Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика.djvu), страница 78

Повтому в си- лу известной теоремы Лапласа (б) Для вычисления элементов верного якобнана замечаем, что Р; = дд„„,/В()ь Поскольку производная ио ~), берется здесь при вычислении дР,/дры эту прснвводную следует рассматривать как функцию скоростей ()ь в потому По так как согласно (2) 9~ есть линейная функцив бы в следовательно, и лвнейная функция ры то д()~/др, зависит только от координат !/. Поэто- му предыдущую формулу можно записать в виде дР; аде Еле д!/ ! На основании (2) ад,. ад,. В ар„Жа эй««в Р;= дд; дд«„я Р д()г ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКГОРА илв после замены 1 вв л в наоборот лс» д'ул (« ! (8) Поэтому Таким образом, (10) что и доказывает иввариавтвость фазового объема отвосвтельво преобразовавия обобщеквых координат. 15. Пркведевпое определение коллектива требует дополвительвого полевения, в каком смысле следует понимать выражение «при любом выбор«к Нваче может получиться противоречие.

В самом деле, раз выбор «подпосяедовательпосги» может быть «любым», то подпоследователввость можно выбрать так, чтобы каждому элементу ее соответствовало зпачепие л,. Для таков последовательности И"(з,) = 1, так что соотвошекпе (3.66), вообще говоря, не будет выполнятьсл. Чтобы избежать противоречия, положевве 2 можно сформулировать следующим образом: Каков бы ви был устало«А«нный до и«иыганил заков выбора подпоследователькости л' элементов, являющейся частью последовательности а, существует предел л'(г) »г' (з) Пш —, в' (3.6а) (3.66) «Закон выбора» подпоследовательностп л' устапаэллвается до испытания, например, следующим образом.

Ничего еще ве зная о последовательности л, выберем иэ чисел натурального ряда 1, 2, 3, ... любую бесконечную подпоследовательность»ль ю», тъ ... После этого перейдем к «испытанию», т. е. к образованию последовательности и, в отберем па кее элементы о номерами юь тъ ...

Тогда получитсл бесконечная подпоследоввтельиость л', которая должна удовлетворять условиям (З.ба) и (3.66). 16. Микро«анович««ко« расвр«дел«ни«, конечно, можно записать, совершенно ие пользуясь силеуллрными З«унвиилмв, ввалогичвыми символу Дкрака 6(3). Для этого от объемной плотности м(Х) кадо перейти к лов«рзносг»юб плотности вероятвости а(Х) на мвогомервой поверхности энергии Н(Х) Е, ограпичивающей фазовый объем, занимаемый рассматрпваемой системой. Будем исходить из формулы (7.4), согласно которой объемизя плотность вероятности отлична от нуля и равна постолнвой только в слое между поверхностями Е(Х) = Е и Е(Х) Е + ЬЕ.

Элемент объема фзэового пространства в этом слов можно представить в виде 8Х Ь)У »(2, ЬО1 ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА где ЬН вЂ” толщина рассматриваемого слоя по нормали, а ИŠ— площадь элемевта поверхности Н (Х) Е. Поверхностная плотность вероятности а пайдется пз условия ОИЕ вах=вдХЬН, которое дает а = вЬН. Толщину ЬН можио определить иа соотношения дН ЬŠ— ЬН = (йтаб Н) ЬН, где йтабН, разумеется, берется в многомерном фазовом простраистве. 'Га- иим образом, получаем вЬЕ ) игаб Н ) ' или ввиду постоянства и п ЬЕ а ) йгаб Н ) ' Постояккая а найдется из условия нормировки оеХ а 1, ле ,) ( ягад Н ) где интегрирование распрострапяется по всей замкнутой поверхности виергии, окружающей фазовый объем, завпмаемый системой. 17.

Зависимость объема ЗН-мерного шара от эиергяи можяо получить следующим образом: Объем такого шара выражается питегралом у=~ ... ~а„)Р,„... ж„,. ЩР)<е Введем запеву перемевпых, полагая Р~ Уерь Так как кияетическая энергия К(Р) — одпородвая квадратичная фуикция импульсов, то К(Р) = ()з)'К(р) = еК(Р), так что У ~ ~ СЗ Ч~т,г,~„лр СЕЗМ/З й1Р1<г где т. е. пе зависит от е. 18. Для уясяения теоремы Гиббса о системе в термостате полезно разобрать следующие две задачи.

Докааать теорему Гиббса, предполагая, что термостатом служит твердое тело, состоящее из частиц, совершающих малые колебаиви под действием квазиупругих свл. б Ы. А.иеоятезич ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА А(02 Рвшаниа. Гампльтопова функция термостата может быть вапксава в ви- 1 чС» а да и 2 б»»,Р» + ш,т~), т. е. является одкородвой квадратичной функцией координат и импульсов. Этого достаточно, чтобы применять доказательопю, прпведеяпое в $ 10 для случая, когда термостатом ввляетси идеальный гав.

2. Докавать теорему Гиббса, предполагая, что потенциальная ввергая термостата — однородная франция координат и-к степепп, где аг — любое положительное число. Решение. Задача сводится к вычислению 6/У-первого иятеграла У (Е) = ) ... ) АР хг)Р „... ЮР»»,дх АУ ... Ыгя. К+У<в Мы предполагаем, что К ке зависят от координат. Так как К вЂ” одвородпая квадратичная функция импульсов, то, иктегряруя свачала по ямпуль<ам, получвм У (е) 1 дх ... Аг„~ »)Р „...

