Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 28

На рис. 14 заштрихованы области, в которых велика вероятность обнаружить частицу при (-ь~оо. Крест-накрест заштрихованы области, в которых эта вероятность отлична от нуля и при отсутствии рассеивающего центра. Трн слагаемых в формуле (8) допускают следующее толкование. Интеграл по всему пространству от суммы первых двух слагаемых Ж'~ есть вероятность того, что частица пройдет мимо ' Мы не выписываем точных формул для углового распределения вероятности, так как оно существенно зависит от вида функции С(й) и поэтому не является удобной характеристикой процесса рассеяния (функцкя С(й), соответствующая конкретному эксперименту по рассеянию, никогда не из.

вестна). Подходящей характеристикой является сечение. Как мы увидим, сечение оказывается нечувствительным к виду С(й), важно только, чтобы эта функция была сосредоточена в малой окрестности точки йз. Фвзически это требование означает, что импульс налетающей частицы должен быть почти задан.

!54 К, + Юз=!. Мы видим, что решение уравнения Шредингера ф(х, с), построенное при помощи функции зр(хз(с), правильно описывает физическую картину рассеяния. Это оправдывает выбор асимптотнческого условия для функции ф(х,й). Отметим еще некоторые особенности решения ф(х, с). Нетрудно видеть, что при С-ь — оо эта функция имеет такую же асимптотику, как и решение уравнения Шредингера для свободной частицы оо(х, с) = ( — )' ~ С(1с) ес'"" мосЛс. (Здесь С(к) та же функция, что и в интеграле (1).) Действительно, расходящиеся волны ем'/г не дают вклада в асимптотику при 1-~ — оо, а коэффициенты при е-'о'/г в асимптотическом выражении для функций ес"" и зр(х, й) совпадают.

Покажем, что и при 1-~+со решение ф(х,1) аснмптотически стремится к некоторому решению уравнения Шредингера для свободной частицы. Учитывая, что при с'- +со сходящиеся волны е-е'!г не дают вклада в асимптотику, получим зР(х, с)=( — „) ~С(1с)ф(х, й)е сочсйсы ы — 1~,,) ~ е~сй ~пеС(й,в) ~, Я(й,п,е) — е 'о"= о 3 з = — ( — „) ~ й'сй ~с(~~ 0~' — Я(е, е',е)С(й, в)Ь(в' — п)Х о е я з е'о' Х вЂ” ', е '"*'= — ( — „)' ~ й'сй ~ сйо' —,",' С(К в')6(в' — п)Х о Яв Х вЂ” 'е-' =1',— )' ~ с з ~ С(1с)е""* еоас(с =ф(х, !). о 2н~ ю Здесь С(1с) =С(й, в) = ~ Я(й, е, в')С(й, е') ссв'.

(9) зз силового центра без рассеяния. Эта вероятность меньше единицы за счет второго слагаемого. Интеграл от третьего слагаемого )Рз есть вероятность рассеяния. Мы уже упоминали, что асимптотическое выражение (6) для ф(х,1) имеет правильную нормировку, поэтому Мы видим, что решение уравнения Шредингера тр(х, г) асимптотически стремится к решению ф(х, с) для свободной частицы при 1- оо. Функция С(к), определяющая конечное состояние свободного движения, получается из функции С()с), задающей начальное состояние, в результате действия оператора 5.

Унитарность оператора 5 обеспечивает правильную нормировку ф(х,1), так как вследствие унитарности ~ ~С(й) ~'бй=1. 5 41. Интегральное уравнение теории рассеяния Основу большинства подходов для построения решений ф(х,(с) и амплитуды рассеяния 1(я, п,со) составляет интегральное уравнение тр (х, 1с) = е'"" — — ~ Р (у) ьр (у, )с) с(у, (1) которое часто называют уравнением Липпмана — Швингера. Проверим, что решение этого уравнения удовлетворяет уравнению (39.2) и асимптотическому условию (39.7)". Действительно, используя формулы (Ь + яа) е'ьь = О, (Ь + 'лт) е'~(г = — 4пб (х), получим (А + йт) тР (х, 1с) = О + ~ б (х — у) (г (у) ф (у, й) с(у = )г (х) тР (х, 1с).

Асимптотическое условие проверим для случая финитного потенциала (1г(х)= О при г) а). Имеем ', --'.ьо ( '),,-~ ь ~ь|<,, ~* — ь1- ьь~ — ~.ь, — —.ь+оС-,~. ь „ь г!х вса1ь-т! ессаь-еоь~+ О с с Уст ь Поэтому для функции тр(х,я) получим тр(х, 1с) =е'"" — — — ~ е-'ьпт(г(у) ьр(у, 1с) с(у+ 0( —,) Сравнивая последнюю формулу с (39.7), мы видим, что решение интегрального уравнения имеет правильную асимптотику, * Можно, конечно, проверить и обратное утверждение. и, кроме того, получаем ! (й, и, в) = — — ~ е и"ху (х) хр (х, йы) Нх. 1 (2) Формула (2), в которой амплитуда рассеяния выражена через решение уравнения (1), часто оказывается полезной для приближенного нахождения 1(е, и, ы). Один из приближенных методов теории рассеяния основан на использовании ряда итераций уравнения (1) ф (х, к) = 2„$ "' (х, (г), (3) а-О где ем ! х-ь! хр!и(» 1,,) еих хрм+о(х й) ! 'т'(у)!р!ы(у й) 4п 1х — у! я' Ряд (3) называется борновским рядом, подстановка (3) в (2) дает борковский ряд для амплитуды рассеяния.

