Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 31

Введем понятие функции от коммутирующих операторов А и В. По вещественной функции 1(х,у) можно построить само- сопряженный оператор 1(А, В), положив 1(А, В) р() =ЦЛ„, р„) р(), где векторы ф(э) удовлетворяют (2). Это определение согласуется с введенным ранее определением функции от одновременно измеримых наблюдаемых. Справедливым является следующее утверждение. Если оператор Р коммутирует с любым оператором С, коммутирующим со всеми операторами Аь ..., А., (АЬАЬ) = О, то оператор 0 является функцией от этих операторов. При доказательстве опять ограничимся случаем двух операторов с чисто точечным спектром.

Пусть каждой паре собственных значений 1( и р„соответствует один собственный вектор Аф „=й (р „, В(р „=р„(р„„. В этом случае достаточно коммутативности оператора 0 с самими операторами А и В. Действительно, если [Р, А) = О и ф еиЯ, то и 0(реп Ж„, так как АР(р = РАф = Х Рф. Аналогично из условия 10, В] = О получаем, что вместе с ф аи З„' и Рф ел Я„'. Поэтому, если ф еи эй'„„то 0(р еи Я,. По условию пространства Ж „одномерны и Рф „лишь численным множителем может отличаться от фтл, т, е.

Рфтп = ктлфтл. Выбирая функцию ((х,у) такую, что хщл = ~(7,щ,).л), Видим: Р =1(А,В). Перейдем к более сложному случаю, когда подпространства М , не являются одномерными А(р(1) = 7) (р„'"), Вф(х) = р„ф(х)„, й = 1, 2, ... Рассмотрим совокупность собственных векторов, соответствующих паре Х, )(,. Индекс тп для сокращения записи опустим. Введем операторы С(() и С(п), определив их равенствами С'пр'"'=б р"', ф = (эф ,(л й 1 Спп(р(ь) (р(п й =! О, ФФ!, йФ(, С ф=С ф=О, фенМ~, н) (н) где Яй „ — ортогональное дополнение к подпространству Я„„.

1 Легко проверить, что все опепатооы С(() и С((о коммутируют 172 с А и В. Из условия 1Р, С<<>] = 0 получим 0<р<>> = РС<<><р<<> = С<лР<р<л, откуда следует, что Р<р<<> пропорционален <р<<>: 0<э<в = ><<л<р<>>. Покажем, что все числа х<н совпадают яи>,р«>=Р,р<л=РСпо р< =С< >Р,р« =С< >Ыи>,ри = <»,ри>.

Таким образом, векторы <р~~'„являются собственными векторами оператора Р, причем собственные значения от индекса й не зависят Р~рь> = >< „<р<~>. Поэтому, как и в первом случае, 0 = ><А,В). Обратим внимание на то, что коммутативности оператора 0 с самими операторами А и В здесь было бы недостаточно. Более того, если из условия коммутативности оператора 0 с А и В следует 0 = >(А,В), то можно утверждать, что каждой паре собственных значений Х и р„соответствует один собственный вектор <р „. Действительно, если таких векторов несколько, то всегда может быть построен оператор, коммутирующий с А и В и не являющийся их функцией.

В качестве такого оператора можно взять, например, оператор С<ю. Теперь мы можем ввести важное понятие о полной системе коммутирующих операторов. Система самосопряженных операторов А>, ..., А„называется полной системой коммутирующих операторов, если 1) операторы А; попарно коммутируют [А<,А;] = О, 1, 1 = 1, 2, ..., п, 2) ни один из операторов А; не является функцией от остальных, 3) любой оператор, коммутирующий со всеми Аь есть функция от этих операторов. Из доказанных выше утверждений и условий 1) и 3) определения полного набора Аь ..., А„следует, что существует общая полная система собственных векторов всех этих операторов А«> а<<р, <=1, 2, ..., и, аг ..., а„< а,,..., а„' причем каждой совокупности собственных значений аь ..., а„ соответствует один собственный вектор ~р,, Из условия 2) следует, что последним свойством ие обладает общая полная система векторов для части операторов Аь ..., А„.

Фактически условие 2) обозначает, что среди операторов А<, ..., А„ нет «лишних». Если в результате измерений известно, что численные значения полного набора наблюдаемых А>, ..., А„в некотором аз состоянии с достоверностью равны аь ..., а„то можно утверждать, что это состояние описывается вектором ~р, ! '" ~а В заключение заметим, что если набор попарно коммутирующих независимых операторов не является полным, то его можно и притом многими способами дополнить до полного набора. й 45.

Представление пространства состояний по полному набору наблюдаемых Пусть дан полный набор операторов Аь ..., А„с чисто точечным спектром. Эти операторы имеют общий полный набор собственных векторов у... и каждому набору собственных чисел соответствует один вектор у . Произвольный век- О ~ О тор ф ен,Уэ может быть представлен в виде ряда ф(1 . ° - в) 'Рд а, ф( о'''' л) (ф'~за а) Эта формула определяет взаимно-однозначное соответствие между векторами ф и функциями ф(аь...,а„), определенными на спектре операторов Аь ..., А„, ф ф(аь ..., а„).

