Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 29

ь Разным функциям С,(й) соответствует как различная форма, так и различное расположение волновых пакетов в конфигурационном пространстве в неноторый момент времени. Пусть, например, некоторая функция С,(й) задает волновой пакет, центр тяжести которого (х(() ),р движется вдоль оси хз, направленной по вектору ыч и проходящей через рассеивающий аког центр. тогда функции сз(й) = е гсз(й) будет соответствовать пакет, сме- 159 Вычислим сначала вероятность г'.

Выберем систему координат с началом в силовом центре и осью хз, направленной по вектору оэз. Для чистого состояния ф,(1) вероятность!<з) проще всего вычислить, используя вектор плотности потока вероят- ности 1)" (х, () =1(ф,т7ф, — ф,т7ф,), У~~~= ~ Е~(х, ()~ Ж. тогда Вычисляя = — ~ сйс ~ гЛс'(й,+)г;)С,(1с)С,(1с')е'(' "*)', Из Из получим Уы) = (, ~ гйс ~ Лс' ~ с(( (йз + й') С, ((с) С, ((с') п'(а'- ') ' Иа цз (, 1 Ж 1 сПс' И, + А,') С, ()с) С, ((с') б ((з" — Ал) = а —, ~ (й ~ (й С,(й)С,(й)б(й — й) Иа Из = —, ~Л ~ (йс,(й)С,(й)б(й — Ц. а' При вычислениях использовано равенство Ь(йз — й") = — (6(й — й')+ б(Ф+ )г')) (2) щенный на вектор щ в конфигурационном пространстве(е — это оператор г ма сдвига, записанный в импульсном представлении). Классическим аналогом состояния ф.(х,() (хотя и не вгшлне точным) можно считать состояние частицы, движущейся по прямолинейной траектории, проходящей через рассеи.

вающий центр. Состоянию ара(х, О тогда соответствует траектория, проходящая на расстоянии р от рассеивающего центра, равному нроекции вектора на на плоскость поперечного сечения пучка. В классической теории рассеяния расстояние р, на котором прошла бы частица от центра, если бы не было взаимодействия, называется прицельным параметром. и условие ззй сс.

Ао, которое позволяет заменить (йз+ йз)/2й иа 1. Второе слагаемое в формуле (2) вклада в интеграл не дает, так как в области интегрирования й ) О и й' ~ О. Для смешанного состояния Ме(1), очевидно, У= ~а,— „„',, ~ (й ~ (й'С,(Ю)С.Юб(й — й'). з а' и Вычислим теперь»>Ч. При вычислении мы должны использовать матрицу плотности М(1), описывающую состояние, которое задолго до рассеяния (1-> — со) асимптотически стремится к М0(1).

Оператор М(1) можно записать в виде М (1) = ~", а, Р, и>, где чистые состояния Ре и> определены волновыми функциями з (3) Плотность функции распределения координат в чистом состоянии Ре,» есть >ф,(х,()12 и для вероятности ЙЧы> обнаружить частицу при (- оо в элементе телесного угла Ып в состоянии Ре и> получим (4) >(>Ч = !1Гп >>и 1 Г >>г>>)>~(х,!) (. Мы знаем, что при Г-э со частица уходит на бесконечность, поэтому при подстановке (3) в (4) можно заменить >(>(х,к) ее асимптотическим выражением, тогда з г>)Чп>= В>п оп ~ г'»г ( — „) ) >()гС,((с)Х » аэ >2 Х (е»'"+) (lг, и, «>) — ) е з Функция ~ — ) ~ а)гС(к)е'"* >ьч является волновым пакетом /!ъзг 2п й' для свободной частицы и отлична от нуля только в той части конфигурационного пространства, где конечна вероятность обнаружить нерассеянную частицу пучка, т.

е. внутри узкого конуса, построенного около направления юм Для всех остальных направлений вклад дает только расходящаяся волна и для таких направлений Ю Шу '= Ы вЂ”,(Ш / (СФ>>>й» > "' "ч й/ . >Б> > + (2д)з о а Используя условие 2), можно заменить функцию ((А, п,е>) под знаком интеграла ее значением в точке й = йе, е> = е»> и вынести за знак интеграла. Далее интеграл ~ С,(к)е>"'-»ч сйг после и' интегрирования по угловым переменным вектора й становится >>,В зак. ам одномерным волновым пакетом и как функция от г при 1- оо он отличен от нуля только при больших положительных г.

