Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Определяя отсюда у(х), затем ~р(у) и у(г), дифференцируем получаемые выражения соответственно по х, по у и по а. Ис. пользуя производные функции от функции, находим ряд равенств: 1р'(х) =<р'(х+у — а) ° 1; ~р'(у) =~р'(х+у — г) ° 1; ф'(г) =нр'(х+у — г) ° ( — !). Здесь всюду у'(х+у — г) является одной и той же производной по аргументу (х+у — г).
Сопоставляя зти равенства, находим: р'(х) =Ч'(у) =р'(а). Мы видим, что трн производные трех функций по трем разным аргументам равны между собой, что возможно лишь в том случае, если все зти производные постоянны и равны одной и той же величине, например — аь Тогда, например, <р'(х) = — ас или Йр(х) = — аФх. Отсюда 'Р(х) = — асх+С. Полагая константу интегрирования С=!п Аз, где А — постоянная, находим: р(тсе) = — а,тсе+1п Ас. Тогда с(лс с) — со[ сч — с-а, нлил' — Аз. с-а,ыс или ч . 1(тса) тАъс-а,тс' (1,52) Так как т)(тсе) определяет собой число молекул, скорости которых лежат в определенном интервале, то ясно, что )(тсе) есть плотность вероятности распределения скоростей молекул.
Сопоставляя полученное уравнение(1,52) с формулой (1,6) и полагая а=ает. мы видим, что плотность вероятности выра- 62 Глава д Кинетическая теоаия газов жается так же, как при максвелловском распределении скоростей. Таким образом, максвелловский закон мы получили из ннтегро-дифференциального уравнения Больцмана. Из условий (1,47) следует, что максвелловское распределение скоростей должно осуществляться именно при тепловом равновесии газа, и если пренебречь действием сил поля, в частности действием силы тяжести. Кроме того, из вывода следует, что столкновения молекул, происходящие при тепловом равновесии газа, как раз и обеспечивают неизменное во времени, устойчивое максвеллово распределение скоростей, так как в этих условиях не происходит в среднем изменения числа молекул того или иного класса.
Взамен одних молекул в данный класс входит за счет столкновений в среднем равное число молекул из других классов. Таким образом,максвелловский закон является статистически точным законом. Мы вновь вернемся к обсуждению этого 'закона, рассматривая его с термодинамической точки зрения и связав со вторым началом термодинамики. ф 9. Чноло отелкнеаеиий молекул газа и длина оаебаднеге пробега Простейшие расчеты по формулам, приведенным в б 6, по. казывают, что средние скорости молекул газа составляют при обычных температурах величины порядка сотен метров в секунду.
При таких больших скоростях следовало бы ожидать, что многие процессы в газах должны протекать с большой ско. ростью. Так, например, два различных газа, приведенные в соприкосновение друг с другом, должны были бы мгновенно смешиваться один с другим. Однако хорошо известно, что этот процесс (диффузия) идет на самом деле достаточно медленно, и такой факт кажется противоречащим выводам кинетической теории газов. Это противоречие было впервые разъяснено Клаузиусом, показавшим путем несложных вычислений, что моле.
кулы весьма часто сталкиваются друг с другом и свободные пути, пробегаемые молекулами с большими скоростями при обычных давлениях газа, ничтожно малы. Вследствие этого перемещение молекул в заданном направлении незначительно и диффузия протекает медленно. Задача нахождения числа столкновений и длины свободного пробега приобрела в настоящее время не только принципиальное, но также и практическое значение.
Она является основой техники высокого вакуума, где применяются сильно разреженные газы и важно знать поведение их в таких условиях. Проблема свободного пробега молекул имеет существенное значение в астрофизике, где изучаются д 9. Число столкновений молекул газа и длина свободного нродееа 63 звездные системы, состоящие из чрезвычайно разреженного га.
за, когда длина пробега молекул составляет величину во много километров. С развитием техники космических полетов практический вопрос выяснения особенностей внеземных условий также непосредственно связан с проблемой свободных пробегов молекул. Следует иметь в виду, что сами понятия длины свободного пробега молекул, а также числя столкновений должны быть строго определены заранее; в зависимости то того, какой смысл мы вкладываем в эти понятия, численные значения этих величин получаются различными.
Кроме того, необходимо принять определенную модель молекул газа. В частности, для идеае)ь. ного газа из точечных молекул свободный пробег должен бы быть бесконечно большим. Если учитывать взаимодействие молекул на конечных расстояниях (неидеальные газы), то расчет получается достаточно сложным. Более простые вычисления удается дать для идеальных газов из молекул, которые рассматриваются как упругие шары, взаимодействующие только при столкновении друг с другом. Рассматривая газ в состоянии теплового равновесия, можно определить число столкновений молекул, как число взаимных ударов, происходящих в 1 смз газа за единицу времени, и ввести в качестве среднего свободного пробега среднее расстояние, проходимое молекулой от одного столкновения до следующего. Далее отсюда можно вывести и иные производные понятия: длины пути и числа столкновений.
