Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 15

Таким образом, в уравнении (2) лаА" малым можно считать лишь член —. При малых г (когда А 1~а(((+ 1)Ъ доминирующим в правой стороне (2) становится ть ьб )'1(1+1) имеем Я' ' ' ' ', А ф г, откуда находим приблиг (ьаА" йьа женное выражение — — - —, поэтому лучшее прибли- А ага' жение для 5 получится, если учесть этот член, подставив в (2) это приближенное равенство (прн больших г такая по- правка несущественна).

Таким образом, находим: 8= ~ $/ 2(ь(Š— ~/(г)1 —, 'а~-ь(т, сола! ~/2Р(я — и(т)1 —"" 1 'ь) 3, Представим оператор Гамильтона в следующим виде: йа((1+1) - да д г д; Й = Йе+; — —; —, где Йа = — — — ( та — ~+- (I(т). 2И та 2зта дг (, дг~ Тогда минимальные значения энергии и соогветствующие им собственные волновые функнии связаны соотношениями ам 1, 1, йьа ((+1) (!+2)1, й 5) ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ Последнее выражение представим в виде оно (,~ ~ .

Еыг(т+ 1)1 Е) 1= ) (о+1(Но+ о„гв ~ейч-Фт+ ( йз (1+ 1) + ) „гз Жьп)ычпт. Сравним первый член в этом выражении с Е| ". Г!оскольку (Т соответствует минимальному собственному значению оператора О,+ †. .. , то )(т ( (( -(- 1) 'Ф~о (Е)о+йн- —,; (Ф~+ '( > .,* " ЛЕ1(Г+1) " + йт Г(!+1) (, йо ((+ 1) Что касается интеграла ( —,— ф~ ° Е)ьо,с(т, то он всегда больше нуля. Следовательно, Е~ '(Е~ ~~ т. е. вышеприведенное утверждение доказано. 4.

р,+р =Р= — Ирн, $,+Уз=.Е==(ИР)+(гр), причем Р = — (Лог. Н ~аг' 5. Потенциальная энергия (l(г)= —. 2 Радиальная часть г( волновой функции удовлетворяет уравнению Ло ц — 'Я'; (--' —,",—" " — '"+" (и=О. 'г ' (л) Ло Подставляя сюда у =.гсг и вводя обозначения имеем: у" + ((ое — Азг', ) у = О. Учитывая асимптотическое поведение у при г — + О и при г †« со, решение для у ищем в виде — — ы у = г'+'е з п(г). ответ14 н Решения Подставляя (2) в (1), получаем уравнение, определяющее функцию а(г): а" + 2 ~+ — Хг) и' — (2). (/+ а/ ) — !Р) а = — О. (3) Посредством введения новой независимой переменной 1 = 1га уравнение (3) сводится к дифференциальному уравнению следующего типа: где И Е 2>.

йа " Решение этого уравнения есть вырожденная гипергеометрическая функция и = — Е ( — (/+ —, — а), 1+ "/,,; ч/. Требование убывания /с прн г-ьсо дает; и, следоват.ельне, уровни энергии равны Е„, =- Ьы(1+2и„+з/,), а волновые функции 6. Волновые функции Ф чань(х У г)=-2»,(х)та,(У)9,(а)* где Соответствующие им уровни энергии 31 Еааю=-бич(п1+а +па+ 2) (см.

задачу 5 а 1). 133 цеитвлльно-с77ммвтгичное поле Связь между о7,771 и Ф „„„, для 77„=0, 1=1 имеет вид 1 ')07» = г.-(ф»о + 1'!'по) )'Т т010 ~00»' 1 070», -7 =--.=(7)7»07 -- (Ф0»0). 1'2 Лл =-- (и + ! ) (д + 2), где и=-2лг 4-1. 8. Для Не» где Г1 Г„= — ),~ —.; Й = Г0.

2И<» ' Д О7 » р(г) — 4 !+ е й = 3,73ге. 9. Уравнение для радиальной функции имеет вид — -.,-— ~'- — ~~+ — '-, 11+(и(г)--Е) К=О, 170 1 7( 7 йРЛ 170 1(1+1) 2(» 70 7(г 'т»те 1 2,» гз Мямз М где Р— приведенная масса р =- М " д( = 2 ° поскольку Мя М„= М. Полагая 1=-О и й =.—, находим 2 (7) г 0» — лз + — *, ~ Е+ Ле " 1 у = О. Произведя замену переме7177ых 134 Ответы и Решения получим: где с == —,Аа; з а~ а. И УР =-- —, Епе) О. йь Общее решение этого уравнения т = ВД,(с1)+ В Л л(с(). При г -+ со ($ = О) волновая функция стационарного состояния должна обрагцаться в нуль, так что Вз = О, и, следовательно, Й= — Ул(се "').

Чтобы В было конечным при г = О, должно быть Ул(с) =- О. Это уравнение дает связь между а и А. При этом для получения величин а и А, относяц!ихся к основному состоянию, надо, чтобы с было первым корнем бесселевой функции (радиальная волновая функция не должна иметь узлов). а 1Ош )г с А Мзв 1 0,45 3,1 100 2 0,91 3,7 36 4,4 2,02 5,1 14 1О. Среднее значение энергии Е в состоянии, описываемом волновой функцией ф(г), дается следующим выражением: Е =.

