Крылов К.И., Прокопенко В.Т., Тарлыков В.А. Основы лазерной техники (1990), страница 2

Зто решение соответствует основному состоянию атома. Вероятность пребывания электрона в шаровом слое отезоо о оерааоляое»ооа между двумя сферами с радиусами г оотеоаоеаояоа еме к г + т(г оказывается прп этом рав- ной 4»тгттре бг, т. е, пропорциональной гта — '"". Вероятность нахождения электрона на различных расстояниях от ядра имеет максимум при г = 1/а, что соответствует первому боровскому радиусу г = 0,53.10 е см. Из (1.2) следует, что кроме состояния с наименьшим значением энергия возможны также состояния са значениями энергии Ет > Е,. Значению энергия Е, = — — уг = -е- Е, соответствует ете» 1 '= 26~ хг Г волновая функция фе = е — '.'т (2 — га), которая имеет максимум уже прн другом г, большем г . Таким же образом определяются энергия,Ее, Е», соответствующие различным возможным возбужденным' состояниям водородного атома.

Пря этом Ет = Ет/т'* где т = 1, 2, 3, Волновые функции трь принадлежащие энергиям Е,, сферически симметричны, т. е. являются функциями толька г. Состояния атомов, волновые функции которых сфернчески симметричны называются з-состояниями. Уравнение (1.2) имеет. однако, решение, не обладающее сферической симметрией. Так, решения, соответствующие функ цяям вида тр» = л/ (г); фт = р/ (г); т(Ь = з/ (г), определяют рсостоянпя.

Каждая из функций ф„, трт и тр, является решением для одного н того же значения энергии. Если некоторому значению энергии соответствует более чем одно независимое решение, та говорят, что имеет место вырождение. Таким образом, р-состояния трехкратно вырождены. Вырождение, по существу, заключается в том, что в этом случае имеет место совпадение трех энергетических уровней, она, как правило, связана с наличием у системы симметрии.

тйуществуют решения уравнения (1.2) при функциях тр, пропорционзльных х', хр, хз и т. д. Такие функции описывают бсостояння атома, пря этом имеет место пятикратное вырождение. Оказывается, что нижний энергетический уровень р-состояния аовцадает со вторым уровнем з-состояяия, значит, энергетический 8 уровень атома Р„четырехкратно вырождеа.

Нижннй энергетпческпй уровень д-состояния совпадает со вторым уровнем рсостояния, что нрнводит к соответствующему вырождению уровня Е, и т. д. Однако зто свойство вырождения присуще только кулоновскому потенциалу. Для всякого другого потенциала (/ (г) ~ и р-расстояния имеют различные энергии. Диаграмма энергетиче. ских уровней атома водорода приведена на рнс. 1.2, Более сложные атомы различных химических элементов обладают также вполне определенными энергетическими уровнями, н нх состояния могут быть представлены в виде соответствующих энергетических диаграмм.

Атом с порядковым номером з в таблице Менделеева состоит нз ядра с положительным зарядом ге„окруженного электронами. Если пренебречь взаимодействием между электронамн, то можно положить, что каждый электрон движется независимо от других в потенциальном поле (/ = ге'/г, т. е. в отличие от уравнения Ш1тедннгера (1.2) следует теперь заменить (/ = — е'/г на (/ = ге /г. Очевидно, что прн этом получим те же энергетические уровни, отличающиеся оч уровней водородного атома только масштабом, Таким образом, энергетические уровни отдельного электрона для всех атомов, если не принимать во внимание масштаб, прн нашем предположении должны соответствовать рнс. 1.2.

Чтобь1 найти уровни всего атома в целом, распределим все я принадлежащих ему электронов по энергетическим уровням, однако при этом следует иметь в виду, что известный в квантовой механике принцип исключения Паули требует, ' чтобы на каждом уровне находилось не более двух электронов (отличающихся антнпараллельнымн спинами). Прн этом, если уровень имеет параметр вырождения и, т. е. в действительности представляет собою совпадение а уровнея, то на таком уровне могут находиться 2д электронов. Фактически,.

в отличие от нашего предположения, для всех атомов, кроме водородного, выражение для потенциала, в котором находится рассматриваемый электрон, будет отличаться от кулоновского потенциала (/ = — зе'/г, так как прн этом будет сказываться наличие других электронов. На электр~и, находящийся на высшем энергетическом уровне, будут действовать электроны, находящиеся ближе к ядру. Их отрицательное зарядное облако до некоторой степени будет зкраннровать поле ядра, поэтому электрон на высшем энергетическом уровне будет находиться не точно в кулоновом поле. В результате этого, если в атоме водорода энергетические уровня, например 2з и 2р илн Зр п Зд, совладали, то теперь онн разделяются.