АР»» — — ~ С(е — У)а~/гдх»... Ага, У<е х<е-У У<а где С ке вависпт от е к коордкват. Сделаем в последнем интеграле аамеву и3 г перемевкых, полагая х» г"е х» (» = 1,2, ...). Тогда гг (е) ~ ... ~ С ~е — еУ(х», ..., гк)1г /~Ах» ... А»я 77(х „.х )<» сове» агп(»~г+»/ш>, причем сове» пе ваввсит от е. Поэтому можно првмевпть рассуждения $10, положяв о = З)У(1/2+ 1/т) — 1. При етом кктеграл должеп сходиться, таи яак в противоположном случае термодкпампческое равновесие вевоаможво. Это исключает отрицательные вкачепяя нь 19. Пусть 8 — интегрирующий делитель выражения АЕ+ ХА»даь вависящий только от температуры Т к ве вависящпй от параметров а». Зиачвт, выражение — '(АЕ+ ~~ А»да»)= ы ~ дТ ЙТ+ ~Я)~~да + А»/да»1 — полный двфферекцвал. Поэтому 40Е пРимечАния РБДАКТОРА Тэк как и Т вЂ” интегрирующий делитель, то Допустим сначала, что по крайней мере для одного $ ВА<)ВТ;йО.

В этом случае можно поделить почленво последние два равенства. Тогда получив< АВ ВТ Е Т откуда 6 = '«Т. Если же дАНдТ = 0 для всех д то ВЕ)де< — А<. Значвт, Е имеет вид Е = Е<(Т) + Ез(а„аь ..., а ). В этом случае аЕ+~чР Агдас ~ ВЕ,(Т), а потому любая температурная функция 6 0(Т) является вптегрврующим делителем выражения ВЕ+~Аьда<. ~о это выраженно есть тепло, полученное системой. Значит, предположение ВА<)ВТ 0 влечет аа собой следствие, что тепло, полученное системой, а также работа совершенная ею, аавнсят лишь от начального н конечного состояний си стемы, ио ие от пути перехода. Поэтому воз»<оживеть, что для всех Е производная ВА<)ВТ = О, следует исключить.

20. Значение интеграла состояний ве зависит от выбора обобщенных ноордпиат н соответствующих им импульсов. Это непосредственно следует на доказанной в б 2 теоремы, согласно которой фазовый объем ивеериелтем относительно преобрааования обобщенных координат п импульсов (см. примечание редактора 14). Если бы зто было ие так, то свободная энергия системы, а с ней н физические выводы, аависели бы не только от внешввх параметров и температуры, но и от выбора координат, что, очевидно„ ве имеет смысла.

2С При доказательстве соотношения дН (1р ветер накладывает на функцию Н ограничение 1Ч е Н(В1Е< + 0 е< По су<цеству это ограничение как самостоятельное требование излишне, так как, если последнее равенство пе соблюдается, то термодвнамнческоо равновесие веееаможво. Докажем соотношение (1), не накладывая явно ограничения (2). С этой целью рассмотрим энергетически иаолированвую большую механическую систему, находящуюся в термодинамическам равновесии. Каждую малув» часть ео можно рассматривать кзк помещенную в термостат, которым слув.нт остальная часть большов скстемы.

А поскольку кинетическая эиергвн всякой системы аддятивно складывается из кинетических энергий ее частей, для всей большой системы имеет место теорема о равноиерном рвсвределении кинетической энергии по степенны свободы в виде дН р — „=Е. < др. ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА Поэтому, принимая во внимание, что среднее статистическое равно еред- мему по времоии, можем написать 11п» ~ Р»Ч»д» 1 Г Т е т Т Р»дЧ» = 1»ш (Р»Ч»)е )»и» ~ Ч»дР» 1 т 1 т Т ''е т Т, Т 1 Г дН Р» = 1»»и Р» — д» дР» т,, Т3 др, е Пав 1 т Т Т Т дН ИН Р' д 11ш — »~Ч»дР»= 1(ш ) Ч» —."» =Ч» д дР» т Т 3 ' ' т «,) 'дд; дЧ» е е Следовательно, для энергетически изолированной системы »Н Ч» —, =Е.

» дЧ. Значит, такое же соотношение справедливо н для системы в термостате, кзк ето следует нз сказанного з начале етого примечания. Допустим теперь, что для всех» дН » н, следовательно, Н = )'„ — д»Чз + К (Р), В етом случае соотношение (1) выражает равномерное распределение потенциальной энергии по степеням свободы.

Сказанное относится и к доказательству соотношения дН Ч» — = О при» ЧАВ. дд» 22. Теорему о равномерном рвспределенпп кинетической энергии по степеням свободы, равно как и болев общие соотношения (15.3), (15А), (15,6) и (15.7), можно доказать п непосредственно из лиидоиаио»»ичесиоее расиределеиия (см. примечание редактора 16). Для этого надо воспользиввться теоремой Гаусса — Остроградского о преобразования поверхностного кнтеграла в объемный для многомерного пространства. Обозначая эвди краткости координаты и импульсы замкнутой системы через з», имеем дН дХ и =и())з., )Н) =паз соз(Н~з))дй, » дз) ())» дг ) бгв Первый член в правой части этого рзвенства равен нулю, так кзк при тер- модинвмическом равновесии величины Ч» и Р» для замкнутой системы не могут обращаться в бесконечность.

Поэтому ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА По теореме Гаусса — Остроградского зта величина равна г дхг г дх ) дх) Так как х» и хг — независимые переменные, то дхг/дхг б» (где бц 4 при г =! п бц О прп г чь(), а потому зн х. —. = аб бХ = аХ6.. „.1 где Х вЂ” объем фааозого пространства рассматриваемой аамкнутой системы, окруженной ее поверхностью знергип, т. е. величина постоянная. Значат, постоввва п величина аХ, т.