Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 30

~ +т Мы учли, что !пп (х„, е-'ниф)=0, (6) так как вектор е '"'ф слабо стремится к нулю при 1-ь ~оо. Из физических соображений также легко понять, почему состояние е-'и'Х„не стремится асимптотнчески к некоторому состоянию свободного движения при е-'"'ф. Вектор е-'и'~„ описывает состояние частицы, локализованной около рассеивающего центра, а вектор е-'"'фпри любом феи М вЂ” состояние частицы, уходящей при 1- ~со на бесконечность. Ясно, что (1) несправедливо и для любого вектора теиЯ, где Я вЂ” подпространство, натянутое на собственные векторы у„ оператора Н. Будем называть подпространство Я подпространством связанных состояний.

Итак, мы видим, что по произвольному вектору ф, вообще говоря, нельзя построить вектор фэ, удовлетворяющий (1) при 1- + оо. Для того чтобы выяснить, возможно лн по построенному вектору ф = У ф найти ф+, нам потребуется изучить свойства волновых операторов. Обозначим через Я области значений операторов У . Покажем, что Я ! Я. Достаточно проверить, что векторы У ф ортогональны к собственным векторам у„для любого феи М. Из (6) получим (У, ) Кщ ( снс -ине ) = Игп е' "'(е щ"ф Х ) =О. с.+ ~ Следующее свойство мы приведем без доказательства. Оказывается, что Я~=Я =Я, Я®Я=М. (7> Доказательство этого утверждения является наиболее сложным в абстрактной теории рассеяния.

Подпространство Я, совпадающее с областями значений операторов У, часто называют подпространством состояний рассеяния. Покажем далее, что ~(ператоры У являются изометрическими. Действительно, из сильной сходимости оператора У(1) при 1 в ~оо и унитарности этого оператора следует, что (У ф, У ф)= 11т (УЯф, УЯф) =(ф, ф), Операторы и являются унитарными только при отсутствии собственных векторов дискретного спектра у оператора Н. В этом случае операторы и отображают М на М взаимно однозначно, и тогда наряду с (8) имеет место равенство и.и;=1. (9) Если Н имеет дискретный спектр и !реп Я, тогда найдутся такие векторы !р+ и !р, что ф=и.р..

Домножая это равенство на и" и учитывая (8), получим и;ф= р., и,и;ф=ф, ф~я. (10) (11) С другой стороны, для Хан Я и любого !р вне (и'х, р)=(х, и.р)=о, поэтому и'*х=о, и.и'+х=о, х~Я. Любой вектор !р ~ М можно представить в виде Ф = х+ Ф х ен Я, ф ен Я и и.и.р=ф=(1 р), где Р— проектор на подпространстве связанных состояний Я. Таким образом, в общем случае вместо (9) имеет место ра- венство и.и;=у — Р, (12) поэтому при наличии дискретного спектра операторы и не являются унитарными. Наконец, покажем, что для любой ограниченной функции 1(з), з ~ К справедливо равенство 1(н)и =и 1(но).

(13) Переходя к пределу при 1-э ~со в равенстве е!нта!н!е-!н4!р — а!В(Ю+~)е-!но(!+~)а!н!!!р у~Я получим а!и~и — идее!но и откуда сразу следует (13). т. е. операторы иа сохраняют норму вектора !р, и поэтому и;и.=1, (8) Вернемся к нестационарной задаче о рассеянии, постановка которой была сформулирована в начале параграфа. Если для некоторого потенциала 1~ существуют волновые операторы Уе и справедливо (7), то нестационарная задача о рассеянии имеет единственное решение. Вектор ф находится для произвольного ф еи Я по формуле Вектор ф ни Я, поэтому согласно (1О) ф =(7" ф или ф = 17' с7 ф , что можно переписать в виде ф, =5ф, где 5=и;и . Унитарность оператора рассеяния 5 следует из (8), (12) н оче- видных равенств Р13~ = О.

Действительно, (14) 5"5=Ги.иД =(7' () — Р)и =1 и аналогично Далее из (13) следует, что 5) (га о) = ) (га о) 5. Запишем (15) в импульсном представлении при 1(з) = з (15) 5(1с 1с') й' =йа5()с К') Мы видим, что ядро оператора 5 может быть записано в виде 5()с, 1с') = ' ' б (йа — й'), 1с = йе, (16) и соотношение (14) принимает вид ,а й, 2о 1/г, е, е') Ь(а — а') з, о = $ 5 (й, е, е') ф (й„е') аде', За Сравнивая зту формулу с (40.9), получаем, что функция 5(й,е, е'), введенная соотношением (16), совпадает с функцией 5(й,е,е') из 9 39.

Эта связь между 5-оператором нестационарной теории рассеяния и асимптотикой волновых функций стационарной задачи о рассеянии может быть установлена, ко- нечнО, и в рамках строгой теории. Существует простая связь между волновыми операторами 0 и введенными в 9 39 решениями уравнения Шредингера зр(Х, й). Напомним, что решение нестационарного уравнения Шредингера зр(»,1), построенное по функции зр(х,к), имеет вид з зР (, 1) = ( — ) ' ~ ф (й) зР (х, 1с) е-"ч (й.

Здесь мы обозначили функцию С(1с) через ф ((с). Мы знаем, что функция ф(х,с) при 1- — оо аснмптотически стремится к з -(х '~=(й)' 1 -(")"""-"ч"" Полагая в этих равенствах ! = О, получим з з зР(х) = ( — ) ~ зР(х, 1с) ф (1с) сЛс, ф (х) = ( — ) ~ е'""ср (1с) с(К Сравнивая эти формулы с ф = 0 ср, записанной в им. пульсном представлении ф (й) = ~ и (й, й') р (й') ж', получаем, что 0 ()с, й)= (з )з )е с "ф(х,)с)ссх. и' Можно показать также, что 0~ (К 1с') = „, ~ е-с""ф (х, — 1с') дх. 1 Связь операторов 0 с собственными функциями непрерыв.

