Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В общем случае обе скорости в мо. мент удара надо разложить на составляющие по линии центров и по перпендикулярному направлению (рис. 7). Тогда легко видеть, что первая составляющая изменится так, как при пря мом ударе, т. е. произойдет обмен этими компонентами скорости; нормальные же составляющие останутся без изменения, так как они дают импульсы, не участвующие в ударе.
Таким образом, картина до и после удара будет иметь вид, изображенный на рисунке 7. Там же показаны направления векторов до и после удара; мы видим, что при косом ударе шары схо. дятся, а затем расходятся в разные стороны. Рассмотрим общий случай упругого косого удара молекулы а и молекулы Ь, считая, что молекулы имеют диаметр, равный о. Глава К Кинетическая теоРия гогов Допустим, что линия, соединяющая центры молекул при ударе, имеет направление в пространстве в нашей системе координат, характеризуемое соответствующими косинусами !, и, п углов с осями.
Очертим вокруг молекулы а сферу радиуса а и поместим в центре молекулы вершину конуса с телесным уг. лом с(ф и с направлением оси, совпадающим с линией центров (рис. 8). Это построение необходимо потому, что мы не можем говорить о строго фиксированном направлении линии центров, а задаем изменение направления скоростей в некотором интервале, которому отвечает телесный угол дф. При столкновении молекула а имеет скорость с, а молекула Ь вЂ” скорость сь Остановим первую молекулу, тогда процесс столкновения не изменится, если вторая молекула будет двигаться с относительной скоростью Ч, причем Ч=с,— с. Построим на площадке, вырезаемой конусом на сфере (рис. 8), цилиндр, ось которого совпадает с направлением относительной скорости Ч, а длина образующей равна )Ч~с(г.
Тогда если центр молекулы Ь лежит внутри этого цилиндра, то она за время а1г обязательно дойдет до сферы и и произойдет столкновение а с Ь. Так как у нас имеется не одна, а несколько молекул а, то для всех таких молекул построим подобные цилиндры с углами 8. Очевидно, что общий объем этих цилиндров равен произведению объема каждого из них на число молекул группы а, т.
е. этот общий объем равен: от~ф ~Ч(й. сов 8 ч~сИс(со, Рис. 8. З 7. Точная теория молекулярных етолкноеенип где оба произведения отмечены скобками. В этом объеме находится число молекул группы Ь, равное на основании сказанного; 'йр~ч~а17с 8 )а1тйо ° 1' йо или ч% йойот! Ч ~ соз 8 озйРЫтеИ, так как т11йо1 — число молекул Ь в единице объема пространства. Соотношение это указывает нам число столкновений а-молекул с Ь-молекулами за время Л. 6) В результате рассмотренных столкновений происходит перегруппировка молекул.
Молекулы а условно находились до столкновений в объеме пространства скоростей део, а молекулы Ь вЂ” в объеме йот того же пространства. После столкновений молекулы а по скоростям попадают в объем Ыео' из объема йо, тогда как молекулы Ь входят в объем агат из объема йвь Однако из геометрических построений можно видеть, что при ударах рассмотренного типа имеет место симметрия относительно центра тяжести системы, вследствие чего можно доказать, что йо = авто' и йо1 = того,' и, следовательно, пго йо~ = ~ЙО йо .
Это положение составляет частный случай так называемой теоремы Лиувилля, которая имеет большое значение в статистической физике; мы позднее дадим наиболее общее ее доказательство '. Итак, из построений мы видим, что после столкновений молекулы а выходят из а-группы, потому что компоненты скорости у них изменяются, хотя согласно теореме Лиувилля пределы изменения этих компонентов остаются теми же, что и до столкновения. Тот же вывод относится и к молекулам Ь.
7) Кроме рассмотренного типа столкновений, которые удаляют а-молекулы из а-группы, в системе происходят и такие удары, когда какие-либо из Ь-молекул после соударений попадают в число а-молекул. Легко показать, что такие удары происходят в условиях, в точности обратных первым. Ранее мы остановили а-молекулу; в таком случае соударение ее с Ь-молекулой можно свести к удару шара, движущегося со скоростью Ч, о неподвижный шар. Схема такого соударения ' См. стр. 172.
Глава К Кинетическая теоРия газов оз изображена на рисунке 9. Назовем такой удар прямым ударом. Тогда обратным является такой удар, когда начальная относительная скорость 6-молекулы такова же, как в прямых ударах после удара. Для таких обратных ударов после удара относительная скорость, как видно из второй схемы, делается равной е у е скорости до удара в прямых ударах. Следовательно, обратные удары происходят, когда молекула Ь сталкивается с молекулой какой-то группы Ь,. Тогда молекула Ьт становится после удара молекулой а, как ясно из сопоставления обеих схем.
