Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 27

Вопрос о существовании решения уравнения (2) с условием (3) мы также обсудим ниже. На этот вопрос, однако, просто ответить для 147 случая 1'(х) = О. Покажем, что функций !ро (х к) е!ох — е!огп а а 2п! 2п! которая, очевидно, является решением (2) при Р(х) = О, удов. летворяет и условию (3), и найдем вид функции 5(й, п,о!) для этого случая. Мы ищем асимптотику функции !ро(х,к) в классе обобщен. ных функций, поэтому должны найти асимптотическое выражение при г -~ оо интеграла 1= ~ ((п) фо(гп, йе) Нп, где 1(п) — гладкая функция. Используя явный вид !ро(х, й) и вводя сферическую систему координат, полярная ось которой направлена по вектору е, имеем оя я 1 = —.

~ !(!р ~ 1 (соз О, !р) е'"'"" з! п Ы О = Ф 2гц о о 2о ! = —,„,. ~ !ар ~ (Ч 1(ть р)е!о'ч. Интегрируя по частям, получим оо 1= — „, ~ !(!р п„)(ть !р)е о — — ~ с(!Р—... ~ Й1 Го(П <Р) е'"'" о -! Еще раз проинтегрировав по частям, легко убедиться, что вто. рое слагаемое имеет порядок О(1/го), поэтому 2о 1 — ~-. ~ !(!р (е!о'1 (!о) — е 'о'1' ( — о!)) + О ( —,) = о е-'о' енч I — ) ( — е) — —,Не)+ О ( —,). Таким образом, мы показали, что !ро (х, к) = — Ь (п + е) — — б (п — е) + О ( —,) . (4) Сравнивая (4) с (3), найдем функцию 5 для свободной частицы Бо (й, п, о!) = б (п — !о). ив Функция 1(й, п, в) называется амплитудой рассеяния.

Очевидно, что 1(й, п, в) = 0 при У(х) = О. Мы увидим, что через эту функ- цию наиболее просто выражается сечение рассеяния. Вместо асимптотического условия (б) часто используют ев' ~1~ ф(х, 1с) =ем"""+((К и, в) — +о ~ — ), г Т которое приводит к более удобной нормировке функции ф(х, й). Посмотрим теперь, какими свойствами обладает функция 5(й,п,в). Для изучения этих свойств удобным оказывается сле- дующее вспомогательное утверждение.

Пусть функции ф~(х) и фз(х) удовлетворяют уравнению (2) и асимптотическим условиям при г- оо, которые можно один раз дифференцировать по г е-'~' е'~' ! ф~ (х) = А1(ц) — + В, (и) — + о ( — ), е-'~' е'в 1 ф, (х) = А, (п) — + В, (и) — + о ( — ) . Тогда справедливо равенство ~ А~ (и) Вз (п) Вп = ~ А, (п) В1 (п) Ып. (8) Яг 3 Это утверждение легко доказывается при помощи формулы Грина ~ (ф~бфз — фзбф1)дх= ~ (ф~ — „2 — фз — „') НХ, (9) Я аи (7) В качестве области интегрирования й следует выбрать шар радиуса Я и перейти к пределу при Я-ь со. Положим е-и' е'~' 1 ф1(х) =ф(х, (с) — б(и+ в) — — 5(й, п,в)+ о(-), фз( )=М, й')= —,б( + ') — — ', 5(К 11, ')+ ( — ), Ы )=1(,Е')= — — 5(й, и, ')+ — 'б( + ')+ ( — ), 149 Используя (4), можно переписать асимптотическое условие (3) в форме ф (х, 11) = —. (ем'в '+ 1 (К», в) — ) + о (-), (б) где функция )(й,п,в) связана с функцией 5(й,п,в) соотношением 5(й, и, в)=б(п — )+ — „~(й, и, в).

(6) где 1' = йв'. Применяя формулу (8) к функциям ф~ и фь по- лучим 5(й, — в, в') =5(й, — в', в), или, заменяя е на — в, 5(й, в, в') =5(й, — в', — е). (1О) Эта формула является аналогом равенства В = Р для одно- мерной задачи рассеяния и выражает тот факт, что значения функции 5 для прямого (е'- в) и обращенного во времени [ — в-э — в') процессов столкновений совпадают. Можно пока- зать, что зто свойство (так же, как и симметрия 5-матрицы в одномерном случае) является следствием инвариантностн уравнения Шредингера относительно обращения времени.

