Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Предполагаем, что столкновения являются упругими. Прн ударе молекулы о стенку следует учитывать только составляющую импульса частицы по нормали к площадке, т. е. величину ти, где т — масса молекулы. Остальные составляющие после удара остаются без изменения. В результате удара импульс частицы изменится на обратный и будет равен — ти. Следовательно, изменение импульса частицы равно: — ти — тли = — 2ти.
Импульс, получаемый стенкой от удара одной молекулы, по величине тот же, но направлен в обратную сторону. Сумма импульсов, получаемых стенкой от ударов всех выделенных нами молекул, равна: 2тизс1л ей Ж Так как импульс за единицу времени, по определению в механике, есть действующая сила, то с)Р=2ти'Ыл Ыз. Слагающая давления от ударов молекул с компонентой и до и+с1и равна: др= —, =2ти'ал . йР' из а' Суммируя все импульсы от ударов всех молекул, находим давление газа на стенку: +со р= — 2т ~ изсЪ . 1 2 и Здесь мы пользуемся гипотезой элементарного беспорядка, считая, что сколько в среднем каких-либо молекул, выделенных нами, приближается к стенке и ударяется о нее, столькожеотлетает в противоположную сторону.
Мы должны выделить только Глава К Кияетиееская теория гиеов приближающиеся молекулы. Поэтому, производя суммирование по всем группам молекул, берем от полученного значения половину. Тогда +со р — т ~ игсги СО Средняя квадратичная компонента скорости равна: 0 — 1 е и'=- е1 иггг'и . и. (О Следовательно, р = тигч. Вследствие равной вероятности всех направлений скоростей при тепловом равновесии газа средние квадратичные компоненты скоростей не могут отличаться друг от друга и потому: гг2 т 2 — у2 Таким образом, сг = иг+ юг+ трг = 3иг Подставляя величину иг из этого выражения в выведенную фор.
мулу для давления, находим окончательно: 1 р = — тсги. 3 (1.24) Поэтому уравнение (1,24) можно написать в виде: 2 игсг 2 р= — — ° т= — ие 3 2 3 (1,25) или 2 — 2— рУ= — Фе= — Е, 3 3 (1,26) Следовательно, давление пропорционально массе и средней квадратичной скорости молекулы и, как прежде, числу молекул в единице объема.
Средняя кинетическая энергия молекулы равна: у б. Вывод газовых законов из молекулярной статистики 43 если (1,25) умножить на объем газа У и учесть, что тогда т ° У есть число молекул в объеме У, т. е. ч ° У=И. Поэтому Ие=Е есть средняя энергия Ж молекул. Полученные уравнения (1,24) или (1,26) можно обобщить на случай смеси газов, когда смесь состоит из молекул разною рода, движущихся с разными скоростями. Тогда 1 г 1 р = 3 тптчтйт + 3 ттггчгсг + ...
= 1гт + ,вг + ... (1,27) Заметим, что эти выражения мы вывели ири весьма общих представлениях о движении молекул и получили результат, не отличающийся от того, который выводится в общем курсе физики, где пользуются упрощенной картиной движения молекул. Законность упрощенных выводов и здесь, как и в других случаях, связана с принятием гипотезы элементарного беспорядка. $ В. Вывод газовых законов нз молекулярной отатиотикн. Энергия молекул н температура Известные газовые законы, которые выполняются для макроскопических количеств газа, с точки зрения молекулярной теории должны быть законами статистическими, т.
е. массовыми, так как в их реализации участвует огромный молекулярный коллектив. В таких условиях проявляется одно весьма важное свойство, состоящее в том, что все характеристики макроскопических количеств газа являются средними, выведенными для большого числа молекул, или, как говорят, средними по совокупности молекул. Во всех предыдущих рассуждениях мы по существу пользовались таким усреднением. Было отмечено, что в среднем при тепловом равновесии газа в выделяемых равных объемах содержится равное число молекул и, следовательно, число молекул пропорционально в среднем величине объема. Далее было указано, что в среднем все направления скорости движения молекул одинаково часто встречаются в газе.
Вводя наивероятнейшую скорость молекул, мы показали, что она пропорциональна средней скорости. Кроме того, мы могли убедиться в том, что число ударов о стенку непосредственно связано со средней скоростью молекул. Наконец, величина давления газа пропорциональна средней квадратичной скорости или средней кинетической энергии молекул. Напротив, для отдельных индивидуумов (молекул), рассматриваемых Глава Е Кинетическая теория газов в течение короткого промежутка времени, указанные свойства вообще ие выполняются. Они также не выполняются для очень малых объемов газа, для весьма малых участков на стенке сосуда и т.
д. В таких микроскопически малых объектах наблюдаются частые неупорядоченные отступления от средних значений, называемые флюктуациями. Теорию флюктуаций мы рассмотрим в другом месте (стр. 138). Здесь остановимся на молекулярно-кинетическом толковании газовых законов, пользуясь данными предыдущих параграфов. а) Закон Паскаля.
