Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Повторяя эти испытания, мы заметим, что чаще будут появляться белые шары и реже будет наступать событие появления черного шара. Это кажется нам вполне понятным, так как в урне белых шаров больше, чем черных. Пусть проведено всего и испытаний, в числе которых белый шар появился пт раз, и, следовательно, не появился п — т раз. Будем называть относительной частотой или просто ч а с тото й события отношение: т э= —. и ' Из этого определения видно, что частота всегда положительна и представляет собой правильную дробь.
С понятием частоты тесно связано важнейшее понятие вероятности события. Проведем несколько серий испытаний с выниманием шаров из урны, причем пусть каждая серия состоит из Ф испытаний. Опыт показывает, что числа появления белого шара в этих сериях вообще различны, составляя иь т,, ..., в первой, второй и т. д. сериях. Следовательно, частоты ть чт, ... в сериях являются разными. Однако при большом числе испытаний в каждой серии можно заметить, что частоты устойчиво колеблются вблизи некоторого постоянного значения, достигая практически предельной величины при неограниченном возрастании 1У. Это предельное значение частоты, являющееся величиной постоянной в данных условиях, называется ве- Введение.
Общие яоложения. Элементы теории вероятностей 9 роятностью события, т. е. в нашем примере вероятностью появления белого шара; следовательно, вероятность равна: тн = 1ип ч; = Иш — '. (1) тч-+со "т Таким образом, вероятностью данного массового события называется устойчивый предел частоты появления события, когда число испытаний стремится к бесконечности '. Численное значение вероятности может быть найдено тем или иным способом в различных задачах. Наиболее просто можно найти вероятности для так называемых равновозможных или равновероятных событий, когда известно, что не имеется никаких причин, приводящих к появлению одного из признаков предпочтительно по сравнению с другими.
Так, в рассмотренном примере появление каждого шара одинаково вероятно вследствие того, что шары одинаковы на ощупь и вынимание их производится без отбора. При бросании монеты появление или непоявление герба одинаково возможно, так как монета обычно однородна. Заметим еще, что события в рассмотренных примерах являются исключающими друг друга, т. е. они несовместимы. Для массовых событий, удовлетворяющих всем указанным вышеусловиям, вероятность представляет собой отношение числа случаев, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновероятных случаев.
Это определение вероятности согласуется с приведенным выше более общим определением. Например, при бросании монеты число всех возможностей или случаев равно двум, тогда как число случаев, благоприятствующих появлению герба, равно единице. Поэтому вероятность появления герба равна '/т. Опыты Пирсона с бросанием монеты показали, что частота появления герба для 12000 бросаний равна 0,5016, а для 24 000 бросаний равна 0,5005, т. е.
близка в '/т, и с увеличением числа бросаний стремится к этой предельной величине, которую мы нашли по определению вероятности. В нашем примере с шарами в урне было всего 20 шаров, из них было 15 белых. Поэтому на основании определениявероятность появления белого шара равна: 15 тв = — =0 75.
Ю Смысл полученного результата состоит в том, что при большом числе испытаний на долю белых шаров будет приходиться 0,75, ' Мы не останавливаемся здесь иа общей аксиоматике теории вероятностей, а ограничиваемся статистическим определением, достаточным для изучения курса. 1О Введение. Общие лояожения. Элементы теории вероятноетед или 75$, всех вынутых. Например, при !О' испытаниях белый шар должен появиться примерно 7500 раз, при 10' испытаниях — 7500 000 раз и т. д. Если мы можем рассчитать вероятность по каким-либо свойствам системы, пользуясь вторым определением и не производя испытаний, то такую вероятность мы будем называть априорной (доопытной) вероятностью.
Приведенные выше определения показывают, что вероятность всегда есть существенно положительная величина и лежит в пределах между 0 и 1, т. е. 0~(тв41. Предельным значениям вероятности (О и 1) соответствуют события невозможное и достоверное. В примере с урной вероятность появления синего шара равна нулю, так как таких шаров нет в урне, т. е. число благоприятных случаев для этого события равно нулю. Следовательно, вероятность невозможного события равна нулю.
Напротив, вероятность достоверного события равна единице. Например, вероятность вынуть какой-нибудь шар нз урны в нашей задаче равна единице. Если в данном процессе или явлении возможны только два вида событий А или В, которые являются несовместимыми, то такие события называются противоположными. Пусть вероятность события А есть цт(А), а вероятность события В есть то(В), Так как никаких других событий не имеется, то, очевидно, событие А или В является достоверным и его вероятность равна единице. Тогда вероятность события В, противоположного событию А, является дополнением ш(А) до единицы, т.
