Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 6
Текст из файла (страница 6)
число нх, отнесенное к площадке с телесным углом, равным единице. Эта величина при тепловом равновесии всюду постоянна, что и означает равновероятность всех направлений. Где мы ни взяли бы площадку о на сфере, Ж величина д будет одной и той же. Ясно, что о = — „, т. е. на один стерадиан всегда приходится огромное число точек, так Е 8. Распределение скоростей молекул в газе при тепловом равновесии 29 как М всегда очень велико и й только на порядок меньше, чем Ф, Весьма существенно отметить, что при непрерывном уменьшении угла ср значение л убывает и при ~у=О получаем и=О. Это означает, что в газе совершенно отсутствуют молекулы, движущиеся в строго заданном направлении.
На первый взгляд такой результат кажется парадоксальным, однако в статистике мы всегда встречаемся с подобным положением, и вероятность строго фиксированного значения какой-либо статистической величины всегда равна нулю. Это свойство легко понять на каком-либо примере. Селекционер при оценке свойств пшеницы определенного сорта взвешивает отдельные зерна и изучает распределение веса зерен. Вероятность среди тысяч взвешенных зерен найти одно с точно заранее фиксированным весом всегда равна нулю.
В этом случае должен быть выбран интервал значений веса, и по таким интервалам распределяются зерна. Указанные соображения относятся к так называемому статистическому распределению какой-нибудь непрерывной величины. Кроме того, часто приходится встречаться с распределением дискретных величин, когда данная величина принимает конечное счетное число значений (см. введение, стр.
14). Говоря о распределении направления скоростей молекул газа, мы можем и здесь выбрать весьма небольшой, но всегда конечный телесный угол Ь~р, которому соответствуетЬп — число точек на соответствующей площадке на сфере или, что все равно, число молекул с данным интервалом направлений скоростей, отвечающим телесному углу Лсо, и тогда Лп=д ° сир, причем при тепловом равновесии д сопз4. Вероятность угла Ь~р равна,очевидно: Ла~ = — =— Ьп Л<р тт' 4а ' Заметим еще, что, строго говоря, обозначения с4п и сйр, соответствующие в математике дифференциалам, в физике приобретают несколько иной смысл. Мы не можем здесь говорить о бесконечно малом числе молекул или бесконечно малом угле, так как эти понятия лишены здесь смысла. Поэтому в молекулярной статистике, как и в других разделах физики, следует говорить о «физически бесконечно малой величине», которая в математическом смысле является величиной конечной, нов данной физической задаче относительно исчезающе мала, так что может рассматриваться как дифференциал.
Эти конечные дифференциалы иногда сокращенно называют макродифференциалами и обозначают значком Ы вместо Ь. С макродифференцна- зо Глава 1. Кинетическая теория газов лами можно производить те же математические операции, как и с обычными дифференциалами. Например, по сравнению с числом молекул в газе У=1022 число молекул 11п=стп=102 является величиной исчезающе малой и отвечающий ей угол Лтр, равный 1,256 ° 1О ", ничтожно мал.
Эти физически бесконечно малые величины мы можем считать переменными, как и обычные дифференциалы в математике, потому что мы здесь всегда имеем большой интервал значений, где можем менять а1п и а2чр, почти сколь угодно уменьшая эти величны при сохранении ими конечного значения. Итак, мы нашли, что направление скоростей молекул в равновесном состоянии газа подчиняется простому закону распределения: все направления одинаково часто встречаются среди молекул. Равновероятность всех направлений движения молекул дает возможность совершенно строго заменять действительное движение молекул усредненным, схематическим, к чему нередко прибегают в элементарном изложении.
Например, рассматривая газ в кубическом сосуде, разлагают движение молекул по трем взаимно перпендикулярным осям и принимают, что на каждую ось приходится одно и то же число молекул. Распределение величин скоростей молекул впервые было выведено Максвеллом (!867). Первоначальный вывод Максвелла не является строгим, так как связан с принятием упрощающего предположения.
Однако можно показать, что точный вывод дает те же результаты. Кроме того, максвеллово распределение скоростей было сравнительно недавно подтверждено экспериментальными исследованиями. Наконец, вывод Максвелла является наглядным и поучительным. Все это заставляет рассмотреть его, несмотря на недостаточную строгость. Пусть в 1 смз газа при тепловом равновесии содержится ч молекул. Скорость молекулы с разложим на компоненты по трем осям координат так, что сз — из+ п2.1 шз Вероятность того, что молекула имеет компоненту скорости в пределах от и до и+Ни, является функцией величины и и, кроме того, пропорциональна ширине интервала с1и.
