Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Когда наступает состояние теплового равновесия, которое вообще может длиться неограниченно долгое время, естественно допустить, что. при этом полностью отсутствуют преимущества каких-либо направлений движения молекул и достигнута предельная хаотичность движений. 24 Глава д Кинетическая теория газов Гипотеза элементарного беспорядка является осноцным положением всей элементарной статистики и долгое время служила руководящей идеей при развитии кинетической теории газов.
Эта гипотеза имеет большую ценность и в методическом отношении, так как позволяет вносить упрощения в различные выводы и, в частности, делает допустимыми наиболее простые построения при элементарном изложении кинетической теории газов. 5 2. Раолределаллв молекул а ебъеме, занимаемом газом При тепловом равновесии газа молекулы должны в среднем совершенно равномерно распределятЬся в объеме, занимаемом газом. Это положение является по существу просто иным выражением гипотезы элементарного беспорядка. Благодаря полной неупорядоченности движения молекул при тепловом равновесии не может возникнуть какого-либо различия в плотности газа в отдельных макроскопических (больших) частяхзанимаемого им объема.
Так, идеальная беспорядочность движения приводит к совершенно постоянному значению средней плотности газа по всему объему. Заметим, впрочем, что при этом мы пренебрегаем весом газа, так как действие силы тяжести (или другого внешнего поля) приводит к сложному распредедению плотности. Одинаковая средняя плотностьподдерживается «статистически», т. е. вследствие движения множества молекул, а не отдельных из них. Представим себе большой объем газа У, в котором имеется М молекул. Вообразим далее в этом объеме малый объем и « У, содержащий в среднем, однако, весьма большое число молекул т, хотя т « М.
При тепловом равновесии число молекул, входящих в объем и, равно числу их, выходящих за то же время из этого объема. Поэтому в объемен находится в среднем постоянное число молекул. Благодаря этому всегда можно написать пропорцию: т о Ф У ' (1,1) откуда следует, что в объеме, в й раз меньшем данного, содержится в среднем в й раз меньше молекул. Посмотрим, как этот вывод следует из теории вероятностей. Число молекул т в объеме о мы должны рассматривать как среднее их число за большой промежуток времени, тогда как за короткие промежутки благодаря случайным условиям движения молекул в объеме о может находиться п молекул, причем это л может быть и больше и меньше, чем т.
Э 2. Распределение л.олекрл в объеме, занимаемом газом 25 Вероятность для одной молекулы из числа их У во всем объеме У попасть в объем о равна, очевидно, — . Вероятность ' У' попасть в объем п двум молекулам одновременно равна вероятности сложного события, состоящего в совпадении пребывания обеих молекул в объеме о. Считая, что отдельные наугад взятые молекулы движутся независимо, мы можем применить теорему умножения вероятностей, и тогда вероятность одновременного попадания в наш объем двух каких-либо молекул равна: %' Го~а Для трех молекул вероятность есть ~ — ) и т.
д. Вероятность ~~) того, что какие-то определенные п молекул находятся внутри о, равна ( — ) . При этом остальные У вЂ” п молекул могут находиться в остальном объеме 1г — о, но некоторые из них могут быть и в объеме о. Вероятность того, что в остальном объеме У вЂ” о находятся остальные молекулы, равна по аналогии: Следовательно, вероятность того, что в объеме и находится только л определенных молекул, а остальные находятся в остальном объеме, равна произведению найденных вероятностей, т. е.
Мы нашли вероятность пребывания в объеме о некоторых и молекул из общего числа Ф; но, очевидно, безразлично, какие именно молекулы будут в объеме о. Поэтому вероятность нахождения в о любых и молекул равна сумме всех вероятностей, найденных выше, причем слагаемых будет столько, сколько можно получить сочетаний Сй из У элементов по п, т. е. искомая вероятность равна: Г я а в а д Кинетическая теория газов Преобразуем это выражение, учитывая, что й( очень велико. Введем в (1,2) выражение из (1,!), тогда К„=С" ® (1 — — „') Известно далее, что л Ф(ее — 1) (Ф вЂ” 2) ...
