Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда имеем: АВ= еАгВтталав= ~~'.~Агюл ° ~В,твв — — А В. 6. Диеяероия н флюктуацня. Теоремы о флюктуацнях В статистической физике важно уметь вычислять не только средние значения, но также и отклонения от средних величин. Если А — некоторое значение переменной величины и А — ее среднее значение, то отклонение от среднего ЬА равно: А — А =ЛА. Так как А меняется случайным образом, то ЛА может принимать вообще различные значения и может быть в одинаковой мере как положительным, так и отрицательным.

Поэтому ясно, что среднее отклонение ЛА всегда равно нулю: ЛА= О. Следовательно, эта велична не может быть мерой степени уклонения от среднего. Однако среднее квадратов отклонений, очевидно, не равно нулю, так как квадрат отклонения обязательно поло.кителен, т. е. (А- А)г+ О. Эта величина может быть мерой уклонения случайной величины от среднего значения и называется в статистике д и с п е рсией, т. е. т = (А — А)'.

(11) Очевидно, (ЛА)г (А А)г Аг 2АА+ (А)г Аг 2АА.+ (А)г Аг 2 (А)г + (А)г = Аг (А)г на основании теорем о средних величинах. Квадратный корень нз среднего квадратичного отклонения гт (ЛА)~ также является Введение. Общие положения. Элементы теории вероятностей 19 мерой степени отклонения от среднего и называется ф л ю ктуацией 6 величины А: б = 1'Р.Л~~. (12) Таким образом, флюктуация выражается соотношением: б= У'РА)г= Р'А — (А)г, (12') т. е. она равна корню квадратному из разности среднего квадратов величины А н квадрата среднего значения той же величины.

Отсюда (13) Кроме того, можно показать, что дисперсия суммы двух независимых переменных величин А и В равна сумме их дисперсий. Действительно, [Л (А.+ В)[г (бА+ йВ)г =(ЛА)г+2 ЛА ЛВ+(ЬВ)г. Но согласно теореме о среднем произведении двух величин: ЛА ЛВ=ЛА ЛВ=О, так как средние отклонения всегда равны нулю.

Поэтому [Л (А+ В)[г = (ЬА)г+(ЛВ) . Наконец, докажем еще одно важное положение, касающееся флюктуаций. Как было сказано в самом начале, в статистической физике мы встречаемся с системами из очень большого числа частиц. Некоторые характеристики таких систем обладают свойством аддитивности. Так, в системе из большого числа независимых частиц энергия является величиной аддитивной, т.

е. она обладает тем свойством, что вся энергия системы равна сумме энергий отдельных частей. Могут встречаться и другие величины, обладающие свойством аддитивности, Пусть М вЂ” аддитивная величина, т. е. для системы из й1 м= Хм,. Этим же свойством обладает среднее значение величины М, т. е. (14') 20 Введение. Общие положения. Элементы теории вероятностей Найдем флюктуацию величины М. Обобщая предыдущую теорему о сумме дисперсий на тт' частиц, находим: (Ь И)~= '~', (ЛМя)т. Но так как система состоит из одинаковых частиц, то, очевидно, все средние квадратов отклонений одинаковы для всех частиц, значит, (пМ,)' =(~~,~~ = ... = (дд )э. Тогда (длб)т — лг, (АМ )г (15) 7 (ВМ)т- у"У (16) и, следовательно, возрастает с увеличением числа частиц в системе. Однако само по себе значение флюктуации еще не позволяет судить об удельном весе таких отклонений, происходящих в системе.

Поэтому целесообразно ввести относительную флюктуацию, представляющую собой отношение флюктуации к среднему значению величины М, т. е. р' (ам)э М Легко видеть, что среднее значение величины М для системы пропорционально числу независимых одинаковых частиц, т. е. М Ф. Таким образом, )тм К вЂ”вЂ” лт )т м (18) Отсюда приходим к важному выводу, что относительное значение флюктуации аддитивной величины в системе тем меньше, чем больше частиц в этой системе. Так, для макроскопического тела, когда Ф=10ЯЯ вЂ” 10Я', имеем: К=10 "— 10 '~ или 10 э — 10 'о еб. Значение этого результата является чрезвычайно важным, так как отсюда следует, что для макроскопических систем в подав- т.

е. среднее квадратичное отклонение пропорционально числу частиц в системе. Отсюда следует, что флюктуация величины М пропорциональна корню квадратному из числа частиц: Введение. Общие ноложения Элементы теории вероятностей 21 лающем большинстве случаев (практически всегда) мы наблюдаем средние значения аддитивных величин, например энергии, тогда как уклонения от этих значений чрезвычайно редки.

Напротив, эти уклонения часто встречаются в системах из малого числа частиц. В заключение полезно отметить, что в статистической физике возможен иной подход к определению понятия вероятности. Положим, что мы могли бы наблюдать через равные малые промежутки времени состояние отдельной частицы (например, молекулы). Пусть в течение промежутка времени Т мы произвели Ф таких наблюдений, причем какое-либо интересующее нас состояние частицы появилось п раз. Тогда естественно считать, что данное состояние тем более вероятно, чем больше а по отношению к М, т.

