Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8.djvu), страница 13

-2х 1 х Задача ([5), 9.371). Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям: у — у' = — 2х, у(0) = О, у'(О) = 2, у'(О) = 2. Решение. Задавая значения производных, применяя дифференциальный оператор (л, получаем: > Сво1че((сЬГГ(у(х), хвз) -с)зхс(у (х), х) =- 2*х, у(0) =О, 0(у) (О) =2, 0(0(у) ) (О) =2), у(х) ); у(х) = е" — е( "' + х' Ответ: у = е" — е " + х'. Аналогично решаются системы дифференциальных уравнений, вводящиеся в общих фигурных скобках. Таким же образом вводятся неизвестные.

Задача ([5), 9.444). Найти решение системы дифференциальных уравнений х = х+ у — соз(!), у = -2х — у+ з!и(+ соз(. Решение. > с(во). е((СЬИГ(х(ц, с) =х(с)+у(с>-сов (с),с)хгг(у(ц, с)=- 2*х (С) -у (С) +вас (С) есов (С) >, (х (С), у (С) > ); (х(г) = з!п(() С2+ соз(() С1 — соз(()А у(() = соз(() С2 — з!и(!) С1 + з!и(()! — з!п(Г) С2 — соз(Г) С1 + соз' Г)() > со11есв (Ъ, С): со11есе (Ъ, 01): со11есв (Ъ, 02); (х(() = з!п(г) С2 + соз(г) С1 — соз(()г, у(() = (соз(() — з!и(()) С2 + ( — гйп0) — соз(!)) С1 + (з(п(г) + соз(())г) Ответ; х =С~ соз(+Се з!и( — гсоз(, у = -С) (гйп ( + соз () + Сз (соз à — з!п Г) -(- Г(з!и ( + соз г). Если необходимо найти частное решение системы дифференциальных уравнений, то в первые фигурные скобки добавляются начальные условия. Найдем решение последней системы при х(0) = 1, у(0) = 2: > с)возче ((олгй(х (с), с) х(с) +у(с)-сов (с),с(ьгг (у(с), с) 2*х(с) "у(с)+вас(с>+ сов(с>,х(0)=1,у(0> 2>,(х(с),у(с» ) г (Х(() = 3 а)П(().+ СОВ(Г) - СОЗ(()й у(() и 2 СОЗ(Г) — 4 В(П(() + В1П(Г)Г' + оса(()Г) 402 Главе /К Дифференс(ивльные,уравнения.

Ряды Фурье Если требуется представить компоненты решения степенными рядами, то добавляется экстра-аргумент зепез. Для последней системы, в частности, получаем: > с(яо1че ((с(дгг (х (г), г) =х (г) +у (г) -соя (г), с(1гг (у(г), г)- 2*х (г) -у (г) +аз и (г ) + соя (Г), х (0) =1, у (0) =2], (х (г), у (г) ), яегз ее ) з (х(г) =1е21 — — ( е — г — — г +0(г ), 2 1 4 1 5 б 2 24 60 у([) = 2 — 3(+ — г — — ( + — г +0(г )) 3 1 4 1 5 б б 12 120 Численное решение проводится автоматически добавлением экстра-аргумента пшпег[с.

При этом результат выводится на листовое поле в виде процедуры, с которой можно обрашаться как с вектор-функцией. Если задано оц(рц( 1]з(ргосе(]иге, то она выводится в виде списка, а если оц(рц( = аггау, то в виде массива, Уберем в последней командной строке зепев и решим систему на отрезке 10, 1), Ь = 0.1 численно; > геягаггзчз=вяо1че((с(1гг(х(с),г)=х(с)+у(г)— соя (Г),с(лгг (у (Г), Г) =-2*х (Г) -у(Г) вяза (Г) е соя (Г),х (О) =1, у (0) =2 ), (х (С), у (Г) ), повегьс,опсрог=11ягогосес(пге) з [з[= 1Г = (ргос(() ... еп(] ргос), х(() = (ргос(() ...

еп(] ргос), у(() = (ргос(() ... еп([ ргос)) > Х: =яп)зя (Ч, х (Г) ) з Х: = ргос(Г) ... епс] ргос > уз=во)зя (ч, у(г) ) г у: = (ргос(()... еп(1 ргос) > М1 с=вес((0. 1*Г, Г=О .. 10):М2: =вес((Х (О. 1" Г), с=0 .. 10) зМЗ з =Яея(У (О. 1*Г ), с=О.. 10) з > мз =язаггз х ( [ [м1], [м2], [мз] ] ): н: =с гапярове (м) з ]У; = [гапврове(зг() > еча1яз(Н) О.

