Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика.djvu), страница 79

е. одвнаиова для всех г и д В последней формуле п содержатся все соотношения, являющиеся обобщением теоремы о равномерном распределении. Постоянную аХ можно определить, если предположптьч что какая-то часть системы является идеальным гааом, для которого зта постоянная известна. Подчеркнем, что в приведенном доказательстве используется только предположекпе об ограниченности фазового объеме, эанвмаемого системой. А без етого предположения термодпнампческое равновесие невозможно.

23. Если струна слабо изогнута, то изменением продольного натяягення струны г вз-за ее изгиба можно пренебречь. Но натяжения на концах элемента струны лх из-эа его покривления направлены по-рваному. Из-аа етого возникает сила, перпендикулярная к струне. Если струна изогнута слабо, то ата сила равна дч(. +Ях) дс(х) 1 д ч дх дх )' — У з лх и направлена от положения равновесия струны. Обозначим через Рех внешнюю силу, действующую на элемент ех и направленную к положению равновесия. Тогда прп равновесии д'ч т —,= р. дх Допустим, что виешкяя сила действует только на малый участок А( стру- ны. Интегрируя предыдущее уравнение по этому участку, получим лзс т —, Лх- ~Р(х) бх. дх ш Ю Пусть участок М уменьшается, стягиваясь к точке хь однако так, что интеграл ) Р(х) дх остается конечным.

Обозначим значение этого интеграла через р9, где р — линейная плотность струны. Очевидно, можно написать рв=~рВб( —,) )х, ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА в, следовательно, Т вЂ” зда = ~рО 6 (* — ) д . д э д.' е Отсюда д'э , ~'д Т вЂ” = рО 6(н — а ), плп аз — = О 6 (~ дз е ' ан~ е' — lдрт (Ау)г = — РТ ~д )' ° "Т Здесгн как всегда, индекс Т указывает, что производная ду/др берется прк настоянной температуре окружающей среды (термостата). Если бы вещест- во внутри объема У было адиабатическн изолировано, то индекс Т следова- ло бы заменить ыа д (постоянство зытроппп): /ду 5 (АР)8 = — гт '(д~ Р 8 (2) Обе формулы (() и (2) выражают флуитуацвв объема одной и той же мао сы вещества, находящейся в термодвпамическом равновесии с окружаю. щей средой. Рассмотрим теперь флуктуации энергии К той же массы вещества.

Среднее значение энергии определяется формулой — ( Г 3 — ~ Ее авдГ г ) (5) где а 'з(АТ, дà — элемент объема фавового пространства, занимаемого где а УТ/р — скорость распространения поперечных возмущений вдоль струны. 24. Утверждение, что классическая теория вообще не согласуется с фактом эависимосты теплоемкости тел от температуры, несколько категорично. Дело в том, что теорема ((5.5) сводится к равномерному раскреде- ЛЕпиЮ СреДией натенчианьней ЭнеРгин по степеням свободы только в том случае, когда потенциальная энергия системы является наадрагичней ~йуннчией координат. Если этого нет, то средыяя потенциальная энергия, приходящаяся ва одну степень свободы, зависит от температуры.

Будет зависеть от температуры и теплоемкость тела. Однако, какова бы ни была ылассическая модель тела, эта вавпспмость не согласуется с опытом. Особенно резкое расхождение классической теории с опытом получается прп нианив геынерагураз. Опыт показывает, что при стремлении температуры к абсолютному нулю стремится к нулю и теклоемкость всякого тела. Оказывается, что равномерное распределение энергии по степеням свободы справедливо только в ограниченной области температур. Удовлетворительное решение вопроса о теплоемкости тел дала только квантовая теория.

25. Как подробно изложено в $27, флуктуации объема ЬУ изотропного тела, помещенного в термастат с температурой Т, выражаются фор- мулой ПРИМКЧАНИЯ РЕДАКТОРА АОУ этой массой вещества, а Š— интеграл состояний~ г-~.-" лг. Дифференцируя последнее соотношение по параметру а, получим 6г — = — ( Е~ "~оГ, е'и ) и формула (3) прпнниает вид и Е= — — —, Е Лп' Отсюда 6Е (,Рг ( !66)' ) Лзг — = — — — + —. — = — — — +(й) . Ли 3 Имз тз (,оп/ 2 лнз Аналогично з ( ( з— 1 о~а Е = — ~ Еае Ке'Г=.

—,—. Сравнение атой формулы с предыдущей дает Ю (АЕ)з .= Š— (Е)з = —— иля после подстановки параметра а= ЦМТ з з (АЕ)з йтз— ет Заметим, что полученный результат распространяется без всяких яаменевнй п на случай квантовых систем. 'Только при выводе вместо янтеграла надо пользоваться суммой состояний.

