Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (Радушкевич Л.В. Курс статистической физики.djvu), страница 7

Для нахождения величины А обратим внимание на функцию 1(и), которая согласно (1,5) после введения ае — — — а имеет вид: Ци) = Ае- Отсюда следует, что вероятность компоненты скорости в интервале от и до и+с»и равна: 7(и)иси=Ае- *сти. (1.8) е»» +и» ) 1(и)с(и=А ~ е-'мг(и=1 (1,9) 3 л. в. Рддуи»девин Константа А оставалась неопределенной потому, что в этом выражении вероятность не была нормирована. Составляя интеграл нормировки, мы находим значение А. Для этого, как было указано во введении (стр.

15), суммируем все вероятности при всевозможных значениях и. Компонента и вообще является конечной, так как кинетическая энергия молекулы не может принимать бесконечно больших значений, хотя принципиально возможны случаи, когда она весьма велика. Для того чтобы безусловно охватить все возможные случаи значений и, мы просуммируем выражение (1,8) по всем значениям и от — оо до +со. Тогда интеграл нормировки примет вид: Глава д Кинетическая теояия гогов так как мы знаем, что сумма всех вероятностей равнадостоверности, т.

е. единице. Это означает, что молекула наверняка имеет какую-нибудь компоненту скорости. В формулу (1,9) входит определенный интеграл, представляющий собой первый из так называемых интегралов Пуассона, имеющих большое значение в теории вероятностей и в статистике. Такие интегралы будут нам встречаться и далее, поэтому вычисление их дано в математическом приложении 2 в конце книги (стр.

409). Переходя к формуле (1,9), находим с учетом (П,2): есо А ) е-аи*еги=А 1/~ =1, у а СО отсюда А=)/ — „, (1,9') и из (1,6) находим э Р (сэ) = ( — ) э е- ~'. Теперь формула (1,7) принимает вид: э ееЪ, = т егтс, = 4л ( — „) те 'сМс. (1,1 1) Для нахождения константы а обратим внимание на то, что в (1,1!) входит функция скорости с: ер (с) = е-"* с'. (1,10) Изучим свойства этой функции, проводя анализ ее на максимум и минимум. Для этого находим: — ер(с) = 2се-'"* — 2ос'е- * = О.

ас Иначе: се -ас' (1 ост) 0 Это условие соблюдается в трех случаях: 1 с,=0; се=со; с,= — =с„. )с а Исследуя, как принято, знаки второй производной функции ер(с), найдем, что первые два значения соответствуют минимумам функции ер(с), тогда как третье отвечает максимуму. Следовательно, функция скорости характеризуется максимумом при 4' 3. Раснределение скоростей молекул в газе при телловом равновесаа 35 конечной скорости са, причем, как легко проверить, два минимума дают нули функции, значения которой вообще всегда положительны. Таким образом, 1 а= —.

р Окончательно получаем из (1,11), подставляя значения сс из (1,12): 4 ~ 'а. с у-„сз (1,13) Скорость молекул са называется наивероятнейшей скоростью, так как ей соответствует максимум в выражении (1,13). Вероятнее всего, что молекулы движутся с такой скоростью. Формулу (1,13), выражающую максвеллово распределение скоростей, удобнее представить в другой форме, относя все скорости молекул к наивероятнейшей: С= —,'; (0~<С~<со). Тогда из (1,13) находим: г(по= — ~ в-с*. Сзс(С или йнс 4 и с(тр = — с = — в-с' ° Сз гсС (1,16) здесь с(трс есть вероятность того, что молекула имеет относительную скорость С в пределах от С до С+с(С.

Функция Ф (С) = = в-с' С' 4 "тсй (1,16) называется функцией распределения скоростей. Ее можно также назвать плотностью вероятности, так как ее смысл отвечает определению, указанному во введении (стр. 16). Итак, й'вс =Ф(С)с(С. (1,17) Распределение скоростей молекул можно представить графически.

На рисунке 3 дан график функции Ф(С), построеннчй по уравнению (1,16). По оси абсцисс отложены скорости С, по оси ординат — соответствующие значения Ф(С). Кривая распределения имеет макчимум при С *1; как видно на чертеже, Глава У. Кияетичеекая теория газов распределение является несимметричным по отношению к максимуму. Вероятность скорости между С и С+ггС выражается соотношением (1,17), которому на графике соответствует площадь криволинейной фигуры (например, заштрихованный участок на рис.

3). Отсюда следует, что функция распределения сама непосредственно не равна Рис. 3. вероятности; последняя получает- ся при умножении функции распределения на интервал скоростей г(С. Здесь опять мы видим, что при нахождении вероятности должен быть указан интервал скоростей, так как вероятность того, что молекула обладает каким-либо точно выбранным значением скорости, всегда равна нулю. Вся площадь под кривой должна быть равной единице, так как сумма всех вероятностей означает достоверность. Действительно, интеграл значений согласно (1,15) равен единице: 4 ~'в-ст Сз УС о 1 в соответствии с тем, что интегРал ПУассонаУз Равен:зг= — '1/и (см.