1. 2. .1 1.195004145 1.700158193 .2 1.380061351 1.401202937 .3 1.555296339 1.103848927 .4 1.720891723 .8086402888 .5 1.877068096 .51596677?9 .б 2.024061784 .2260881002 .7 2.162105895 †.06084465986 .8 2.291409761 —.3447608567 .9 2.412141863 —.6256446487 1.0,,2.524413 138,,— 59035062850. я Д'ифференциельные уравнения Построение на фазовой плоскости полученного решения: > К: еча1в(Н):р1оС([К(1,2),К(1,3) «1 1..11),х 0..3,-1..3, аСу1Е рО1ОС,ОО1ОгееЕС)); Рис.

4.1 В примерах справочной системы Мар!е, видимо, с учебными целями, широко практикуются обозначения математических объектов (дифференциальных уравнений, начальных условий и т. д.). Такой подход нельзя назвать рациональным, но в некоторых случаях он может оказаться полезным. Поэтому следуюшая задача решается именно таким способом.

Задача ([5), 9.441). Найти решение системы дифференциальных уравнений х = Зх — 2у+й у = Зх — 4у Решение. > ауа'.=(с)1ГГ (х (с), с) =3*х (с) — 2*у (с) ес, О1сс (у (с), с) 3*х (с) -4*у (с) ): > а:=(х(с),у(с)): > с(ао1~е (ауа, а); (х(() = е( м) С2 + еоо С! — — — — т, 18 3 у(!) = Зе( "' С2 + — е~о С! — — — — !) 2 12 2 Ответ: х = С,е + Сзе — — — — (, у = — е + ЗС,е 5 2 С, 18 3 ' 2 ' 12 2 В Мар!е имеется операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. Решейие оператор)(ым методом системы диффереициаль- 104 Глввв 1)х Дифференциальные урввнвния.

Ряды Фурье ных уравнений задачи 9.444 при начальных условиях х(0) =1, у(0) =1 имеет вид; > бзо1че ( (б1 та (х (С), С) -х (С) «у (с) -соз (С), б1з з (у (С), С)— 2*х(с)-у(С)+з1о(с)+ соз(с),х(0)=1,у(О)=2),(х(с),у(с)), 1ар1асе)г (х(1) = соз(1) + 3 з!п(1) — 1 сов(1), у(1) = — 4 яп(1) + 2 соз(1) + 1 сов(1) + з!п(1)1) Задача ([5), 13,122). Найти при нулевых начальных условиях решение дифференциального уравнения х" + х = !(1), где 1 при 0 < 1 < 1 ф)= -1 при1<1<2 0 при 1 > 2 Решение.

> бзо1че ( [б1тз (х (с), с$2) +х (с) =р1есеи1зе (<<0, О, с<1, 1, с<2,— 1, С>=2, 0), х (О) =О, 0 (х) (0) =0), х (с), ее<под=1ар1асе); (<0 иле(е)(леЫ вЂ” соз(1) +1 илде1!ле(( 2 соз(1 — 1) — соз(1) — 1 ил<(е1(ле(1 + 2 соз(1) — соз(2) — соз(1 — 2) + 2 соз(1 — 1) — соз(1) 1<1 х(1) = 1<2 , )1 — 1 , )1 — 2 Ответ: х(() = 2(яп' — НЯ вЂ” 2 яп — Н(( — 1) + яп Н(( — 2)), 2 2 2 Н(1 — )() — единичная функция Хевисайда, «запаздывающая» на й. Удивительный факт, если правую часть уравнения ввести с помощью единичных функций Хевисайда, то и ответ будет выражен через них: > бзо1че ( (ба те (х (С), С$2) +х (С) =Неач1з1бе (С)— 2*неачзз1бе (с-'1) +неач1ззбе (с- 2), х (0) =0,0(х) (0) =0), х (с),веспоб=1ар1асе) у , ('1 х(1) = — соз(1) + 1 — 4НеазйзЫе(1 — 1) з!п~ — 1 — — ! + 2Неач!зЫе(1 — 2) з!п~ — 1 — 1~ (2 2) (,2 Мар!е — исключительно понятливая система.