е. чем чаще среди всех случаев наблюдается данное состояние. Так мы приходим опять к определен иию вероятности как предела отношения —, когда число на- Ф' блюдений неограниченно возрастает. С другой стороны, если выбранные промежутки времени, через которые мы наблюдаем систему, малы и равны друг другу, то длительность пребывания системы в данном состоянии 1прямо пропорциональна числу а измерений, обнаруживших это состояние. Отсюда следует, что вероятность какого-либо состояния можно рассматривать как предел, к которому стремится доля времени пребывания системы в этом состоянии, от общего промежутка времени наблюдения, когда последний стремится к бесконечности: та=Иш — „. т Вообще обе величины вероятности одинаковы, так как состояние тем более вероятно, чем в большем числе случаев оно наблюдается, и, помимо того, его следует считать тем более вероятным, чем дольше система пребывает в этом состоянии, ГЛАВА П КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАСОВ $1.

Идеальный гае как молекулярная енетвма Прежде чем рассматривать общие вопросы статистической физики, полезно остановиться на так называемой кинетической теории газов, в которой газ описывается как простейшая молекулярная система, состоящая из большого числа молекул. Многие положения этой элементарной теории являются ценными потому, что приводят нас к более глубоким представлениям общей статистической физики. Заметим еще, что следствия из ки.

нетической теории газов имеют существенное значение в практике (например, в области вакуумной техники, в физике электрического разряда в газах и т. п.) и экспериментально проверены. Начало кинетической теории газов было положено еще в Хч'11 в. в некоторых работах Гассенди и далее было развито в трудах М. В. Ломоносова (1741), объяснявшего давление газа на стенку сосуда ударами молекул и впервые сделавшего попытку вывести таким путем газовые законы.

Спустя примерно сто лет после этих исследований мы находим в работах Джоуля (1848) первую приближенную оценку скоростей молекул, которая позднее повторяется в исследовании Кренига (1856), уточнившего расчеты Джоуля. Наиболее полное развитие кинетической теории газов относится ко второй половине Х1Х в. и содержится в трудах Клаузиуса, Максвелла и Больцмана. Работы этих исследователей привели к созданию классической статистической физики, получившей наиболее законченное выражение в трудах Гиббса в конце прошлого века. Идеальный газ, представление о котором дается в термодинамике, является наиболее простой молекулярной статистической системой, основные свойства которой известны из общего курса физики, а именно: 1.

В макроскопическом объеме идеального газа содержится весьма большое число молекул. 2. Размеры молекул столь малы по сравнению с промежутками между ними, что в большинстве расчетов этими размера- 4 Х Идеальный газ как молекулярная система 23 ми можно пренебречь и рассматривать молекулы как материальные точки. 3. Молекулы находятся в состоянии непрерывного движения, в результате чего сталкиваются друг с другом и со стенками того сосуда, где находится газ. 4. Силы взаимодействия между молекулами газа проявляются только при соударениях, поэтому от столкновения до столкновения каждая молекула движется свободно, т. е. в отсутствии действия сил траектория ее есть прямая линия.

Столкновения молекул друг с другом и со стенкой происходят по законам, упругого удара. Далее мы будем рассматривать идеальный газ в состоянии теплового равновесия, т. е. будем считать, что температура и давление всего взятого объема газа постоянны и, следовательно, в этом случае в газе отсутствуют какие-либо направленные потоки, вызываемые конвекцией и перепадом давления. Непосредственные наблюдения указывают на реальность подобного состояния газа. Рассмотрение теплового равновесия позволяет ввести допущение, которое является основой всей элементарной молекулярной статистики.

Это допущение носит название г ипотезы элементарного бе с по р яд к а. Сущность ее сводится к утверждению, что при тепловом равновесии газа движение молекул является предельно неупорядоченным, что соответствует некоторому «идеальному», или «элементарному», беспорядку. Если бы мы могли следить за поведением отдельных молекул, то мы не заметили бы никакой правильности в их движении.

Частые взаимные столкновения, когда встречаются молекулы с разнообразными по величине и по направлению скоростями, соударения с молекулами стенки, где также условия встречи случайны,— все это приводит к тому, что направление движения и скорость летящей молекулы случайны. Даже если допустить, что начиная с какого-то начального момента все молекулы газа стали двигаться прямолинейно по строго заданному направлению и с одинаковой скоростью, то эта стройность движения через очень короткий промежуток времени должна нарушиться, так как уже первые удары с молекулами стенки сосуда приведут к неопределенным изменениям направления скоростей, что тотчас же вызовет столкновения отдельных газовых молекул друг с другом и приведет к дальнейшему расстройству движения.

Характеристики

Список файлов книги