При нахождении числа столкновений молекул следует иметь в виду, что при тепловом равновесии газа скорости молекул различны и распределены по максвелловскому закону, выведенному ранее. Следовательно, каждые две сталкивающиеся молекулы имеют различные скорости, и ~вероятности появления той или иной скорости для каждой молекулы характеризуются максвелловской функцией распределения. Таким образом, точный расчет числа столкновений является достаточно сложной задачей. Она может быть упрощена, если рассмотреть два крайних простейших случая соударений, отвечающих условно выбранным участкам максвелловской кривой: 1) Скорости двух сталкивающихся молекул сильно отличаются друг от друга; пусть, например, «налетающая» молекула сталкивается с наиболее медленными молекулами. Этот пример можно приближенно заменить схемой движения быстрой молекулы среди неподвижных молекул. 2) Скорости двух сталкивающихся молекул близки друг к другу и близки к средней скорости на кривой Максвелла.
Этот 64 Глава 1. Кингтичегяая гговия газов случай сводится к схеме столкновений молекул, обладающих равными по величине скоростями. Оба эти расчета были проведены Клаузиусом и привели к соотношениям для числа столкновений, отличающимся лишь разными численными коэффициентами, но дающими по смыслу одинаковый результат, легко оправдываемый в физическом отношении. Ввиду того что второй случай Клаузиуса дает почти одинаковые результаты, но требует расчетов, имеющих теперь лишь историческое значение, остановимся на первом случае, после чего перейдем к точному решению задачи. Итак, допустим, что все молекулы неподвижны, кроме одной, которая движется среди них со средней скоростью с.
В первом приближении молекулу газа можно рассматривать как шарик с диаметром о. На своем пути среди неподвижных молекул движущийся шарик вырезает в пространстве цилиндр с основанием, сечение которого равно площади большого круга этого шарика. Такой цилиндр может быть построен на пути между двумя последовательными столкновениями молекулы. При большом числе столкновений такие цилиндры дадут общий цилиндр, составленный из отдельных частей.
Нужно, однако, иметь в виду, что каждому столкновению двух молекул соответствует соприкосновение на расстоянии диаметра (если молекулы имеют одинаковые радиусы). Следовательно, для вычисления эффективности соударений следует иметь в виду цилиндр с радиусом, равным диаметру движущейся молекулы. Из этих простых рассуждений следует, что число соударений одной молекулы среди неподвижных за 1 век равно числу молекул, расположенных з цилиндре с сечением по' и длиной, равной средней скорости с молекулы. Считая на основании гипотезы элементарного беспорядка, что молекулы распределены в среднем равномерно в объеме газа и число их в единице объема равно ч, находим общее число столкновений за 1 сек, как произведение объема рассмотренного цилиндра на величину ч, т.
е. это число столкновений равно: и = по'с ° ч. (1,53) Отсюда следует, что число столкновений зависит от размеров молекул, от средней скорости движения последних и от плотности газа. Ясно, что чем крупнее по размерам молекулы, тем чаще они будут сталкиваться друг с другом и число столкновений будет больше; далее с увеличением скорости число столкновений растет, что очевидно, так как за единицу времени будет возрастать общий путь, пройденный молекулой в среднем.
Наконец, выведенная формула показывает, что с увеличением плотности газа число столкновений должно становиться больше. 4 У. Число столкновений молекул газа и длина свободного пробега 65 Среднюю длину свободного пробега Х, определяемую как путь, проходимый в среднем от одного столкновения до другого, легко найти, разбивая отрезок пути с на п частей. Тогда, очевидно, с 1 Х= — =— н когн (1,53') Вычисления Клаузиуса для второго простейшего случая при- вели к формуле, аналогичной первой (1,53), а именно: 4 п= — посс.
ч. 3 (1,54) Скорость движения центра тяжести (или центра масс) сг двух молекул может быть найдена из законов механики, а именно, нз известного соотношения: М )гг пгсс1 + тгсг, а л. в. эглгнгг иг 4 Оба соотношения различаются коэффициентом 3, и соот. ветственно изменяется формула (1,53'). Полученные результаты показывают, что для точного расчета при максвелловском распределении скоростей следует ожидать соотношений, близких к тем, которые получаются при грубых допущениях, основанных на схематической замене действительного распределения.
Рассмотрим точный расчет числа столкновений, допуская, что скорости всех молекул распределены по максвелловскому закону. Заметим прежде всего, что в системе из двух приходящих в соприкосновение молекул непосредственное значение имеет лишь скорость относительного движения, если рассматривать одну из молекул неподвижной, а другую налетающей на первую. Абсолютные скорости молекул с, и сг, взятые по отношению к стенке сосуда, в акте столкновений не играют роли. Поэтому весь расчет числа столкновений можно осуществить, если одну из молекул рассматривать движущейся с некоторой средней относительной скоростью среди неподвижных молекул, как это было сделано в первом простейшем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
