Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть в одной урне 8 белых и 12 черных шаров, а в другой 3 белых и 27 черных. Найдем, какова вероятность одновременного появления по одному белому шару из обеих урн. В данном случае сложное событие состоит из совмещения двух независимых событий появления белого шара. Вероятность первого события, т. е.
появления белого шара из первой урны, есть 8 3 — =0,4. вероятность второго события равна — =0,1. Следовательно, на каждую возможность вынимания белого шара из второй урны приходится 0,4 возможности вынуть шар из первой, а потому на 0,1 возможностей приходится: 0,4 0,1 = 0,04. Это и есть, очевидно, вероятность сложного события появления по одному белому шару из обеих урн. Распространяя эти же рассуждения на другие аналогичные случаи, можно высказать следующую теорему умножения вероятностей: вероятность совмещения двух или нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей: то=тот ' шт ' ° ' тон.
(3) Так как вероятность всегда не больше единицы, то, очевидно, вероятность сложного события всегда меньше вероятностей составляющих событий. Теорема умножения вероятностей усложняется, когда сложное событие состоит в совмещении зависимых событий. В примере на странице 12 вероятность вынуть два белых шара подряд из урны равна произведению вероятности появления белого шара при первом испытании на вероятность появления белого шара при втором, но при условии, что в первый раз появился белый шар, т.
е. вероятность совмещения в данном случае равна: от (от — 1) н (и — 1) Поэтому вообще вероятность совмещения двух событий равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие состоялось: то(А и В) =го(А) ° тз.,(В). 14 Введение. Общие положения, Эленентм теории вероятностей Здесь тол1В) — условная вероятность события В. Очевидно,что правило умножения вероятностей для независимых событий представляет собой частный случай этого более общего правила.
4. Случайныв величины. Функция раенрвделения В рассмотренных выше примерах случайного появления того или иного статистического признака характер последнего не был ничем ограничен, т. е. мы рассматривали в качестве признака цвет шара, сторону монеты и т. д. В большинстве вопросов математической статистики, а также в статистической физике рассматривается лишь один вид признака, а именно данная математическая величина, выражающаяся числом, которая называется случайной величиной.
Такой количественной характеристикой признака, т. е. случайной величиной, может быть, например, скорость молекулы, число их в данном объеме, их энергия и т. п. Случайная величина может иметь различный физический смысл, однако когда говорят о множестве значений какой-либо случайной величины, то при этом различают дискретные и непрерывные велич и н ы. Если случайная величина может принимать лишь некоторые изолированные значения, так что множество последних представляет собой конечное, или счетное, множество, то она называется дискретной величиной. Примером может служить число зерен в колосе пшеницы, которое является величиной случайной, но дискретной, так как представляет собой число целое по существу. Также число молекул в выделенном объеме газа является случайной величиной вследствие движения молекул, но так как число молекул не может быть дробным, то эта величина также представляет собой величину дискретную. Некоторые случайные величины могут приобретать любые значения внутри некоторого интервала значений, т.
е. могут изменяться непрерывно и потому называются непрерывными величинами. Совокупность множества непрерывных величин образует собой непрерывное множество, или континуум. Так, вес зерна в колосе пшеницы в известном интервале может принимать произвольные значения и представляет собой непрерывную случайную величину. Аналогично этому координаты газовой молекулы, или скорость последней, принадлежат ко второму роду случайных величин, Условия нормировки. Пусть дискретная случайная величина может иметь и различных значений аь а, ..., а„, которые появляютгя с вероятностями таь ср„..., со„. Тогда по ак- Введение. Общие положения, Элемента теории вероятноетеб 15 сиоме объединения вероятность появления любого (безразлично какого) значения из указанных выше равна сумме всех вероятностей, т. е. достоверности.
Следовательно, и ~~Р~ пте = 1. (4) Это выражение носит название у сл о в и я но р м и р о в к и. Если дискретная величина может принимать счетное множество значений с различными вероятностями при бесконечном числе испытаний, то условие нормировки принимает вид: ~'„, тв,=1. е 1 Если случайная величина лежит в интервале от х, до хь то ус- ловие нормировки, как предел суммы всех вероятностей, когда е(тв -а О, может быть представлено интегралом: ~ еттв= ) 1(х)ет'х=1. к, (б) Когда данная величина изменяется в бесконечных пределах, то интеграл нормировки будет: ) е(та= ) 1(х)е(х=1.
