 7 439 234 з 31 з — -80х+ — х' — — хз 7 7 7 1046 925 261, 24 — — + — х — — х' + — х' 7 7 7 Т 1066 659 135 з 9 з — — — х + — х' — — х' 7 7 7 7 х<2 х<3 х<4 (з о()зегиз(зе Строим графики; > р1ос ( [г [3], [Х [з ], у [з], з=1 ..

5] ], х=О .. 5, О .. 7, агу1е= [1ззпе,розах], со1ог=[гез),Ь1ое])з Рис. 2А4 4544499 5127313 2311224 з 1540816 з 385204 4 345682 345682 172841 172841 !72841 2079678 18082967 9293916 з 3617024 з 474436 а 172841 345682 !7284! 172841 !72841 72720019 104924033 27608184 з 6223536 з 1660 345682 345682 172841 172841 563 92385212 189350759 35450700 з 5787680 з 348324 4 !72841 345682 172841 172841 172841 298611251 240321841 36161400 з 4821520 з 241076 4 345682 345682 172841 172841 172841 3 к<— 2 5 х<— 2 7 х<— 2 9 к<в 2 о))зехзеи, Нетрудно проверить, что на концах промежутка интерполирования х = 1 и х = 5 значения второй производной равны нулю, то есть данная интерполяция является интерполяцией кубическими сплайнами при линейных краевых условиях.

Рекомендуется не путать степени интерполирующих многочленов и степени краевых условий. В последнем случае к = 4: > г[4]з аР1зее([1, 2, 3, 4, 5],[5, 1, 4, 2, 3),х,чеагсзс)з Глава И! ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 5 1. Аналитическая геометрия Откроем пакет деоще!гу и ознакомимся со списком, входящих в него геометрических функций двумерной евклидовой плоскости: > итьл1Чеопегсу1г (АроИопгиз, АгеСоИ!пеаг, АгеСолсиггепг, АгеСолсусИс, АгеСопуияа!е, АгеНагволгс, АгеО«!Ьоеола1, А геРагоИе!, АгеРегрепйси1аг, АгеВ!виаг, А геТалаепг, С!«с1еОуо !в!И!и«!е, СгоззР«о«!исг, СгоззИаио, Оеуглее!Аз, Е«!испол, Еи!е«С!«с1е, Еи!е«Е!пе, Ех!ег!о«Апя!е, Ех!егла1В!зес!ог, Р!лИАля1е, ОегяоппеРоглг, ОИИедеИесиол, Нам«оп!а! Сооп1, Нопгоп!а!Нате, ИиеыогАлд1е, ТзЕ«гиии!ега1, 1зОпСис1е, ТзОлЕ!ле, ТзИ!яЫТ«гапя1е, Маро«Акгз, МагсеБ«гиаге, М!логАхи, Наяе!Ро!лг, ОлВеавелг, РагаИеИ.!ле, Ре«!а1Т«Галк1е, РегрепВНес!ог, Регрепйси!а«Ыпе, Ро1аг, Ро!е, Иайса1Ахсз, Вайса!Сел!ег, Иеяи!а«Ро!уяоп, Иеяи!а«Я«а«Ро!уяоп, Белке«!Маалпи«!е, 5!взопЕ!пе, Бр!га!Иогаиол, 51«егсЬИеИесг!оп, а!ге!сЬИо!аг!ол, ТапдепИ.1пе, Г«егдса1Соог«1, Гег!Гса!Нате, айпиИе, орогдет, агеа, азутрго!ез, Ызесгог, сетег, сепооМ, смс1е, с!гситс!гс1е, сошс, сопиехаиИ, соогйпагез, г!ега!1, йаяола1, йатегег, й!агалоп, йгес!«сх, Йз!алое, Й'аи', Изеявелг, еИрзе, ехс!«с1е, енерале!ол, 1осг, /осик,/огв, Ьото1ояу, Ботойе!у, Ьуре«Ьо!а, Глстгс1е, !лгайиз, т!е«зесдоп, тгегйол, Иле, вейа1, тейап, ве!ЬоИ, вгИро!лг, ог!Ьосепгег, рагаЬо!а, ремвегег, ро!пг, розгегрс, ргоуесиол, гайиз, гала!рого!, гес!Рюсаиол, гедесг!ол, ю!аиол, зеятелг, зи!ез, зьпиииИе, з!оре, запасе, зле!сЬ, галяепгрс, вапз1а поп, !г!аля!е, 1е«гех, иегдсез ) Список достаточно объемный, назначение многих встроенных функций пакета понятно из названий.

Плоскими геометрическими объектами, через которые задаются остальные, в Мар1е являются; ро!п! (точка), зеатпеп! (отрезок), бзерпеп! (направленный отрезок — вектор), 1!пе (прямая линия), !г!апя]е (треугольник), зг)цаге (квадрат), с!гс!е (окружность), рагаЬо!а (парабола), е11!рзе (эллипс), ЬурегЬо1а (гипербола), соп!с (кривая второго порядка, включая вырожденные случаи). Основные конструкции их ввода, соответственно: ро1п!(А, х„, у„), зедгпеп!(АВ,]А,В]), г!зеатпеп!(АВ,]А,В]), !г!апд!е(ТДА,В,С]Дх,у]), зг!цаге(Бс!ДА,В,С,Р]), с(гс(е(пагпеДА,В,СЦх,у],'сеп!егпагпе'=О), рагаЬо!а(нагие, е!!ца!1опДх,у]), е!!!рве(нагие, ег(ца!гопДх,у]), ЬурегЬо!а(нагое, ег!ца!!опДх,у]), соп!с(нагие, е!!ца1!опДх,у]).