Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 17

6. ф,я я (х. У, г) =- с,РД / СР, ВС"- фВ2 — (я я .Р,в) е „* ~ .Ж. е,Жв/у =- е отвзтн н Решкния 6. м +и~(2л+!'х !+1)+пепл+пмв(з+ lа) где и= — (и=О, 1, 2, . есрд 2рс У=О,1,2 т=-О, 1, -+-2, 7. х(г)=~ — — + — )соз г+ /И д х1 1!но ду 2) !6 д у (Г) =- ~ — — — — — ) з1п ма+ р ду 2) !Б д х! з!п м!+ ~ — — — + — ), ИО3 ду 2 соз на+ ( — — — — + —,), д ут ~ив дх 2)' Обозначим через 7 н р величины есрд 2РЕ а Т= ° 2сй ' ' йа В уравнение, определяющее радиальную функцию тт'(р), )св+ — !г'+ ! р — — )зре — 2ри — — 1 тс == О Р ра) введем новую независимую переменку!о с=ура, тогла И" +Л'+( — — '+) — "~) )2= — О, 4 42) где 1=в е 2 еН Здесь и= — (удвоенная частота прецессии Лармора).

ис 6. Уравнение Шредингера в цилиндрических координатах р, ф, х имеет вид да ! дьф Фф 1 дф 1 даф! Рев дф азудз 2р.! даз дрз+ р др рз двзяи 2рс дв арса = Еф. Решение ищем в форме ф(р, ср, х)=-=Й(р)е е'"'т. '$Г2п ф 61 ДВИ>КЩ>ИЕ '>АСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛИ 149 Искомая функция при 1-+се ведет себя как е !>з, а при малых 1 пропорциональна 1"н1>з. Решеиие диффереициального уравнения (1) ищем в виде )р е-От1! 'и 1!а>е !1). ет5) находится нз уравнения 1 а-+О+~ ~ — 1) '+( — )т),+') =-, решение которого представляет вырожденную гипергеомет- рическую функцию ( ( 2 )' ~ >+ Для того чтобы волновая функция была конечна, величина )т !+! 2 должна равняться целому неотрицательному числу п. Таким образом, уровни энергии определяются выражением е,яе г )н>! т 11 Г) =- 1> — ~и + + — + —,) + — '. рс ~ 2 2 2) 2И 9.

В цилиндрических координатах У ==.О, еб>ес у, =- —,' 1Ф, а, Р. 1О. Уравнение для радиальной волновой функции )с подстановкой и = )> р й приводится к виду и" + ~ — '- Š— й„— — -1 т + —, рз) ~ и ==- О. "21 1> 11>а " рз) 2йс 1 при этом е>з — — — зал>еияется на и>з в). Выра>кение 1'звэ!Р) 2ррз(т+2лс Р ) ") Эта замена аиалогачпа замене 1(1+!) л (1+!(з)з и может бы>ь обоснована способом, указанным прн решепнн задачи 2 б 5. э 61 движение частицы в магнитном лоле 151 Здесь функция е является решением уравнения й дт от дт Тогда для спинозой функции 1 11 получаем уравнение Йз) й — ( 1) = — ро(еЯ)( 1). 16.

Поскольку Я~ = ~я„=О, руа? = 4Ь'(1), имеем: . д, — рорлу (г) з1 'д1= два й — -=-р, руо (г)з . дг Решения этих уравнений имеют вид Ф Ф 1" Ядмм а, = с,е о — '"' 1жм~ и л о аз=рве Постоянные с, и с, находим из начальных условий: с, =-е — '"сов 6, с =-е" з1по. Из вида функции з, из следует, что вероятность той или иной ориентации спина на ось г не меняется со временем. Среднее значение проекции спина на ось х определяется выражением з == — з1п23.

соя ~ — ~,Рд'(Г) Ф вЂ” 2э ) 1~ . ~ 2ро 2 6 о и аналогично этому 2 о Направление, вдоль которого проекция спина имеет значение -+ '/я, характеризуется полярными координатами 6 = 2о, о Ф = 2 ~а — — ~ Ю (1) да). Таким образом, это направление ко Ь о 152 огввты и гашения описывает с течением времени коническую поверхность. При постоянной напряженности поля прямая, евдоль которой направлен спин», равномерно вращается вокруг направления 2кеСГН магнитного поля с частотой й 16. Состояние с произвольной поляризацией падающего пучка всегда может быть представлено как суперпозиция /11 двух состояний.