ного спектра оператора Н становится особенно наглядной, если выписать (13) при 1'(з) = з, (8) и (12) в импульсном представлении Н0 (р, 1с) = йз0~ (р, (с) (17) (Н вЂ” оператор Шредингера в импульсном представлении), ~ Нь(Р, "~)0*(Р "з) "Р=б((сс — (сз) (18) ~0о(Р )с)0~(Р )с)сс(с+~Х',Хз(Р)Хз(Р)=б(Р— Р) (19) н" з заз. ззз Формула (17) показывает, что ядра операторов Уе, рассматриваемые как функции от р, есть собственные функции непрерывного спектра, соответствующие собственному значению йз.

Тогда (18) — условие «ортонормированности» собственных функций У (р, (ь), а (19) — условие полноты систем (>(„(р), и.(р, й) ). $44. Свойства коммутирующих операторов В этом параграфе мы рассмотрим свойства коммутирующих операторов, еще раз обсудим вопрос об одновременной измеримости наблюдаемых и введем важное для квантовой механики понятие полного набора коммутирующих наблюдаемых. Для начала рассмотрим два самосопряженных коммутирующих оператора А и В с чисто точечным спектром. Покажем, что такие операторы имеют общий полный набор собственных векторов. Пусть А>р>~>=>>, >р>о, >=1, 2, ..., Вф>л=р„ф>», 1=1, 2, ..., (1) По условию наборы векторов (>р<о) и (>)>>н) являются полными в пространстве состояний Я.

Обозначим через М собственное подпространство оператора А, соответствующее собственному значению Х„, через Р проектор на это подпространство. Аналогично введем М„' и Р„' для оператора В. Из условия АВ = ВА следует, что Р Р„ '= Р„'Р . Введем оператор Р „ = Р Р„'. Очевидно, что Р „ — оператор проектирования на подпространство М „ = — — М ()М'„. Если ч>еи,">в „, то он удовлетворяет обоим уравнениям (1). Далее, Я,.(. М„„, если индекс ти отличен от индекса т'и'. Пусть (>р~~>), й = 1, 2, ...— базис в подпространстве зв „. Для того чтобы доказать полноту системы векторов (ф<~>) й, и>, и = 1, 2, ... в М, достаточно проверить, что не существует вектора >р~,зв, >р чь О, ортогонального ко всем М,„„.

Из полноты набора собственных векторов оператора А следует, что для любого гр Ф О найдется номер т, для которого Р >р чь О. Аналогично найдется номер и такой, что Р,'Р>гФ О, т. е. Р >рФ О для любого >р ~ О и некоторых и> и п. Таким образом, мы показали, что (ф'~>) является базисом в Я, состоящим из общих собственных векторов операторов А и В. Справедливо и обратное утверждение. Если два оператора имеют общий полный набор собственных векторов, то они коммутируют. Действительно, пусть (Ч>>ь>) — общий полный набор 170 собственных векторов операторов А и В (2) В~р"~ =р„~ром, й=1, 2, Тогда АВ~рф"„'=Х р„~р<~„' и ВА4~~„=Х р„я~4~„~. Из полноты набора следует, что АВ~р = ВАу для любого ~р ~ Ж.

Доказанные утверждения справедливы для произвольного числа попарно коммутирующих самосопряженных операторов Аь ..., А„, ... с чисто точечным спектром и с некоторыми оговорками для операторов с непрерывным спектром. Имеет место также следующее утверждение. Если самосопряженные операторы Аь ..., А„попарно коммутируют, то существует такой самосопряженный оператор В, что все операторы А» 1= 1, 2, ..., и являются его функциями А; = г";(Я).

Для операторов с чисто точечным спектром построить такой оператор Я очень легко. Рассмотрим случай двух коммутирую. щих операторов А и В. Они имеют общую полную систему собственных векторов (~р'~~), которые удовлетворяют уравнениям (2). Определим оператор Л соотношениями я,ркп —, па,рй~ тл лы тм где г~~~ — вещественные различные числа. Очевидно, что самосопряженный оператор с простым чисто точечным спектром. Введем теперь вещественные функции Р(х) и 6(х), удовлетворяющие условиям Х =г'(г'"„'), р„=6(г<~~„).

Для значений х, не совпадающих с числами г~~~ вид функций Р(х) и 6(х) несуществен. Из определения функции от оператора сразу следует, что А = г"Я) и В = 6(В). Общая теорема для коммутирующих операторов Аь ..., А„с произвольным спектром была доказана фон Нейманом. Обсудим физические следствия сформулированных утверждений для коммутирующих операторов. Напомним, что соотношение неопределенностей Гейзенберга не накладывает никаких ограничений на дисперсии коммутирующих наблюдаемых и в этом смысле мы назвали их одновременно измеримыми.

)Ыы теперь можем уточнить понятие одновременной измеримости. Последнее утверждение показывает, что для измерения численных значений коммутирующих наблюдаемых достаточно измерить одну наблюдаемую В, т. е. принципиально возможно при единичном измерении узнать численные значения всех наблюдаемых Аь ..., А„. Из существования системы общих собственных векторов следует существование бесконечного множества состояний, в которых все эти наблюдаемые имеют определенные численные значения. Наконец, из результатов следующего параграфа будет следовать, что можно построить общую функцию 171 7» распределения численных значений одновременно измеримых наблюдаемых для любого состояния.