(б') Условия нормировки во всех рассмотренных случаях напоминают нам, что сумма всех вероятностей всегда равна единице. Совокупность всех значений вероятности для случайной величины образует собой характер распределения этой величины вли дает, как говорят, распределение данной величины. Для непрерывной величины условия нормировки изменяются. Вероятность появления случайной величины в малом интервале значений последней от х до х+Лх зависит от выбранного значения х, т. е.
она есть функция 1(х), и, кроме того, чем шире интервал Ьх, тем вероятность будет больше, так как с увеличением ширины интервала пропорционально возрастает и возможность события появления величины х. Следовательно, вероятность может быть представлена как 1(х) . Лх. Переходя к пределу, когда Ьх -+ О, мы можем представить вероятность е(то события появления случайной величины в интервале от хдо х+е(х в виде: еИв = 1(х) е(х.
1б Введение. Общие нолояеения, Элементы теории вероятностей $. Средине величины В дальнейшем нам часто придется вычислять средние значения различных ведичин, например средние скорости молекул, средние значения их энергии и т. д. Если при общем числе ст' испытаний (наблюдений) значение Ас определенной случайной дискретной величины было найдено а, раз, а значение Ат было установлено в лт случаях и т. п., то средним для рассматриваемой случайной величины мы называем выражение: А А,ос+Асят+ ...
~н ( пс яс =~ с яс ° Но так как при большом числе испытаний отношение — принс ссс ближенно представляет собой вероятность шс значения Аь то, вводя вероятность в предыдущее равенство, мы можем представить среднее как А = ~ Аспсс. с (с) Заметим, что под величиной Ас можно подразумевать не только непосредственно интересующую нас характеристику системы,но и какую-нибудь ее функцию, например квадрат ее значения и т. д. Если данная случайная величина х является непрерывной, то среднее значение ее х можно представить как предел сумм, написанных выше для средней дискретной величины.
Пусть ссп есть число случаев появления данной величины в интервале от х до х+с(х при йс испытаниях. Тогда, подобно предыдущему, можем написать: к, х= —, ) хасл. (8) к1 Заметим, что функция 1(х), имеющая смысл вероятности, отнесенной к единице ширины интервала,носитназвание плотности вероятности, и так как от нее зависит характер распределения вероятности появления величины х, то ее называют также функцией распределен и я. Необходимо еще отметить, что в основном задача статистики сводится к отысканию статистического распределения той или иной случайной величины. По мере изучения статистической физики все более должна выясняться эта задача нахождения распределения для различных физических систем. Введение.
Общие лолоисения. Элементы! теории вероятностей 17 йа Но, очевидно, при большом М величина — есть вероятность 7Ч с(н! значения х в интервале ссх, причем с(ш=!(х)с(х, Поэтому (9) Для бесконечных пределов изменения х имеем: х= ) х((х)ссх. «О (9') Аналогичным образом среднее квадратов величины х есть х2 = У хеба(х) й!х (10) и т. п. В связи с большой ролью средних величин в статистике полезно остановиться на некоторых теоремах о средних значениях, причем легко убедиться, что эти теоремы пригодны как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
Те о р е м а 1. Среднее суммы нескольких величин равно сумме средних этих величин. Пусть даны две величины А; и В!. Тогда из определения средних следует, что А+ В = ~ (А, + В;) и! = ~~."~ Аси!+ ~ В!та! = А+ В. ! аА = ~ аАся!! = а~~.", А;тв! = аА. ! Т е о р е м а 3. Среднее произведения двух независимых переменных величин равно произведению средних значений каждой нз ннх. Я Л. В. Рад!шаевич Очевидно, этот результат можно обобщить на несколько слагаемых.
Теорема 2. Среднее произведения постоянной величины на переменную равно произведению этой постоянной на среднюю от переменной величины. Заметим сначала, что среднее постоянной величины и равно самой постоянной. Тогда, если А! — меняющаяся от случая к случаю величина, то, очевидно, 18 Введение. Общие ноложения, Элементы теории вероятностеа Если А» и В; — меняющиеся величины н ю„и юв — соответствующие вероятности их появления, то, очевидно, вероятность одновременного появления величины А;Вь равной произведению каких-либо значений А и В, благодаря независимости событий равна влив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