в одном из которых (б) спин направлен /01 вдоль оси з, а в другом (1) в противоположном направлении. Рассмотрим сначала случай, когда спины нейтронов в падающем пучке направлены по оси л. Тогда падающая, отраженная и преломлшшая волны будут иметь вид А ( ) ага' В( ) е'а', С( ) ьна". Величины и, й,. йе связаны с полной энергией Е и магнитным моментом рв нейтрона соотношениями: р йайз й'д', й'а,' й = —, — ==-Е, — =Е, — =-Е-+ ребаб' ° 6 ' 2И * 2» ' 2» Из условия непрерывности на плоскости раздела (х = 0) волновой функции и ее производной по х следует: йу=йгв=»зв йг=йы="йы А+В =С, й А-1-й„В=й С.

Иа этих соотношений вытекает, что й,. = — Й„, т. е. угол падения е равен углу отражения р,. Положим для простоты кз —— О. Решая уравнения, находим: (А) Л»+аз» (А) Л»+/гз. ' 2и й . = и. ~ г 1 + р — реЯ' . Таким образом, коэффициент отражения гс равен З 6) движвник частицы в магнитном полк 153 Если спины нейтронов ориентированы в -противоположном оси е направлении, то в этом случае 722и=)2и ~/ 1 2 2 1'о--'~ 2и Ь а в остальном результаты будут те же. Так как ре для нейтрона отрицательно, то угол преломления 1222 ~ 21 ) рз1 (см. рис. 27). В случае произвольной ориентации спина нейтронов волновая функция в области х ) 0 будет иметь вид Се~1) е "" "+Се~1) е ', 1'иг.

27 где Се и С„ †коэффициен разложения начального спинового состояния Я~ 1т по состояниям ~ ) и ( ). '1 о! (,17 х Простая оценка показывает, что даже прн ДЮ 10" заметное отражение будет иметь место только для очень медленных (тепловых) нейтронов (д 1А) и при угле падения 1Е, отличающемся от — на доли градуса.

2 17. Уравнение Шредингера для спинозой функции в л-представлении 1 11 имеет внд 122) д~ (ез) 1 (сРем+ 1ж — Ж' ) (22) (здесь в — магнитный момент частицы). Введем обоаначения еУ27созб=а, — еЮз1пб=.б. Ь В новых обозначениях уравнения, определяющие компоненты е, и ез, примут форму ЛЕ1 -„— =- )ае + 1бе-'"1е, -,Ц вЂ” 1 "2 ~~ее — =--. Ве1Ч'1е — 1аз . Ее '' 1 2' 154 ответы и Решения Решение этой системы уравнений: лг — — Ае»г г+ Ве'Р:г, где р, =-. 1/ — +а'+ !»а+ма -- —,, г 4 2' г г <ь р,— ----- у --+а +Ь'-+с»а — - —, У 4 2' Величины А и В опзеделяются из начальных условий и условия нормировки [з [а+ [а [г= !.

Проделав несложные вычисления, получаем для вероятности перехода следующие значения: »! 11 »1пга . ГГ г 'л Р—, — —, [2 ' 2) 1+аз — 2асога [2 а[ па — в (1 — 2д соа О+ 41») '~, где д есть отношение частоты ларморовской прецессии к частоте е» вращающегося магнитного поля 2нди егй Ь» (» Величина а положительна, если магнитное поле вращается в напзавлении прецессии, и отрицательна, если вращение происходит в обзатиом направлении. у' г+,г Если угол О мал, т. е. " ~ 1, то вероятность сть'» перехода приближенно равна Р[ —,, — — ) =, —,з!пг ~-; »г [(1 — -д)г+дйг[" ~. (2 2) (1--Чр-г Ч!» ! 2 Из этой формулы следует, что при резонансном соотношении»» =а»е, т. е. пРи»1=-+1 веРонтность пеРеоРиентации магннпюго момента относительно магнитного поля„ 1 1 равная Р ~ —, — —,) яьг —, О, может оказаться близкой и) 2 к единице при некотором значении 1.

Если же в рассматриваемом случае изменить направление вращения магнитного поля (или изменить знак у Яь"»1, то й б) движение частицы в магнитном полк 155 для вероятности перехода получим величину т1 1т аа ., Р~ —, — — ) =- — зп.зыт, 12' 2) 4 значительно меньшую единицы. На основании такого резкого качественного различия можно определить знак магнитного момента частицы ий ра у(1) =- — — 1" + — 1+у 18. а) х(1) = — 1+х, л(1) =- — 1еа, + — '1+ л. б) л(1) =-(л)о+2ге(аа' — рР"), 2 у(1) =-(у).— — "1(-,'-- ~а). 2ж х(г) = — (х)„+ — '1, Ф)с=(~л)е+ 4щв1'(1 (""* А~')а) + р,а ~ (с~~) от' Нздз (ау)з (лу)з ) и .~4 [1 (юя*я тая*)21+ ) ~ В) Дт, (пх)с =- (ох)з+ Замечание.