[гч' — (л — 1)) М— л( Тогда ]Ч(р( — 1)(д( — 2) ... Рт — (л — 1)] (ч)л /1»)у " л л! ч)"-л (1 ()(1 2) [1 л — (1 Вспомним, что л( весьма велико. Величины т и и тоже велики, но все же много меньше, чем з~е. Например, й(можетбыть 10'о, тогда как и порядка 1О" или меньше. Тогда в последнем 1 2 л — 1 выражении величинами —, —, ..., — в скобках можно д(' лг ' '''' р( пренебречь по сравнению с единицей, однако этого нельзя сделать с первой скобкой, так как она возводится в высокую степень й( — и — й(. Тогда ж.= — „,(1 — — „) .
Можно написать: Прн очень большом й(, как известно: Вш (1 — — ) =е. м~ол зч Тогда окончательно: чл )Тг в-ч л л( (1,3) Это выражение встречается в теории вероятностей и известно под названием формулы Пуассона. В данном случае оно показывает, какова вероятность того, что в небольшом объеме, выделенном в газе, будет случайно находиться п молекул вместо среднего их значения ч, определяемого формулой (1,1).
Можно показать, что когда т очень велико, то с вероятностью, очень близкой к достоверности, можно утверждать, что в объе- р 3. Расиределение скоростей молекул в газе ири телловом равновесии 27 ме о будет находиться ч молекул, как следует из формулы (1,1). Доказательство связано с применением формулы Стирлинга, представляющей собой приближенное выражение факториалов больших чисел. Так как эта формула будет нам часто встречаться далее, то в приложении 1 (стр. 408) дан ее краткий вывод.
Положим, в (1,3) число молекул и равным как раз среднему и при очень большом значении последнего. Тогда из Нг, = —, а-'. м «Г (у1т Согласно формуле Стирлинга имеем ч( — ( — ) . Подставляя (,е ) это выражение в последнюю формулу, находим: Отсюда следует, что в макроскопическом масштабе, т. е. если рассматриваемые объемы газа достаточно велики, то практически с полной достоверностью можно считать, что в выделенном объеме всегда будет одно и то же число молекул т при тепловом равновесии. Если в объеме У взять два равных объема и, то в них находится равное число молекул, несмотря на движение последних, т. е.
плотность газа всюду одна и та же и уравнение (1,1) является точным. Однако уже сейчас напрашивается мысль о том, что если о достаточно мало, когда и не очень велико, то в таком объеме может наблюдаться в каждый момент времени колебание числа молекул, и тогда водно и то же время в равных таких объемах может содержаться неодинаковое число молекул. На этом мы остановимся позднее (стр. !47), а пока будем иметь в виду достаточно большие объемы газа. ф 3. Раепределеиие окороотей молекул в гаев при тепловом равиовееии При наступлении состояния теплового (термодинамического) равновесия устанавливается устойчивое, непрерывно длящееся распределение скоростей между молекулами, т.
е. не меняющееся со временем и обусловленное столкновениями. Говоря о скорости, мы различаем направление и величину этого вектора. Соответственно необходимо отдельно рассмотреть распределение направлений скоростей молекул и распределение величины скорости. 28 Г ла во д Кинетическая теория газов Согласно гипотезе элементарного беспорядка при тепловом равновесии в газе все направления скоростей молекул равновероятны.
При состоянии теплового равновесия не может существовать преимущественного направления в движении молекул, так как это привело бы к направленному макроскопичеокому потоку в газе в виде отдельных струек и связанных с ними перепадов давления. РавновеРис. 1. роятность всех направлений в движении молекул можно схематически представить следующим образом. Если в определенный момент времени изобразить скорости всех молекул в виде пучка векторов, выходящих из одной точки, и поместить эту точку в центре шара произвольного радиуса, то все направления векторов пройдут через поверхность этого шара так, что на ней образуется множество точек пересечения прямых с поверхностью (рис.
1). Равновероятность направлений на этой схеме будет соответствовать идеально равномерному распределению точек по поверхности сферы. Пусть данная масса газа содержит У моледул. Тогда через сферу радиуса 1к пройдет М отрезков и на ее поверхности образуется М точек. Через площадку о и на сфере пройдет и отрезков. Величина р= — означает число а точек на единице поверхности, что соответствует потоку молекул на единицу поверхности. В общем случае площадка о опирается на телесный угол гр, так что о=гр1кг. При идеально равномерном распределении точек на сфере должно быть: а Ф и а ~р~м 4яй~ ' Лг 4а — = —, или — = —. Отсюда Ж=4пд, где гу=— а Ф Очевидно, д представляет собой угловую плотность распределения молекул, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