Далее, применяя формулу (8) к функциям ф~ и ф„ получим ~5(й, и, в')5(й, и, е)йг=б(в — в'), (11) Зв Если рассматривать функцию 5(я,и,е) как ядро интеграль- ного оператора в 1Р(5з) 5т(е) = ~ 5(К в, в') Ч(е') ~(е', то формула (11) может быть переписана в виде 5'5 =!. Учитывая (10), из (11) следует, что справедливо равенство 55" = 1. Из последних двух соотношений следует, что оператор 5 яв- ляется унитарным.

Мы видим, что оператор 5 для задачи рассеяния на потен- циальном центре обладает теми же свойствами, что и 5-мат- рица для одномерной задачи рассеяния. Из унитарности опе- ратора 5 вытекает важное соотношение ~ ! 1(К и, в) !' и'п = — 1т1 (А, в, в), (12) которое носит название оптической теоремы. Действительно, используя (6) и (11), получим ~ ) Ь (п — е ) — — 1(я, и, в )]) 6(п — в) + — ) (А, и, в)~ дп = = б ( — ') + 2 Р~ (К е', е) — 1 (К в, в')]+ + —, ~ 1 (А, и, в,) 1 (й, п, е') Ип = Ь (в — е'). Полагая е = е', мы сразу приходим к формуле (12).

!бв В $ 42 мы увидим, что интеграл в левой части (!2) совпадает с полным сечением а для рассеяния частицы на потенциальном центре. Поэтому (12) можно переписать в виде о = — 1ш 1 (К ы, ы). 4а а Эта формула связывает полное сечение рассеяния с мнимой частью амплитуды рассеяния на нулевой угол. Используя унитарность оператора 5, легко показать, что функции ф(х,'к), удовлетворяющие асимптотическому условию (7), имеют нормировку ~ ф(х, (г)ф(х, 1с') ~(х=(2п)аб(й — (г') т. е.

нормированы так же, как решения для свободной частицы е'"*. Чтобы проверить (13), умножим равенства Лф(х, й)+ й'ф(х, й) = У(х) ф (х, й), !!ф (х, й') + А'ф (х, 1с') = Р (х) ф (х, к') (! 3) на ф(х, к') и ф(х, к) соответственно, вычтем первое из второго и проинтегрируем по шару радиуса Р, тогда ~ ф (х, к) ф (х, 1с') пх = „... ~ [ф (х, 1с) Лф (х,1с')— па аа — $ (х, )с') Лф (х, к) ! и'х. С помощью формулы Грина это равенство можно переписать в виде ~ ф (х, к) ф (х, к ) Нх = ..., ~ (ф (х, к) за —— ( — кт) дф (х, а) ) где Яа — сфера радиуса )с.

Формула (13) получается из последнего соотношения переходом к пределу при !т-ь со, интеграл в правой части считается с помощью асимптотического выражения для ф(х, к). Мы не приводим соответствующих выкладок, так как они буквально повторяют вычисления, которые привели нас к формулам (36,9), (36,10). 9 40. Движение волновых пакетов в поле силового центра Построим с помощью функции ф(х,к) решение нестационарного уравнения Шредингера вида з зр(х,г)=( — ) ~С((г)ф(х, $с)е 'заза. (1) Если функция С(к) удовлетворяет условию ~ ~С(й)~з (й=(, то зр(х,() вследствие (39.13) имеет правильную нормировку $ ~ ф(х, 1)1зз(к= 1.