Число таких обратных ударов можно выразить по аналогии с предыдущим как иГГ' ггтв' ггто,'~Ч~ соз О па г(тр гИ ггг. Очевидно, в результате прямых ударов число а-молекул уменьшается на некоторую величину, тогда как в результате обратных ударов число а-молекул растет. Если принять во внимание теорему Лиувилля, то итогом явится изменение числа тз-молекул на величину: т'Д7,' — Ц,) гйог~то, ~Часов О аггее(тгй. 8) Чтобы подсчитать полное изменение, вносимое в распределение числа молекул происходящими столкновениями, необходимо рассмотреть все такие столкновения, где первая молекула есть какая-нибудь а-молекула, тогда как другая имеет любое направление линии центров при ударе и любую скорость. При подсчете обратных столкновений надо выбирать только такие, у которых после столкновения одна молекула имеет любую скорость и направление линии центров, а другая имеет скорость а-молекулы.
Для этого необходимо суммировать полученное выражение по всем ф и по гоз (или Ч). Тогда полное изменение числа а-молекул за единицу времени, обусловленное столкновениями, представится формулой: (Ь вЂ” а)гйггто=ейгтто~ озйр ~и'(!7',— Цз)~Ч~соз О гйо,. Ф ен р д. Вывод максвел. раслред. скоростей молекул из осн. кинетин. уравнения 59 9) В результате предыдущих рассуждений получаем окончательно основное уравнение Больпмана: дт) дт) дт( — + —, тг+ — „.) = д8 дт дн = ~ озс(ф ~ тт(Ц,' — Цт))Ч!соз6 суто,. (1,46) Ф и, В этом уравнении учитывается движение молекул, действие внешнего поля на газовую молекулярную систему, а также столкновения молекул друг с другом.
Неизвестная функция тГ, которая вообще является функцией многих переменных, входит здесь под знаком интеграла, а также в виде своих частных пронзводных. Поэтому уравнение (1,46) относится к классу ннтегро-днфференцнальных уравнений. Заметим еще, что формула (1,46) представляет собой кинетическое уравнение, описывающее свойства газа в любых условиях, когда вообще отсутствует тепловое равновесие. Следовательно, выведенное уравнение пригодно для описания таких случаев, когда в разных слоях газа температура различна, когда имеется разница давлений в отдельных частях газа, т. е.
имеет место образование газовых потоков, н когда плотность газа различна в различных местах н меняется со временем. Газ может находиться в сложном внешнем поле, где силы поля являются функциями координат пространства; для всех этих случаев уравнение (1,46) также является справедливым. Можно поставить н более общий вопрос о поведении газовой смеси, состоящей нз разнородных молекул. Тогда уравнение усложняется, но более общее уравнение немногим отличается от полученного выше уравнения (1,46).
Таким образом, выведенное намн кннетнческоеуравненнеБольцмана представляет собой важное обобщение в кинетической теории газов н с его помощью был решен ряд частных вопросов. В Во. Вывод маковолловокого раопродолония окороотай молокул но ооновного уравнания кинвтичвокай творил' Дадим теперь строгое доказательство максвелловского распределения скоростей молекул, воспользовавшись основным уравнением Больцмана.
Положим, что газ находится в состоянии, когда молекулы в среднем равномерно распределены в т Материал в этом параграфе является дополнительным н может быть выпугдеи при первом изучении курса. Глава д Кияетикеская теоРия газов пространстве, причем это распределение не изменяется со временем. Следовательно, для этого состояния функция т( не зависит от координат х, у, г и от времени., Кроме того, допустим, что внешнее поле отсутствует. Эти условия можно сформулировать математически в виде: — =О, ~ — — 0; 1=0. (1,47) Перенося эти выражения в уравнение Больцмана (1,46), получаем: ~ о' 1еф ~ Р2 (Ц; — Ц1) ~ Ч ~ соз О а1то1 = О. (1,48) а и~ Уравнение (1,48) имеет простой смысл: оно показывает, что в условиях (1,47) выход молекул из одного класса за счет столкновений в среднем как раз компенсируется попаданием других молекул в этот класс.
Очевидно, это уравнение удовлетворяется, если в нем положить: 1'71 = 01. (1,49) 7=са' '*' (1,50) и попытаться найти 1р. Вместе с (1,50) можно также написать: 1,=г( ") ет а (лзе'2) 1' =Е р(ие ) 11= Е (1,51) Из теории упругого удара следует, что сумма кинетических энергий до и после удара есть величина постоянная, следова* тельно, тС'+ «Стт =то' +то,', откуда Обозначим ,ге тс2 1 тс2 тст .
1 1 тс2=Х; то,=у; тс =В. тт Найдем вид функции 7. Так как по условию 7 не зависит от х, у, в, 1, то оно может зависеть от скорости молекул, причем от абсолютного значения ее с, так как при условиях (1,47) все направления движения равновероятны. Поэтому всегда можно положить: у 8. Вывод максаел раснред. скоростеа молекул из оси. кинетич. уранненин 61 Тогда тс =х+ у — х. Логарифмируем равенство (1,49) и получаем: !и!'+ 1п(,'=.!п(+1п(, или с учетом (1,50) и (1,51): ~р (тс")+ ~р (тс,") = <р (тс')+ ~р (тс',). Иначе ~р(х)+ср(у) = ср(х)+~р(х+.у — х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