е. я (В) = 1 — тв (А). Например, в урновой задаче у нас были шары только черные и 15 белые. Вероятность появления белого шара равна — = 0,75. Вероятность для черного шара равна по определению — =0,25. 5 Последняя величина как вероятность события, противоположного событию появления белого шара, действительно представляет собой дополнение до единицы, т. е. 0,25=1 — 0,75.
В различных задачах значения вероятностей могут, как и другие математические величины, подвергаться операциям сложения, умножения и т. д. Кроме того, вероятности могут быть функциями некоторых переменных величин и при известных условиях могут быть дифференцируемыми. Зведение. Общие ноловеения. Элементы теории вероятностей 11 2. Сложения вврвятиаатвй Рассмотрим такое событие, которое заключается в наступлении события А или события В, причем оба последних несовместимы. Это событие называется объединением события А вместе с событием В, поэтому вероятность объединения можно представить как: тв(А или В). Определение понятия вероятности позволяет находить вероятность объединения на основании правила сложения вероятностей.
Пусть в урне находится 50 одинаковых шаров. Из них 20 белых, 15 голубых, 5 коричневых и 10 черных. Найдем, какова вероятность вынимания светлого шара. Вводя признак «светлый шар», мы не вносим различия между белыми и голубыми шарами, т. е. объединяем оба признака. Поэтому число благоприятствующих возможностей для появления признака «светлый» равно 20+15, и, следовательно, вероятность этого события есть: чв = ба — — 0,7, или м = 5О + 5Π— — 0,4+0,3.
20+ 1б Ю 15 Но, очевидно, вероятность появления белого шара равна 0,4, а вероятность появления голубого есть 0,3. Отсюда видно, чтовероятность появления светлого шара равна сумме вероятностей появления белого и голубого. Ясно также, что появления белого и голубого шаров представляют собой события несовместимые, так как одно событие исключает другое. Если бы это условие не соблюдалось, то сложение вероятностей было бы неправильным. Обобщая этот пример на случай объединения нескольких событий, мы можем сформулировать правило сложения вероятностей, или аксиому объединения: вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий, если не указано, какое событие должно совершиться, равна сумме вероятностей отдельных событий: (2) Иначе говоря, вероятность объединения нескольких несовме- стнтйых событий равна сумме их вероятностей: ю(А или В ...)=та(А)+-ю(В)+ 12 Введение.
Общие ноложения. Эленвнтес теории вероятностей Заметим, что число слагаемых в этих суммах может быть сколь угодно велико, однако сумма вероятностей никогда не может быть больше единицы. 3. Уинвжвиив вврвятнввтвй Простейшие наблюдения показывают, что различные события вообще зависят друг от друга, т. е. возможность наступления одного зависит от того, наступило ли другое событие.
Известно, что в природе все явления связаны друг с другом, но часто связь бывает столь отдаленной, что можно говорить о взаимной независимости явлений, и событие наступления одного явления оказывается практически независимым от наступления или неиаступления другого. Например, можно считать, что одновременное наступление землетрясений на двух отдаленных участках земной поверхности представляет собой совпадение совершенно независимых событий. Напротив, если оба события произошли на двух рядом расположенных уча. стках, то мы можем говорить о влиянии одного события иа другое. Если два события взаимозависимы, то вероятность одного зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Пусть в ящике имеется и шаров, из них тп белые, а остальные черные.
Производим испытание, вынимая шар из ящика и не возвращая его обратно. В таком случае вероятности при последующих испытаниях изменятся. Так, до испытания вероятность появления белого шара равна —. Вероятность вторичного выи ' нимания белого шара при условии, что при первом испытании ж — 1 появился белый шар, будет равна -„— -1-.
Если при первом испытании появился черный шар, то вероятность появления бет лого шара при втором испытании составляет — „. В этом примере вероятность интересующего нас события при втором испытании зависит от результата первого, т. е. является условной вероятностью. Событие, состоящее из наступления двух или нескольких событий, называется сложным событием или совмещением.
Так если происходят события А и В, то это сложное событие мы называем совмещением событий А и В и вероятность его может быть изображена как гв(А и В). При этом следует различать два случая: !) события А и  — независимы; 2) события А и В являются зависимыми друг от друга. Введение. Общие нолояеенин Элемента теории вероятностей 13 В том случае, когда два события независимы друг от друга, то вероятность их совмещения равна произведению вероятностей обоих событий: ш(А и В)=то(А) ш(В). В этом легко убедиться, рассматривая следующий пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
