Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Выделим мысленно внутри газа небольшую плошадку е(5 и допустим, что газ находится сначала в тепловом равновесии, т. е. имеет всюду одинаковую плотность и температуру и в целом является нет1одвижным. Вследствие полной хаотичности движения молекул можно принять, что к выделенной площадке всегда в среднем подходит с одной стороны Че часть всех молекул, движущихся вблизи нее.
При тепловом равновесии число молекул, приходяших за время Л к площадке с одной стороны, равно в среднем числу молекул, приходящих к ней с другой за то же время. Это положение основано на гипотезе элементарного беспорядка и является очевидным. Рассчитаем число молекул, подходящих к площадке за время Ш, считая скорость всех молекул одинаковой и равной средней скорости б. Число молекул, приходящих к площадке Ю слева (рис.
11), равно числу их, заключающихся в цилиндре с основанием Ю и высотой сЖ. Если в 1 сме имеется ч молекул газа, то, очевидно, за Ж к выделенной площадке подойдет: — сч аЮ ей б молекул. Мы получим совершенно тот же результат, вычисляя количество молекул, приходящих за то же время к площадке справа. Поэтому общий поток молекул через нашу плошадку равен: б счтлогее — б очи'еее =О. З 1!. Процесссс лереноса в вазах с точки зрения кинетической теории 73 Этот результат указывает на отсутствие направленных макроскопических потоков в газе, находящемся в равновесии, и на отсутствие направленного переноса в этих условиях. В общем случае, когда тепловое равновесие не имеет места, в отдельных макроскопических частях объема газа плотность и температура могут быть различными и происходит видимое перемещение отдельных слоев газа за счет создаваемой искусственно разности давлений. В этих условиях будет происходить направленный перенос некоторой величины, которую мы пока обозначим через У.
При различной плотности (концентрации) газа в разных слоях наблюдается процесс диффузии, при котором происходит самопроизвольный перенос массы или числа молекул в единице объема, т. е. процессу диффузии соответ. ствует перенос величины У=ч. Когда в разных слоях газа различна температура, то этому соответствует разная средняя энергия молекул этих слоев, т. е. переносимой величиной У является энергия, а наблюдаемый процесс называется теплопроводностью. Наконец, создавая в газе условия для его направленного движения, мы сообщаем молекулам различных слоев разные количества движения, что приводит к явлению внутреннего трения, связанному с переносом количества движения, и переносимая величина есть У тпо. Во всех процессах, описанных выше, перенос величины У происходит вследствие соударений молекул друг с другом.
В отсутствии столкновений между молекулами явления переноса носили бы существенно иной характер, чем в обычных условиях, когда происходит множество столкновений за единицу времени. Величина У сохраняется молекулами на длине свободного пробега и при каждом столкновении изменяется скачком. Таким образом, в отсутствии столкновений происходит перенос величины У на длине, равной )с. Так как Л весьма мала даже при сравнительно небольших давлениях, то на макроскопических расстояниях, во много раз превышающих )с, величина У изменяется г1рактически непрерывно от слоя к слою. Рассмотрим случай, когда У изменяется макроскопически непрерывно в каком-нибудь одном направлении х, и представим себе площадку в газе, расположенную перпендикулярно к этому направлению (рис.
12). Пусть в плоскости площадки переносимая величина имеет, значение У. На расстоянии 7с влево от площадки эта величина имеет значение У1 и сохраняется на всем Рис. 13. 74 Глава К Кинетическая теория газов пути Х, так как на этом пути столкновений не происходит. В плоскости площадки за счет столкновения приходящих молекул величина У| изменяется, принимая значение У.
Вправо от выделенной площадки на расстоянии Х переносимая величина постоянна и затем меняется скачком вследствие столкновений, принимая значение Уг. Считая, что на 1 см пути по направлению х величина У изменяется макроскопически непрерывно, введем величину модуля ее градиента, равную изменению У в данной точке, отнесенному к единице длины и выражаемому производной: а"т' К= —.
ах Тогда значения Уг и Уг на расстоянии Х будут равны вели- чинам: у,=у+ — „"' л, йх если считать, что Уз<У<уз. Таким образом, изменение переносимой величины на расстоянии 21с при переходе через выделенную площадку равно: ах а 'т' (1,60) Применим эти общие рассуждения к частным случаям процессов переноса в газе. а) Диффузия. В этом случае от слоя к слою' в газе изменяется средняя плотность и, следовательно, число молекул ч в единице объема. Поэтому здесь У=я. Рассмотрим потоки слева и справа через площадку НЯ в направлении х. Слева к площадке подходит теперь в среднем за время с)г число молекул, равное †,Юсй. Число молекул, в среднем приходящих за то же время справа, равно теперь: 6 2ЫЗ (4.
Мы видим, что эти потоки не равны, так как различна плотность газа в разных слоях. Пусть для определенности чг>чь Тогда средний итоговый поток через площадку равен: 1— с ге 5 гг г (чз чг) 6 з 11. Процессы пеРеноса в газах с точки зрения кинетической теории 75 Но изменение плотности от слоя к слою, происходящее за счет соударений, выражается формулой (1,60), если положить У=т.