стр. 4!0). Максвеллово распределение скоростей молекул показывает, что в газе при тепловом равновесии встречается относительно немного медленных молекул, также невелико н количество весьма быстрых молекул, тогда как большая часть движется с наивероятнейшей скоростью. В кинетической теории газов, кроме наивероятнейшей скоро. сти молекул, рассматриваются также с р е д н я я и с р е д н я я кв адр а ти чная скорости.

Ввиду несимметричности функции распределения относительно максимума средняя скорость не равна наивероятнейшей. Чтобы найти среднюю скорость, поступаем, как при нахождении среднего значения, т. е, умножаем выражение (1,13) на с и интегрируем произведение в пределах от 0 до оо, после чего результат делим на полное число молекул: СО СО 1 е ч 1 г е„ с= — ) сггтг = — — ) е " сзггс. — ° .1 )Гя ', ) о 38 Глава 1. Кинегпческоя теория газов Заметим, что распределение компонентов скоростей подчиняется уравнению (!,8), куда входит функция распределения вида: О (и) — е-ай которая называется функцией Гаусса.

Эта функция является симметричной относительно оси ординат на графике функции 6(и). Функция Гаусса часто встречается в математической статистике. Она дает, например, распределение случайных ошибок при практических измерениях (см. также главу ч'). 5 4. Экепвримвнтальныв подтверждения маквееллеавквге равпределвння екереетвй гайееых мелекул Значение максвелловского распределения скоростей газовых молекул является настолько важным в кинетической теории газов в принципиальном отношении, что необходимо рассмотреть подробнее эксперименты,которме подтверждают это распределение.

Когда оио было найдено Максвеллом в 60-х годах прошлого столетия, техника физического эксперимента была еще не настолько совершенна, чтобы можно было найти какие-либо пути для пря. мых исследований, хотя имелся ряд фактов, косвенно указывавших на максвеллов закон распределения, Лишь в 20-х годах нашего века, когда были достигнуты первые крупные успехи в технике высокого вакуума, можно было рассчитывать на реальную возможность выяснения скоростей молекул, Впрочем, первые исследования были проведены не на молекулах, а на электронах и были осуществлены в 1908 г.

Ричардсоном в связи с наблюдениями по испусканию электронов из накаленных металлов. Опыты показали, что скорости электронов, вылетающих из металла при высокой температуре, хорошо следуют максвелловскому распределению. Постановка опытов возможна в этом случае потому, что электроны обладают элентрическим зарядом и вследствие этого потоком электронов легко управлять и измерять заряды тех электронов, которые обладают той или иной скоростью. Однако позднее было показано, что максвелловский закон распределения скоростей электронов относится только к вылетев. шим из металла электронам, тогда как в металле имеется существенно иное распреде- Ю Ю, ление скоростей, которое х г х было позднее теоретически получено из так называез мой квантовой статистики. Эти вопросы будут далее рассмотрены в главе ЧП.

Я Распределение скороотей молекул газа было изучено с помощью так назыог ваемых молекулярных пуч- ков, позволивших осуще- ствить действительную сор- Рис. 4. тировку, или сепарацию, мо- 8 4. Эксперимент. подгэержд. максвел. рослред, скоростей молекул 39 лекул по скоростям. Это достигается применением различных механических приспособлений; из них наиболее часто применялись устройства, напоминающие собой прибор Физо для измерения скорости света в разных средах. На рисунке 4 показана схема прибора, применявшегося в работе Коста, Смита и Комптона. Главной частью прибора является легкая мельничка, на оси которой неподвижно друг к другу закреплены два диска Р~ и Рз с радиальными прорезами. Мельиичка находится в высоком вакууме.

Слева и справа от дисков находятся две параллельные щели 5, и 5з. При повороте дисков прорезы в них могут приходиться против щелей 51 и 5т, исследуемый газ проходит через щель 5ь Некоторые из молекул этого газа двигаются с различными скоростями в направлении 5,1т. Если прорезы расположены против щелей, то эти молекулы пройдут через прорезы и через щель 5з и будут попадать на легкое ирылышко 17, подвешенное на вертикальной нити, называемое радиометром. При равномерном вращении дисков на крыло радио- метра будут попадать молекулы, обладающие определенными, выделенными о~ окоростями: пь оэ " ол,' о„= —. Однако благодаря конечной ширине прорезов на радиометр будут попадать еще и те молекулы, для которых скорости лежат в интервалах о' <о„<о"„.

Остальные молекулы будут задержаны диском Дь Таким образом, при заданном числе оборотов дисков в единицу времени в приборе осуществляется сортировка молекул по скоростям, хотя эта сортировка еще не вполне совер. щенна. Скорости о и их пределы о'» и о" зависят от размеров прибора, от числа прорезов в дисках и от скорости вращения дисков. Предполагая заранее какое-нибудь распределение скоростей молекул, можно рассчитать по простым формулам (которые мы здесь не приводим) число н скорости молекул, попадающих на крыло радиометра в функции угловой скорости вращения дисков. Далее допускается, что угол отклонения крыла радиометра зависит от числа и скорости попадавших молекул.