Первое можно утверждать потому, что в газе содержится разное число молекул с разными компонентами скоростей и. Например, число молекул с очень большими значениями и, по-видимому, невелико и т. п. Второе соображение о вероятности также очевидно, так как чем шире мы выбираем интервал значений скоро- В 3. Распределение скоростей молекул в газе при тепловом равновесии 31 сти, тем больше шансов для молекулы попасть по своим скоростям в этот интервал (см. введение, стр. 15). Следовательно, вероятность молекуле газа иметь компоненту скорости в интервале от и до и+с(и равна: 1(и) с(и. Так же выражаются вероятности компонентов скоростей по другим осям в пределах от о до о+с(о и от в до в+с(в.
Эти вероятности равны соответственно: 1(о)с(о и )(в)с(в. Благодаря равновероятности всех направлений скоростей молекул все этн функции имеют совершенно одинаковый вид. Найдем теперь вероятность сложного события, состоящего в том, что молекула имеет одновременно компоненты скорости, удовлетворяющие условиям: и до и+с(и о до о+с(о в до в+с(в. Максвелл допустил, что искомая вероятность равна произведению всех трех указанных вероятностей, считая, что все составляющие события являются независимыми. Это допущение в выводе остается недоказанным, и оно в свое время встретило ряд возражений, так как столкновения молекул должны влиять на распределение скоростей по осям.
Однако строгий учет происходящих столкновений показал, что, несмотря на столкновения, в окончательном итоге их можно рассматривать как независимые события. Поэтому искомую вероятность можно представить в виде: МЮ~(в)а ° Эту вероятность всегда можно рассматривать как частость, выражаемую отношением числа молекул, скорости которых удовлетворяют указанным условиям, к общему числу т всех молекул в единице объема газа.
Поэтому число молекул со скоростями, соответствующими выбранным условиям, равно: 4(и) 1(о) 1(в) с(ис(ос(в, Векторы скорости этих молекул можно изобразить в «пространстве скоростей», т. е. в условном пространстве, определяемом координатами и, о и в. Ясно, что концы векторов этих молекул попадают в параллелепипед с объемом Иийсос(в Глава й Кинетическая теория газов (см. рис.
2), если все скорости изображать в виде пучка из начала координат. Очевидно, написанное выражение означает число векторов, концы которых попадают в этот объем. Следовательно, множитель: тг(и) 1(о) 1(то) представляет собой «плотность» распределения концов векторов в объеме е(итог(в, т. е. число векторов на единицу объема пространства скоростей. Рис. 2. Благодаря равновероятности всех направлений скоростей молекул плотность распределения не может зависеть от направления, а определяется только расстоянием параллелепипеда от начала координат.
Иными словами, эта плотность является функцией модуля вектора скорости, т. е. т)(и) 1(о) 1(то) =чР(сз) =тР(из+от+тот). Иначе )(и) 1(о) )(то) =Р(из+от+тот). ( 1',4) Мы получили функциональное уравнение, содержащее неизвестные функции 1 и Р. Эти функции могут быть найдены путем решения некоторого дифференциального уравнения, получаемого из данного. Но можно просто подобрать функции, удовлетворяющие поставленному условию. Легко видеть, что функция вида: 1(и) = Ае'"* (1,5) удовлетворяет уравнению (1,4). действительно: 1 (и) 1 (о) 1 (то) = Азви (и'те+ив.
Легко видеть, что ие < 0 потому, что вероятность не может неограниченно расти с увеличением и, о и ш. Положим, оо —— — а, где сс>0. Эту константу мы найдем далее на странице 35. Итак, «плотность» распределения концов векторов равна: »Р(из+ от+ тот) тАзе-и (иттдтзев или »Р (с') = »А'е-"'*. (1,6) Е д расаределение скоростей молекул в газе ари тенловом равновесии 33 Теперь мы можем решить основной вопрос, т. е. найти число всех молекул в 1 см' газа, обладающих скоростью, лежащей в интервале от с до с+сто.
Для этого достаточно подсчитать число всех векторов скоростей на расстоянии от с до с+де от начала координат нашего пространства скоростей с учетом всех возможных направлений. Иначе говоря, необходимо найти число векторов, концы которых лежат в сферическом слое междусферами с радиусами с и с+с(с.
Плотность распределения концов векторов в слое одна и та же и выражается соотношением (1,6). Объем сферического слоя равен: 4ясзс(с. Отсюда число молекул, обладающих скоростями от с до с+Ис, независимо от направления в единице объема газа равно: йпе = ч Ыме = 4лАзсзче-лйс, (1,1) где, очевидно, с(и», есть вероятность этого события. В формуле (1,7), которая представляет собой начальный вид распределения скоростей молекул по Максвеллу, остались неопределенными константы А и а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