Поэтому поток газа через площадку равен: чти= 3 сЫсй ° 2 д' Х или аЪ = — сХ вЂ” с(5 сг1. 1 — йч 3 ах Очевидно, этот поток направлен в сторону падения плотности (или концентрации). Умножая последнее равенство на массу одной молекулы пг и учитывая„что р=гп ° т есть плотность газа, имеем': о(п ° т= с(М; и тогда Производная в этой формуле представляет собой компоненту по оси х вектора, называемого градиентом плотности. Обычно за направление этого вектора принимают направление процесса переноса, т.
е. градиент определяют как падение плотности на единицу пути. Поэтому предыдущую формулу представим иначе, именно: АИ = — 3 СХ Й Ы5 й (1,61) Знак минус в этом уравнении соответствует определению вели- нины — , как падения плотности на единицу пути, т. е. эта йр ах ' производная отрицательна, ио так как изменение массы дМ положительно, то перед выражением правой части необходимо принимать всегда знак минус. Это соотношение совпадает с эмпирически установленным законом Фика для диффузии: сйИ = —,0 — Р ге 5 сй, лх1 показывающим в согласии с опытом, что количество вещества, диффундировавшего через площадку с(Я за время й, йр прямо пропорционально градиенту плотности —, величине пло.
йх ' щади и времени. Известно, что процесс диффузии протекает самопроизвольно, когда два газа смешиваются друг с другом; при этом происходит выравнивание плотностей в отдельных Г л а в а 1. Кинетическая теория газов частях смеси. Если один газ примешан к другому, то взамен плотности этого газа в уравнение Фика входит не плотность, а концентрация этого газа, т. е. количество его в единице объема смеси. Но алоэ~не очевидно, что обе величины (плотность и концентрация) имеют одинаковый смысл в уравнении диффузии. Величина 0 называется коэффициентом диффузии и имеетразмерность: [О) = смз(сек. Из сопоставления обоих соотношений мы видим, что молекулярная .теория привела к опытному закону для диффузии газа, причем значение коэффициента диффузии пропорционально средней длине свободного пробега Л молекул и их средней скорости с: 1 О = — Лс.
3 Это выражение является принципиально важным потому, что оно вскрывает молекулярно-кинетический смысл коэффициента диффузии, который являлся ранее эмпирической константой. Ь) Теплопр овод ность. Пусть средняя плотность газа всюду постоянна, но температура в разных слоях различна и поэтому средняя энергия молекулы также является переменной от слоя к слою. В данном случае имеет место перенос энергии за счет соударений молекул, при котором средняя энергия одной молекулы на расстоянии Л слева от площадки есть еь а справа на том же расстоянии она равна ег При небольших ет и ем соответствующих малым различиям температуры в газе, приближенно можно принять, что с, огсз, и ввести постоянную среднюю скорость молекул с.
Тогда итоговый поток энергии через площадку выражается соотношением: 1— 1— 1— 3 с,те~с(5сИ вЂ” а сре~Юс(1= 3 с Юга(е — е,), если считать ег>вь Здесь ие есть энергия молекул на 1 смг газа. Полагая У=е, находим согласно (1,60), что ае е,— е,=2 — „Л.
Так как е= — йТ 3 1 то, очевидно, ез — е, =Зй ~„. Л иТ й 1Х Процесса нереноса в газах с точки зрения кинетической теории 77 и поэтому поток энергии (или перенесенной теплоты) есть: (1,63) Это выражение легко преобразовать, вводя удельную тепло- 3 емкость газа с„. Очевидно, величина — йтТ есть энергия молекул в 1 смз газа. Тогда количество теплоты, необходимой для нагревания 1 см' газа прн постоянном объеме на один градус, рав- 3 но ~ йт. Но единица объема газа имеет массу р. Поэтому удельная теплоемкость газа равна: 3 йч с = —— е о р откуда Зйт=2рс,. Подставляя это выражение в формулу (1,63), находим: 1 — йТ 70=3 с7 .р й„с(ЗМ. Производная, входящая в это выражение, является величиной градиента температуры. Мы видим, что положительный поток теплоты направлен в сторону падения температуры.
Поэтому, изменяя знак правой части на обратный, получаем: ййР = — — сйс,р — „ат3 гт'г. 1- й7 3 йх (1,64) Это соотношение совпадает с эмпирическим законом теплопроводности Фурье: ٠— 71 — „сЖ(г. йТ где з1 — коэффициент теплопроводностн. Из сопоставлений обоих равенств следует, что 1— ч) =- сХСеР. 3 (1,65) Это соотношение, выведенное из молекулярных представлений, показывает, от каких свойств газа должен зависеть коэффициент теплопроводности.'Заметим, что кинетическая теория газов не только дает выражение для коэффициента теплопроводности, но позволяет также установить связь между этой Глава д Киягтиигская творил газов величиной и коэффициентом диффузии. В самом деле, сравнивая формулы (1,62) и (1,65),.находим: т1= О с,р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