В случае макроскопической системы, объем которой поддерживаетси постоянным, М имеет смысл внутренней енергяи системы, а ИЕ/лт — ее теплоемкости С» прн постоянном объеме. Тогда иа формулы (6) получаетси (АЕ) зг = АТ'С, . Нри выводе формул (6) и (7) объем г' системы рассматривался каи внешний параметр, который мы в иоице концов приняли постоянным. Если за внешний параметр принять давление р, то зсе рассуждения могут быть сохранены, но знергию Е надо заменить на знтальнию 1енЕ+ ру.

В результате вместо формулы (6) получится — оХ (Ы)'„' = Атз —, Но прн р *сопзФ производная еЦет есть теплоемкость Сг сиотемы при постоянном давлении, а потому (Ы)з = АтзС . (9) Распространим теперь термодинампческий метод вычисления флуктуаций, изложенный выше, на любые величины, характеризующие макроско ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА 4(0 которых температура практически не окааывает никакого влияния. В этом случае внутреннее строение частиц не проявляется в теплоемкости. В большинстве случаев указанному условию удовлетворяют кристаллы, построенные иа атомов или ионов, у которых расстояние между нормальным п первым воэбужденным уровнями велико по сравнению с АТ.

Однако у вепоторых атомов и ионов нияшне энергетические уровни расположены очень близко друг к другу. Например, в кристаллическом сульфате гадолиннн пилений энергетический уровень иона гадолвния состоит из восьми яодуровней, расстояния между которыми соответствуют в температурной шкале характеристической температуре (,6 К. При очень нвэкпх температурах (Т ем 7 К) появляется добавочная теплоемкость, обусловленная возбугкдением указанных подуровней. При столь ниаких температурах теплоемкость решетки весьма мала по сравнению с втой добавочной теплоемкостью.

Прп Т (,6 К теплоемкость кристалла почти в 500 раэ превышает тепло- емкость кристаллической решетки. При дальнейшем понижении температуры теплоемкость кристалла, естественно, падает до нуля. В кристаллах, построенных иэ сложных молекул, может появиться теплоемкость, свяэанная с тепловым движением атомов влн атомных групп внутри молекулы. В первом приближении можно считать, что колебания молекул внутри решетки не скааываются на их внутреннем состоянии. Тогда теплоемкость кристалла можно представить в виде С Среш+ С гетр. Вклад, вносимый в теплоемкость внутренним движением, в некоторыт случаях может быть довольно аначительиым.

Наирнмер, теплоемкость, свяаанная с внутренними колебаниями в молекулах бепаола, составляет около 20ег от теплоемкости решетки при Т яг (50 К и достигает 60ей при Т рп 220 К. Сы. также по этому вопросу конец $42. 28. Вопрос о тонкой структуре рэлеевского рассеяния света, аатронутый автором в конце 6 41, наложен весьма схематично. Автор говорит о рассеянии света в кристаллах, тогда как его результаты, если отвлечься от орной существенной детали, относятся к рассеянию света в иэотропных телах, например в жидкостях. Топкая структура линий рэлеевского рассеяния была предскаэана практически одновременно и независимо друг от друга Л.

И. Мандельштамом н Л. Брпллюэном. Зтн ученые покаэалв, что вэ-аа рассеяния света на тепловых акустических волнах спектральные линии в рассеянном свете доллены расщепляться па дге вомвонгнтьг, как это изложено М. А. Леонтовичем в настошцей книге. Л. И. Мандельштам и Г. С.

Ландсберг пытались ьа опыте обнаружить предскааанпое явление при рассеянии света в квар. це. Качественно пм удалось констатировать существование явления. Однако недостаточная раэрешающая способность нх спектральной аппаратуры по позволила последовать его количественно. Кроме того, эти опыты привели их к открытию комбинационного рассеяния света. Естественно, что внимание исследователей переключилось на научение этого более важного явления.

По предложению Мандельштама и Ландсберга исследованием ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА 411 тонкой структуры рзлесвского рассеяния занялся Е. Ф. Гросс в Ленянграде. Гросс обнаружил явленке прп рассеякпп света в жидкостях. Это было ясожвданно, так как согласно гидродинамической теории поглощенна звука в жядкостях пропорционально квадрату звуковой частоты ю. Если бы гядродпнампческая теория была верна беа ограничений, то звуковые волны высоких частот, соответствующие тепловым колебаниям, в жпдкостяв распространяться не моглн бы.