Поэтому интегрирование по г в (5) можно распространить на всю вещественную ось. Тогда с(йнл = Иш — ", ( )' (йо, и, со ) (' Х +„(2я)з Ю Х ~ Ыг ~ аЧс ~ т(й'С,()с)С,(М')аце вохе '(м-х')'= н' и' =дна 1(яс, и, що) ~ — (, 1 Ь 1 с()с'С,((с) С,ж') б(й — й'). Наконец, для смешанного состояния М(~) о(й(=дп~~(йо, п, юо) ~'~~ а,— ), ~ Ж ~ сйс'С,(й)С,(1с')б(й — й') или ан=Лп(((й„п, юо) Г'К, откуда сразу получаем На =1~ (йо, п, юо) Р дп. (6) В заключение заметим, что мы получили формулу (6) для всех направлений и, за исключением и = сос.

Сечение рассеяния вперед не может быть определено формулой (!), так как вероятность обнаружить частицу при ~ -ь оо в телесном угле с(п, построенном около направления и = юо, не пропорциональна 1 (кроме того, мы вообще не можем отличить частицу, рассеянную вперед, от нерассеянной частицы).

Когда говорят о сечении рассеяния вперед, всегда подразумевают экстраполяцию на нулевой угол сечений рассеяния на малые углы. При таком понимании для сечения рассеяния вперед справедлива формула (6). Для многих задач удобной характеристикой рассеяния оказывается полное сечение, которое определяется формулой' а = 1 ! 1 (ло, и, юе) Р йъ. з1 5 43. Абстрактная теория рассеяния В этом параграфе мы будем строго придерживаться следующих обозначений. Оператор Шредингера для свободной частицы обозначается через Н„ оператор Шредингера частицы ' В классической механике полное сечение а = оо, если потенциал не является финитным. Особенностью квантовой механики является конечность сечения а для достаточно быстро убывающих потенциалов.

1бй в поле через Н Н=Н,+ ~', где ~1 — оператор потенциальной энергии. Любое решение не- стационарного уравнения Шредингера для частицы в поле обозначается через ф(1). Этот вектор однозначно определяется своим значением при 1 = О, которое мы обозначаем через ф, т. е. ф (1) = а-ш~ф (напомним, что е-'"' — оператор эволюции). Аналогично любое решение уравнения Шредингера для свободной частицы обозначается символом ф(1), а его значение при 1 = О через ф, ф (1) е-~вкф Различные решения ф(1) могут снабжаться дополнительными индексами.

Соответствующие векторам ф(1), ф, ф(1), ф волновые функции будут записываться как ф (х, 1), ф (х), ф (х, 1), ф(х) в координатном представлении и $(р,1), ф(р), ф(р,1), ф(р) в импульсном представлении. Наконец, собственные векторы оператора Н (если они существуют) будем обозначать через у., Нт, = Е.у, В 5 40 мы построили решение уравнения Шредингера ф (х, 1) = е-'"'ф (х), которое при 1- ~со асимптотически стремилось к некоторым решениям уравнения Шредингера для свободной частицы ф (х, 1)=е '"'ф (х), поэтому можно ожидать„ что для такого решения ф(1) справедливы равенства 11ш 1 е- 1иФф а- енпф '1 О (1? 1-Ф7 ) Физическую картину рассеяния можно представлять следующим образом.

Задолго до рассеяния частица свободно движется вдали от рассеивающего центра, затем она попадает в зону действия потенциала (происходит рассеяние) и, наконец, через достаточно большой промежуток времени движение частицы снова становится свободным. Поэтому естественной представляется следующая постановка нестационарной задачи о рассеянии: 1. По произвольному вектору ф из пространства состояний Я построить вектор ф такой, что (1) справедливо прн 1-ь — со.

2. По построенному вектору ф найти вектор ф+ ~М такой„ что (1) справедливо при 1 -ь +со. Вектор ф(1) = е-'"'ф описывает такое состояние частицы, которое в далеком прошлом совпадает с ф (1)= е-'"'ф и при +ос переходит вф (1) =е-'и"ф . Физика интересует связь между векторами ф и ф+. Поэтому к пунктам 1 и 2 постановки задачи можно добавить следующее. 3, Показать, что существует такой унитарный оператор Я„ что ф,=Зф.