— ~ (Уф)а Фт+ ~ Цеа дт. йя Согласно вариационному принципу, величина Е принимает значение энергии основного состояния, если ф — точная функция основного состояния. Если же в качестве ф взять определенные функции, зависящие от одного нли нескольких 1ЗЬ цвнтвлчьио синмвтгнчиов поле параметров а, р, ..., то энергия Е будет функцией этих параметров Е (я, р, ...) и наилучшее приблюкение к энергии и ф-функции основного состояния будет достигнуто для значений а = ае, 'р =-'ре, ..., удовлетворяющих условиям При этом величина Е(а, рю ...) всегда превышает энергию основного состояния и теч ближе к ней, чем шире н пеле- сообразнее выбран класс допустимых функций.

1 В нашем случае ф==)т(г), где тс(г)=севе. Из усло"г' 4в вия нормировки следует се=-- —, так что 2аа ' аФ Э Е (а) =- ге — ~ ~ — ~ е " ге А. — сеЛ ~ е " " ге г1г =- 2и .1 ~2а~ о о =2— 12'-) — А ( — 1) . Находим минимум Е(а): ЛЕ (я) Ьзя ЗЛяа = — — — — =О. Хд 4Р е (а+1)! Откуда ( о+ )' !йв = — 22 й; ав.-1,34. йа = — ° о.— Величина энергии при этом значении параметра Е.— — 2,14 Млв. 'Точное решение этой задачи приводит для указанных величин Л и а к значению Е= — 2,2 Мэв (ср. предыдущую задачу).

11. Уравнение для радиальной части волновой функции при гч а имеет вид (1) отвкты и гашения где при г = а, «т = О. Введем вместо Й новую искомую функцию у(г) по формуле к (㫠— = й(г). 3Гг- Подставляя в уравнение (1), мы получим для у(г) уравнение Х" ++('+( '- (— ~,я' «~Х=-О решением которого являются функции Бесселя полуцелого порядка: Х(г) =4~я*,(/ ) Ул9 Значения энергии Е= — — стационарныл состояний опре2н делястся из условия обращения в нуль функции Бесселя при г=а 4 .л(йа)=-0, а с — из условия нормировки. Наиболее просто определи~ь уровни энергии для частицы с моментом 1=-- О.

В этом случае Хд(Ъ) ==- 1à — ашЪ. Г 2 и энергия дя паяя "- =К„- ая- 12. Задача сводится к решению одномерной задачи с по тспциалом ~ — ('с 0(г(а, У(г)=-~ О г)а, со гс О. 5 б) цеитглльно-спмметгичное поле Полагая в задаче 4 $ 1 С', = со, С' =- Уе, получаем уравнение, определяющее уровни энергии в дискретнои спектре Фи=пи — ашап, й=- йд 1' 2вЕ )г2М/о Уровни энергии легко найти с помощью графического построения (см. рис. 24). Глубина яиы, при которой появляется первый дискретный уровень, а равна ::айа ятиа 13.

При «закруглении» краев ямы все уровни сместятся вверх, т. е. ЬЕ > О. Состояниям с большими(соответствуют большие смещения уровней, Л так как частицы, находящиеся в состоянии с большими моментами количества движения, проводят относительно ббльшую долю времени вблизи края ямы. 14. Радиальная волновая функция удовлетворяет уравнению Ю Х" + Ф-( — и) Х = О. кфир 5 Рпс.

24. В области 1, где У =.- О, решение, обращающееся в нуль при г =- О 2РЕ у=Авпйг, ма=— йх В области И (~l =-С'е) общее решение имеет вил х1х-и), -мш-га х 2П(6е — Е) ла Коэффициенты В, и В определяются из условия непрерывности у и у' на границе областей 1 и 11: А вп йг, = В++ В, Алсоз/и.г =х(В+ — В ). ответы и Решения Откуда А/.

з В, =- — (5(п ((г, + — соз Аг(), В = — мп пг — — соз (гг,) . Решение в области Ш, где снова с( == 0 ВЭ (г -г ) — (й О'-$' 1 Условия непрерывности иа границе областей П и Ш дают; В+а" ('" ма+В е "(" н(==С„+-С, а(В,Е (" гп — В е (' О)=--И(СЯ вЂ” С ). Отсюда находим С = — В ! — — е("' и(+ — В 1+ — е Выразим С и С через А с помощью (1): 1 — —" 1 + (а' — 2 (г,— гл+ (+в (гг С т ='= — А зп! Йг((1 + — ) е ' 1 1--— (л — ег(г;га и (т— (л + -- с(гг 1(г, Таким образом, если величина в фигурной скобке не слишком мала, коэффициенты Сэ и С значительно превышают А, т. е, волновая функция заметно отлична от нуля только Выражения (1) и (2) определяют вид стационарной волновой функции частицы.

Поведение волновой функции существенно зависит от энергии частицы. Рассмогрим зависимость Сэ и С от энергии. Будем предполагать, что величина х(г. — г,) >~1. Тогда всеми членами, содержащими множитель е ""' п(, можно пренебречь и С+, 4 5(п((«((1+ — ~е (. ~л 1+ — сц(1г,~, С ==С,.

Й( )З9 ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ в области )!! (Рнс. 25, а). При некоторых значениях энергии. когда выражение в фигурной скобке (2) мало, С+ и С могут принять аномально малые значения. Такие энергии Рпс. 25. лежат вблизи значений Е„. Определяемых из трансцендентного уравнения 1+ т!т - с))! ф — ',— г, = О Г Ея /2РЕЕ уо — Ез а' аз и носящих название квазистационарных уровней.