В Мар!е, если есть необходимость, можно с помощью встроенной функции гебцсеОг((ег пакета 0Е100(з понизить порядок дифференциального уравнения, решить линейное дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных, используя встроенную функцию чаграгагп этого же пакета, и многое-многое другое. Однако на всех этих, редко используемых возможностях, останавливаться не будем. ' 'Г~о(метрические построения, связанные с С)ДУ Е 2. Геометрические построения, связанные с ОДУ Численные решения, получаемые функцией дзо1че, имеюшей экстра-аргумент пцп)ег!с, графически изображаются встроенной функцией одер!0! (решение, (переменные), пределы решения, необязательные параметры) пакета р(о!3, Пусть требуется найти численное решение задачи Коши у' = 3!п(ху), у(0) = 3 и построить график решения. Находим численное решение: > у: с(ео1че ((с(1ГГ (у(х),'х) еьп (х*у (х) ), у (О) =3), у(х), ошпех1о); У: = ргос(гЦ45 х) ...

ецио ргос Строим график; > е1С)у(р1оее):ос)ер1оС(8),[х,у(х)),0..3); 3. Рис. 4.2 Аналогичным образом строятся графики компонент численного решения задачи Коши системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим математическую модель хищники — жертвы, к которой привела необходимость объяснения колебаний рыбных уловов в Адриатическом море'. Имеются два биологических вида, численностью в момент времени 1, соответственно, х(!) и у(!), причем особи первого вида являются пищей (жертвами) для особей второго вида (хищников). Требуется определить численности популяций в произвольный момент времени, если в начальный момент времени они известны. Математическая модель задачи — система уравнений Вольтерра-Лотка: с(х — = (а — Ьу)х, с(! 2у — = (-с + с(х)у, Ю А В.В.ДМММ ур р .— М,Н,УРАУ.— 406 Главе )К л(ифференцивльньге уррвнения.

Ряды Фурье где а, Ь, с, (1 — положительные коэффициенты. Задача. Провести расчет численности популяций в модели Вольтерра-Лотка, если х(0) = 3, у(0) = 1, а = 4, Ь = 3, с = 2, ([ = 1, 1 е [0,10). Построить графики численности популяций. Решение. > у:=с(эо1че ((с>ьгг(х(с), с>=(4- 3*у(с) ) *х (с),с>асс (у(г), с) =(- 2 >х(г> ) *у (С), х (0) =3, у (0) =1), (х (С), у (С> ), повесао>; [г: = ргос(гя145 х) ...

еп(] ргос Построение графиков численности популяций (рис. 4.3): > кагь (р1огэ >: ос>ер1ог (у, [ [С, х (г) ], [С, у (С) ] ], 0 .. 10) г 14 гг г г Рис. 4.4 Рис. 4.3 Конструкцией о([ер]01(Ч,[х(1),у(!)],а..Ь) строятся фазовые кривые. Построение на фазовой плоскости решения последней задачи (рис. 4.4): > ооер1ос (у, [х (с), у (с) 1, 0 .. 5); Геометрические построения упрощаются графическими функциями пакета 0Е!0013, назначения которых: РЕр!о! — построение плоских интегральных кривых и фазовых траекторий; [гЕр!о!3([ — построение пространственных интегральных кривых и фазовых траекторий; ([[!е!др!01 — построение плоских полей направлений, определяемых дифференциальным уравнением или системой ДУ; рЬазерог!тай — построение фазовых траекторий или их проекций на координатные плоскости.

Порядок ввода параметров: дифференциальное уравнение или система ОДУ, неизвестные функции, диапазон изменения независимой переменной, начальные условия, необязательные параметры.. ,, [Ъсе(еяричеокие пооароения„:связанные о ОДУ- т07 Начальные условия, независимо от того, строится одна интегральная кривая (фазовая траектория) или несколько, задаются списком, то есть в Виде «квадратные скобки Ъ квадратных скобках». К необязательным параметрам',' кроме диапазонов изменения зависимых переменных, относятся; аггочка = <...> — тип стрелок векторного поля (БМА11, [.АГАПЕ, МЕИ1]М, [.[г[Е); со]ог = <...> — цвет стрелок; ])песо[ог = <...> — цвет линий; те(])о(] = <...

> — метод решения ('г[(4', 'г[([45' и т, д.); з[ерз[зе = <...> — шаг решения. Последний параметр особенно важен, если программа «ленится» и появляются ломанные. Координатная плоскость, на которую проектируется фазовая кривая, задается параметром зсепе=[, ]. ([у з[п у Задача (110], 1.29). Построить интегральные кривые уравнения — = и'х з[п х Решение. > Ркр1оС (Р (у) (х) =з1в (у (х) )! »1В (х), у(Х), Х=-4 .. 4, у=-4 ..