Борновский ряд для задачи рассеяния на потенциальном центре хорошо изучен. Известно, например, что он сходится при условии шах ~1У(у)1 — и'у ( 4п. а~ Известно также, что при этом условии на потенциал оператор Н не имеет дискретного спектра. Если дискретный спектр присутствует, то ряд (3) сходится не при всех А. В то же время при достаточно больших й ряд (3) сходится для весьма широкого класса потенциалов. Простейшее приближение для амплитуды рассеяния получится, если в (2) вместо !р(х,к) подставить ф!'>(х, к) =е'"" )е(й, и, е)= — — ~ е и"х'х'(х)ем'хдх.

! 4п )(е, п, е) — гз(й, и, е) =о(1) равномерно по п и е. Интегральное уравнение используется для математического изучения задачи о рассеянии. При подходящем выборе функционального пространства это уравнение может быть сведено к уравнению второго рода 157 Это приближение называется борновским приближением. Точ- ное утверждение состоит в том, что при больших й с вполне непрерывным оператором. Поэтому для уравнения (1) справедливы теоремы Фредгольма. Для широкого класса потенциалов показано, что соответствующее однородное уравнение может иметь решения лишь при мнимых значениях параметра я (й„= 1х„х„) О).

Буквально повторяя вычисления, приведенные в начале этого параграфа, легко убедиться, что решение ф„(х) однородного уравнения удовлетворяет уравнению Шредингера ( — Л+ У(х)] ф„(х) = — к'„ф„(х) и имеет асимптотику ф„(х)см1(п)е-'~'/г, где 1(п) — некоторая функция, определенная на единичной сфере. Это значит, что решения однородного уравнения являются собственными функциями дискретного спектра оператора Н. С помощью интегрального уравнения (1) была доказана полнота набора собственных функций (ф„(х), ф(х,'к)) оператора Н. 5 42.

Вывод формулы для сечения Основной характеристикой процесса рассеяния частицы на потенциальном центре является дифференциальное сечение. В согласии с общим определением сечения дифференциальное сечение па определяется формулой где г()Ч вЂ” вероятность обнаружить частицу после рассеяния (1- со) в элементе телесного угла пп, построенного около некоторого направления и; 1 — вероятность пересечения свободной частицей площадки единичной площади, ориентированной перпендикулярно движению частицы. Эта вероятность определяется в той точке, где находится рассеивающий центр. Обратим внимание на то, что ЙЧ есть характеристика частицы в поле рассеивающего центра, а ( †характеристи свободной частицы.

О состоянии в свободной частицы пучка известно довольно мало. Действительно, известно, что частица имеет импульс, приближенно равный йз = йово, известна дисперсия импульса (Лй)'„=(Лй,)'„+(Лйз)', +(Лй,)'„; причем для того чтобы опыты по рассеянию допускали простую интерпретацию, стремятся использовать пучки частиц с малой дисперсией импульса. О координатах частицы пучка известно обычно совсем мало. Но все же известно, что в некоторый момент времени (который можно принять за 1 = О) частица находится в макроскопической области, расположенной между ускорителем и мишенью; поперечные размеры этой области можно отождествить с диаметром пучка.

Заметим, что существование такой области накладывает согласно соотношению неопределенностей рейзен- берга ограничения на дисперсию импульса снизу. При выводе формулы для дифференциального сечения мы сделаем два предположения относительно малости корня из дисперсии импульса, который будем обозначать через сзй: 1) Л/г « йщ 2) 1)'(я, и, аз) — 1'()е', и, от') (« ~11(й, поз) (, если (иго — й'гв'(( < ЛЙ. В принципе этим требованиям всегда можно удовлетворить, если )(и, п,пт) — непрерывная функция от й = Ато (непрерывность функции 1 может быть доказана для широкого класса потенциалов).

Обычно на практике эти условия выполняются. Однако встречаются случаи, когда при малом изменении переменной й происходит сильное изменение функции 1(й, п,оз) (случай узкого резонанса). Величина п)1 в конечном счете определяется конструкцией ускорителя и практически не может быть сделана как угодно малой. Поэтому в некоторых экспериментах условие 2) может не выполняться. В этом случае нельзя применять полученную ниже формулу для сечения. Покажем, что при выполнении условий 1) и 2) дифференциальное сечение зависит от состояния налетающей частицы только через йо и справедлива формула Но=()'()го, п, ото) Гс(п. Наиболее общим состоянием для свободной частицы является смешанное, задаваемое матрицей плотности Мо((), которую мы представим в виде выпуклой комбинации чистых состояний М (1)= г а,Р „,, ~„а,=1.

Чистое состояние Р „, определяется волновой функцией ~р,(х,(), имеющей вид з <р,(х, г) = ( — ) ~ С, ((с) ецкх ") сйс. и Можно утверждать, что заметный вклад дают только такие чистые состояния, дисперсия импульса в которых не превосходит дисперсии импульса в состоянии Мо((). Поэтому мы будем считать, что все функции С,((с) отличны от нуля лишь в малой окрестности точки до= боота и диаметр этой окрестности не превосходит тзй. Мы не имеем никакой информации ни о конкретном виде функций' С,((с), ни о весах а, и не будем делать относительно них каких-либо предположений.