Как и в одномерном случае, разумно рассмотреть решение с функцией С(й), сосредоточенной в малой окрестности точки йз = Аоаз. По теоРеме Римана — Лебега пРи 11(- со зР(х,()-»0 и ~1чз(х,1) ~зз(х — »О для любой конечной области з). Поэтому функция зр(х, () описывает инфинитное движение частицы. Нас интересует поведение этого решения при ~ () -» оо и г — оо и мы можем заменить зр(х, к) в формуле (1) ее асимптотическим выражением ф(х, й)= — "' ( 6(п+а) — — Я(й, п, а))+ о( — ). (2) 152 При г-» оо имеем з ф (х, 1)ж ( †) $ А зИ $ г(е С (й, е) — ( — 6 (п + е)— о з, е'з' — — 3 (й, п, е) ) е-'зч = зр, (х, 1) -1- ф (х, (), где ф~(х,() и зрз(х, г) соответствуют сходящейся е-'з'/г н рас- ходящейся езз'/г волне в асимптотике. Функция зр~(х, 1) может быть переписана в виде Ю зРз (х,1) = — ~ йС(Я, — п) е 'з'е '"'г(Я (3) з Ч/2я (мы распространили интегрирование на всю вещественную ось, положив С(й, п) = 0 при й ( О).

Вычисляя интеграл (3) мето- дом стационарной фазы, получим з 1~х'О (!2~/) С( — 21, — п)ез+01 зр )1 (4) через у, как всегда, обозначена вещественная функция, которая нас ие интересует. Для того чтобы вычислить фх(х,1), используем формулу (39.6) для функции Б фх(х, 1) = — = ~ Ыя ~ х(хе С (я, хе) ~6 (п — е) + гт/2я + ~ 1'(й, п, хе)~е"'е '"' = — = ~ Иь1(С(К п)+ 0 + — '„С1 (Ф) ) (й, п, хе,)~ е "ы хч1.

(5) Здесь мы ввели обозначение С1(е)= ~С(я,ге)х(х» и, учитывая 6-образность функции С(я,ха), заменили функпию 1(я,п,ха) ее значением в точке а = ве. Интеграл в (5) вычисляется методом стационарной фазы фх(х, 1)= ( —,)' ~С( —, п)+ + 4 1 С~( 21)1(21, п, хао))е~х -1-0(1111~). Наконец, учитывая 6-образность функции С1(е) (она сосредоточена в окрестности точки Йо), получим з фх (х, 1) = ( — ) Г С ( —, п) + + 2 С~1 21 ) Р (~о п, сао))есх +01 <~~~ ) (6) Из формул (4) и (6) видно, что ф~ дает вклад в ф(х,() только при 1- — оо, а фх — только при 1-«+со. Для плотности функции распределения координат 1ф(х,1) (х имеем (ф(х, 1) 1' м —, ~ С( — —, — п) ~, 1- — ., (7) (ф(х, 1) !'ж,~',>, ~~С( —;,, п) )' — — '„' 1тС,( —;,) С( —;1, ц) Х ХР(йо, п, ьхо)+ — х~С~ ( — ) ~ !1(йо, п «хо!'~ 1 — «+ оо.

(8) Из формул (7) и (8) следует, что полученные асимптотические выражения для ф(х,1) имеют правильную нормировку при 1-«~со, (Проверка этого утверждения для случая 1-« — оо тривиальна, а в случае 1-«+со следует использовать формулу (39.12) .) Вспоминая, что С(я,хе) отлична от нуля только в малой окрестности точки Аеве, а С~(й) — в малой окрестности точки ле, 1зз мы видим, что при г-ь — со плотность функции распределения координат )ф(х, г) )з отлична от нуля в окрестности точки г = — 2)г~(, п = — ющ Прн (-ь+оо плотность (ф(х, () (з отлична от нуля внутри тонкого сферического слоя радиуса г = 2яой Угловое распределение вероятности можно получить ', проинтегрировав (8) по переменной г с весом гз. Ясно, что первые два слагаемых в (8) дают вклад в это распределение только при направлениях, близких к юо.

Угловое распределение по всем остальным направлениям пропорционально )((яв,п,юв)(з. Теперь мы легко можем представить, как происходит движение частицы в состоянии, описываемом функцией ф(х,(). Задолго до рассеяния (( -ь — оо) частица со скоростью 2йо ,~ !/ центр тйаюо ф /! ~ ~,чэ-гй, Рис. 14. приближается к рассеивающему центру, двигаясь по направлению юо. После рассеяния ((- +оо) частица удаляется от рассеивающего центра с той же скоростью, причем она может быть обнаружена в любой точке сферического слоя радиуса г = 2(езг с вероятностным распределением по углам, зависящем от С((с) и )(гго,п,юо).