ряс. КЗ. Эяергетяческяе Разделенпе уровней увеличивается по уровни зтеыа ззязроаз д Рнс. 1.3, Завнснмость снам веанмодеястввв двух атомов, оаъеднненпмх в моаевуау (а), н нх потенанааьнод енертвн (сС) от раануса г мере перехода к более тяжелым элементам, т. е. с возрастанием порядкового номера з. Разделение уровней всегда таково, что з уровень оказывается нижним, а уровни р и с( располагаются выше.

Таким образом, для каждого атома будем иметь свою диаграмму энергетических состояний. Два или несколько атомов могут образовать молекулу, т. е. систему, выступающую как единое целое, в которой атомы связаны между собой и расположены в определенном порядке, Структура молекулы, т.

е. строго определенное расположение атомов в пространстве, является следствием действия между атомами сил притяжения и отталкивания. Химическая связь осуществляется с участием внешних электронов атомов. Так, два атома водорода могут образовать молекулу водорода Нс. При сближении двух водородных атомов с больпшх расстояний оии вначале притягиваются, если спины их электронов антннараллельны.

Энергия взаимодействия имеет минимум на расстоянии порядка боровского радиуса. Для меньших расстояний притяжение переходят в отталкивание. Минимум Е (г) определяет равновесное расстояние н энергию связи илн энергию диссопнапий молекулы водорода (рис. ! .3). Атомы в молекуле не неподвижны, они колеблются около равновесного положения г,. Амплитуда их колебания тем больше, чем выше температура. Молекула в целом также вращается.

Колебательная и вращательная энергии согласно законам квантовой механики могут принимать только дискретные значения, т. е, колебательная энергия Е„и вращательная энергия Е, квантозаны. Расстояния между энергетическими урозиямн, соответствующие колебательной энергии, значительно меньше, чем расстояния между уровнями электронной энергии.

Различие между энергиями ротапионных квантовых состояний еще меиыпе. В двухатомиых молекулах энергия колебательных «ванто. вых состояний определяется из соотношения Е, = (и+ 1/2) )ссв, где о = О, 1,2, ... — колебательные квантовые числа; св — частота колебаний атома. В общем случае для линейной молекулы, т. е.

такой, в которой все ядра расположены на одной прямой, состоящей из Ас атомов (рнс. 1.4, а), имеется г ЗЛ' — Ь колебательных степеяей 3 свободы. Каждой степени свободы соответствуют свои значения Е„со своей частотой нормальных колебаний. Если молекула нелинейна, число степеней свободы для нее г = Зг»' — 6. Так, линейная трехатомная молекула СО, имеет четыре колебательные степени свободы, но двум степеням свободы соответствуют одинаковые частоты иормалъкых колебаний (дважды вырожденные колебании), Для четырехатомной нелинейной молекулы аммиака (рис. 1.4, б), число степеней свободы г = 6 и т. д. В линейных молекулах возможны ротационные состояния с энергией Еа = У ('~+ 1) й е» э где 1 — момент инерции молекул; » = О, 1, 2, ...

— ротационное квантовое число. Различным значениям,» соответствуют различ- ; ные значения момента количества движения. Ротационное кван- товое число может изменяться только на Ь.» = -~1. Для нелинейных миогоатомных молекул схема вращательных уровней энергии усложняется тем более, чем менее симметрична молекула.

В квантовой электронике обычно мы имеем дело не с одним атомом, а с весьма больщим их числом, представляющим собою некоторый ансамбль частиц Достаточно вспомнить, что в одном кубическом сантиметре газа при нормальных условиях, т. е, при температуре 1 = 0 'С и давлении, равном 133,3 Па (одной атмо- сфере), находятся 2,7 10" см ' атомов (число Лоп»мидта), а в твер- дом теле их приблизительно 10а' см ', Частицы, входящие в состав аясамбля, непрерывно взаимодей- ствуют между собой, что приводит к вполне определенному рас- пределению их по энергиям. Распределение частиц по энергиям при термодинамическом равновесии подчиняется закону Больц- мана, согласно которому вероятность пребывания атома в состоя- нии» с энергией Е„т.

е. вероятность нахождения его на каком- либо энергетическом уровне 1, равна в, Р» = Се где С вЂ” константа; Т вЂ” абсолютная температура; й — постоян- ная Вольцмана, А = 1,38.10 еа Дж/'С. »»аа. »А. Схема молеаулм» а — лолеяооа Сое» о — аеллаеааоа мй, и Таким образом, нз общего числа частиц аксамбли Юв на уровне с на- ходятся Еп Отношение числа частиц, пребывающих в состоянии лс, с энергией Е к числу частиц с энергией Е„ будет Ряс.