Начнем с пункта 1. Поставим задачу несколько шире и посмотрим, возможно лн по произвольным векторам ф елЖ и ф+елМ построить такие векторы ф что (1) справедливо при а-ь — оо и 1-ь-+оо соответственно (разумеется, векторы ф построенные по ф и по ф+, не обязаны совпадать). Переписывая (1) с учетом унитарности оператора и-'"' са виде йш (ф аснсе-снпф !) О с-+вы мы видим, что поставленный вопрос сводится к существованию сильных пределов 1ст еснсе сн,с 0 (2) с-ь ело Операторы Уе, если они существуют, называются волновыми аператорамн. Если построен оператор У, то вектор ср = У ф удовлетворяет пункту 1 постановки задачи. Найдем простое достаточное условие существования волносвых операторов. Рассмотрим оператор ц(с) снс -сн,с свычислим его производную* сисис (Н Н„) и-снн се и 7е-си с ~и (О Очевидно, что У(0) = 1, поэтому сс (с) = с+ с 5 еснсс'е-снссс1 о Ц =1+1 ~ еснсУе-снсс(1, о (3) Зопрос о существовании операторов У мы свели к вопросу о сходимости интегралов (3) на верхнем пределе.

Достаточным условием сходимости (3) является существование интегралов 'а 'все-сносф 'а с(1 о (4) .для любого фыМ (мы учли унитарность оператора е'н'). На. конец, интегралы (4) сходятся на верхних пределах, если для ь Обратим внимание иа запись производной, которая учитывает неком. мутативиость Н и Нз. любого фыр !!(Уа-гннф!(=о( — ) а>9 (((~ос 1 (5) 1Г (~+в Посмотрим, для каких потенциалов выполняется (5). В координатном представлении мы имеем оценку в для волновой функции ф(х, Ф) =е '""ф(х) !ч (х,г)(( — 3 С 1!1 равномерно относительно х. Тогда !! Р -гнп„((з ~ ! (г(х) (х 1) !з (х ~ С ~ ! Р(х) !з ( аэ й' Мы видим, что условие (5) выполняется, если потенциал квадратично интегрируемая функция.

Разумеется, это условие не является необходимым. Класс потенциалов, для которых существуют (7а, шире, но существуют потенциалы, для которых нельзя построить волновые операторы. Важнейшим примером такого потенциала является кулоновский потенциал )г(г) = = а/г. Причиной отсутствия волновых операторов для кулоиовского потенциала является его слишком медленное убывание на бесконечности. Решения уравнения Шредингера для кулоновского потенциала не стремятся к решениям для свободной частицы при 1-ь ~ос (частица «чувствует» потенциал даже на бесконечности). В связи с этим н нестационарная, и стационарная постановки задачи о рассеянии в кулоновском поле требуют серьезной модификации. Асимптотический вид кулоновских функций ф(х,(с) отличен от (39.7).

Вернемся к рассмотрению потенциалов, для которых существуют волновые операторы 0 и обсудим пункт 2. Можно поставить такой вопрос: для любого ли вектора фен М найдутся векторы у+ и ф такие, что (1) справедливо при (-ь ~оп. Оказывается, что если у оператора Н существуют собственные векторы )(„, !) )(„(! = 1, то для них равенство (1) несправедливо ни при каких ф+ и 1р . Действительно, в этом случае легко можно сосчитать для произвольного <р~Я, ((~р!! = 1 » Эта оценка получается на основе метода стационарной фазы для з асимптотического вычисления интеграла ф (к, т) =~ — ~ Зт Ч(й)е 1 вй. г 1 ьт Г 1(кк-ьч) ч йя / а' Метод стационарной фазы можно применять, если ф (й) удовлетворяет определенным условяям гладкостя. Но множество гладких функцяй м1 плотно в ав, а операторы У(1) и У ограничены, поэтому достаточно доказать существование сильных пределов У(1) на мяожестве нХ пределы 1пп !)е '"'Մ— е '""ф()= !пп и1е 'е 'Մ— е 'и"ф3 с.+ ~ю с.++ 1пп 'Ъ~!!Х„1~+ !!ф!! — 2Кее ' "'(Х„, е ' "ф) = '1/2.