Вследствие равной вероятности всех направлений скоростей молекул при тепловом равновесии газа вывод уравнения, выражающего давление газа, не зависит от места выбора площадки на стенке сосуда. Следовательно, уравнение (1,24) соблюдается для любого участка поверхности, а это значит, что в газе, находящемся в сосуде с твердыми стен- нами, давление передается равномерно во все стороны, согласно закону Паскаля, т.
е. Р=сопз1. Вместе с тем следует обратить внимание на статистический характер закона. Выбирая площадку 5, мы найдем для нее общую силу Р=р ° 5. Уменьшив площадку в 10 раз, мы найдем силу в 10 раз меньшей, причем р — одно и то же. Непрерывно уменьшая величину площадки, мы увидим, что закон Паскаля продолжает соблюдаться, пока, наконец, величина площадки не станет настолько малой, что об нее будут одновременно ударяться лишь немногие молекулы. В этих условиях закон Паскаля не имеет места и величина давления будет колебаться вообще в широких пределах, так как об эту площадку может одновременно удариться то 5, то 100, то 2 молекулы и т. д.
Наблюдая эти удары в отдельные моменты времени, мы не сможем установить определенного давления газа. Однако в среднем за очень большой промежуток времени закон Паскаля оказывается справедливым. Ь) Закон Клапейрона. Уравнение (1,26) показывает, что для данной массы газа произведение давления на объем пропорционально средней энергии поступательного движения молекул, входящих в состав взятой массы газа, т.
е, р ° М Е. (1,28) Известно, что при нагревании газа при постоянном объеме, когда газ не совершает внешней работы, все затраченное тепло идет на увеличение внутренней энергии газа, причем для иде- йЕ альных газов с = — есть величина постоянная, Отсюда слет= и Ю 6. Вывод газовых законов из молекулярной статистики 47 дует, что в идеальных газах внутренняя энергия, которую можно отождествить с энергией поступательного движения молекул газа, пропорциональна абсолютной температуре, т. е. Е Т. Тогда из (1,28), которое является уравнением кинетической теории, следует, что р У-т. Это выражение представляет собой закон Клапейрона в общей форме, как следствие молекулярной теории, т.
е. для идеаль. ного газа, энергия которого зависит только от температуры, произведение давления на объем пропорционально абсолютной температуре. с) Закон Бойля †Мариот. При постоянной температуре Т сопя(, очевидно, и Е=сопз(. Тогда из (1,26) имеем: р ° У=сопз1, 2— так как рУ= з Е Этот формальный результат очевиден как частный случай выведенного уравнения Клапейрона. Более на- глядно с точки зрения молекулярной теории зависимость между давлением и объемом газа при постоянной температуре можно пояснить, рассматривая удары молекул о стенку сосуда. Оче- видно, при уменьшении объема газа число ударов молекул, приходящееся на единицу площади стенки, возрастает, причем не трудно показать, что оно растет обратно пропорционально объему.
Отсюда следует, что объем газа обратно пропорциона- лен давлению. Такое объяснение закона Бойля †Мариот было предложено М. В. Ломоносовым. б) Закон Дальтона. Этот закон непосредственно следует из формулы (1,27). Суммарное давление газовой смеси получается при сложении импульсов, сообщаемых стенке при ударах раз- личных родов молекул. Это значит, что давление смеси газов равно сумме парциальиых давлений составляющих компонен- тов смеси. е) Абсолютная температура н связь ее с энергией молекул газа. Определение понятия абсолютной температуры дано в курсе термодинамики.
Пока мы не буден касаться общего смысла температуры, устанавливаемого в статистике; об этом сказано далее, в Ч главе книги. Здесь мы рассмотрим лишь соотноше- ние между температурой и энергией, получаемое из основ кнне. тической теории газов. Это соотношение является весьма ааж. Глава д Кинетическая теооия газов ным, хотя и применимо только к газам и потому не может считаться вполне универсальным.
Если отнести уравнение (1,26) к одному молю идеального газа, то, как известно, РУ=сгТ, где тс — универсальная газовая постоянная, и тогда из (1,26) имеем: РУ=-йЕ=КТ, т. е Е= — ечТ. Но для ! моля газа энергия молекул Е равна: Е =Но ° е, (1.30) где )то в постоянная Авогадро, а е, как сказано ранее, есть средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа. Поэтому из (1,30) находим: е= — — Т= — йТ.
3 Л 3 2 аГо 2 (1,31) Входящее сюда отношение констант ут- есть универсальная о постоянная: 8,313 1От -1в й =~ — — 8'82 '!оо, —— 1,37 10 зРз7еРплУ. о Она называется постоянной Больцмана и является одной нз основных физических констант. Соотношение (1,31) показывает, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа прямо пропорциональна абсолютной температуре. Этот результат является одним из основных следствий кинетической теории газов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