Очевидно, что (ЧЧ ~Ъ)= ~. 4Ч(аь ..., а„)фз(аь ..., а„), а,,", ап АМ+ аМ(ао ..., ач), т. е. построенное представление является собственным для всех операторов Аь ..., А„(действие этих операторов сводится к умножению на переменную). Функция ф(аь...,а„) называется волновой функцией. Чтобы выяснить ее физический смысл, построим, как в предыдущем параграфе, оператор )с такой, что А;= Р;Я), (= 1, 2, ..., и, )~~Рач, ..., а ач, ..., а ~ра, ..., а где г,г ...,, — различные вещественные числа и а, = Р, (г,,...,, ). Мы знаем, что ~(ф, <Р,, )~'=)ф(ан ..., а„)1' есть веРоитность в результате измерения получить численное значение наблюдаемой Р, равное г..., Поэтому )ф(аь..., а„) (э является вероятностью получить в результате одновременного измерения наблюдаемых Аь ..., А„значения аь ..., а,. Все эти результаты обобщаются на случай полного набора операторов Аь ..., А„ с произвольным спектром.

Сформулируем без доказательства теорему. 174 Теорема. Пусть дан полный набор коммутирующих операторов Аь ..., А„. Тогда существует такое представление пространства состояний, что вектор ф ен М представляется функцией ф(аь..., а,), определенной на некотором множестве 6 (а = = (аь ..., а„)ен 6). На множестве 6 задана мера д1г(а) и скалярное произведение определяется формулой (фь Ы= ()ф,(п) ~а) ~()х(а).

Операторы Аь ..., А„ в этом представлении являются операторами умножения на переменную А~ф(аь ..., а„)=а ф(аь ..., а„), 1=1, 2, ..., а. Функция 1ф(аь...,а,)1э есть плотность общей функции распределения для наблюдаемых Аь ..., А„относительно меры г(р (а) . Выше мы уже имели примеры полных наборов коммутируюших операторов и соответствующих представлений простран. ства состояний й6. Для бесструктурной частицы полный набор образуют операторы координат Яь Ям Ям Этому набору соответствует координатное представление.

Аналогично строится импульсное представление по полному набору Рь Рь Рз. Полный набор образуют также операторы Н, Ь~, Ьм где Н вЂ” оператор Шредингера для частицы в центральном поле. Представление, соответствующее этому полному набору, описано в $ 3!. Для одномерной частицы оператор Шредингера Н для гармонического осциллятора сам по себе представляет полный набор. Соответствующее представление было построено в $ 18.

я 46. Спин До сих пор мы считали, что электрон представляет собой материальную точку с массой т и зарядом — е, т. е. является бесструктурной частицей, пространство состояний которой Я может быть реализовано, например, как пространство 1Р(К') квадратично интегрируемых функций ф(х). На основе такого представления об электроне мы рассчитали энергетические уровни атома водорода и получили результаты, которые с большой степенью точности совпадают с экспериментальными.

Тем не менее существуют эксперименты, которые показывают, что подобное описание электрона не является полным. Мы уже упоминали об опытах Штерна и Герлаха. Эти опыты показали, что проекция на некоторое направление магнитного момента атома водорода в основном состоянии может принимать два значения.

В ~ 34 мы построили квантовую наблюдаемую «проекция магнитного момента» заряженной 175 бесструктурной частицы и видели, что третья проекция магнит. ного момента пропорциональна проекции момента импульса йм Из расчета атома водорода мы знаем, что численноезначениеЕз для основного состояния есть пуль. Поэтому и магнитный момент атома в основном состоянии должен равняться нулю. Это противоречие может быть объяснено, если предположить, что сам электрон имеет магнитный и механический моменты, проекции которых на некоторое направление могут принимать два значения.

Собственный момент импульса электрона называют спином в отличие от момента, связанного с его движением в пространстве, который обычно называют орбитальным моментом. Существование наблюдаемой, численные значения которой могут принимать два значения, приводит к необходимости считать, что электрон может находиться в двух различных внутренних состояниях, независимо от состояния его движения в пространстве. Это в свою очередь приводит к удвоению общего числа состояний электрона. Так, каждому состоянию электрона в атоме водорода (без учета спина) соответствует два состояния, различающихся проекцией спина нв некоторое направление. Если предположить, что не существует какого-либо дополнительного взаимодействия, связанного со спином, то кратность всех собственных значений энергии оказывается в два раза больше, чем для бесспиновой частицы.

Если же такие взаимодействия существуют, то вырождения, связанные со спином, могут сниматься и произойдет расщепление энергетических уровней. Опыты показывают, что такое расщепление действи. тельно имеет место. В $ 32 мы описали модель атомов щелочных металлов, основанную на предположении, что валентный электрон атома движется в центральном поле. Эта модель неплохо описывает расположение энергетических уровней атомов щелочных металлов, однако ни сама модель, ни какое-либо ее усовершенствование не могут объяснить наблюдаемое расщепление уровней прн 1ФО на два близких.

Гипотеза о спине позволяет легко объяснить это расщепление. В атомной физике существует еще' множество явлений, которые находят свое объяснение на основе этой гипотезы. Мы увидим позже, что только удвоение числа состояний электрона, связанное со спином, позволяет объяснить длину периодов в таблице Менделеева. Хотелось бы подчеркнуть, что гипотеза о спине электрона является гипотезой о природе конкретной элементарной частицы и не затрагивает общих принципов квантовой механики.