Рассмотрим, например, совокупность частиц, у которых проекция спина на ось г при 1==0 с достоверностью имеет значение +1/2, т. е. я=.-1, 3 =-О. Как легко видеть нз полученных результатов, если на пути таких частиц, движугцихся в неоднородном магнитном поле, поставить экран. то на нем этими частицами будет образовано два пятна. г-координаты этих пятен будут одинаковы, а у-е координаты противоположны по знаку. 19. Направление магнитного поля будем характеризовать полярными углами Й, о.

Углы й и о являются функциями времени. Оператор Гамильтона для нейтральной частицы представим в виде тт = — РЛ (.У~ Я!и 9 созе+ у з!п 0 Б1п 1> + lа соз 11); 1бб Отйеты и Решения здесь Я~ — абсошотное вначение напряженности магнитного поля. Обозначим через .(( оператор момента в направлении магнитного поля 2( = У яп б соз <р+.7д яп б я п ~+ ./, соз б и авелем функции 6,я(1), которые явля(отея собственными функциями оператора (ы т. е. .У(ф„, (() — (мо(„, Я. Вудом искать решение уравнения Шредингера дб (б —, =Й~ де в виде ф = „л,' а„, (1) ф„, ((). Как известно (см.

задачу 19 9 4), — Ъà Р— (,Г О ~(О( обя(1) =- е е и оо„ гле 41о( удовлетворяет соотношению Геуо = т',Чи'. ",(о( е(о> Вычислим сперва фткр. Воспользовавшись соотношениями е и 1,е и =-,),созб — У з(пб, (1 о" -ЕУ о .( ФУ= — Ф ((+т)У вЂ” т+1) 6О,",' (+ +2 ) (1+ + )(( ) о'+о (РФ = —, 3/'(1+ т) У вЂ” т+ 1) )(„>,— (о> — 2 Ф О+ т+ 1) 0 — т) Ф2-( ы имеем: 6,„(1) = ( — йол( соз б) 6 (1) + + 2 1' У+т(+1)0 т)((оз(пб — б)ф„,ы(1)+ 1 + 2 т('г0+ и) (Г' — т+ 1) (юе з(п б+ б) )м, (1). Ф 7) 157 АТОМ Подставляя значение ф„,(1) в выражение айХ1ф (т)п (1)+а (ОФгчИ)) = — АХ и Яф (Г), получаем систему уравнений, определяющих изменение коэффициентов а во времени: Й вЂ”,+шрУ6'а = — тйрсовйа + лаю + — й (7 Мп й + Н) )/ (г+ т) (/ — гл+ 1) а, + 1 + — Ь(ЧМпй — Ф) уг(/ — лс)(7+т+1)а 1 Если 9<Ст Р вл ф (( нсгл й т.

е. угловая скорость изменения направления магнитного поля много меньше частоты прецессии, то в приведенной системе уравнений можно пренебречь правой частью и тогда Таким образом„ в этом случае вероятности различных зна- чений проекции момента на изменяющееся во времени на- правление магнитного поля остаются постоянными. $7. АТОМ 1. Из написанного неравенства получаем; ~ ~ 7 ф ~з й+ 2 ~ (7 ~ ф ~з Ч г) с7 с+ Р ~ (Ч г)з ~ ф )е Ит ~ О. Производя во втором члене интегрирование по частям и замечая, что (7г)е=1, а Ьг= —, 2 г' имеем: ~ 17ф1гл ~ ~ ~ф~а 1, ~~ ~ ~ ~~~~а,1 Левая часть неравенства представляет среднее значение ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ оператора Гамильтона ) Й=- — й — — в состояниио.

Нижнее 1 2 2 г го значение энергии †-- достигается в состоянии с волновой 2 функцией фо, удовлетворяющей уравнению пепвого порядка т фо+ ~ Фо 2 г = ~ откуда следует, что фо-е Р. 5. Вычисляем сначала волновые функции в импульсном представлении по общей формуле ~р1р) =.:,, ~ ~ е "оь(г)212. (2ил)ть ~ Для состояния 1г находим: 1 У2а2иь ! и 1Л/ ьр"аь 22 ' ( +1) '1 л Аналогично атому для состояния 22 получаем: р2ая ! /2а 12ч )ьи 4 22 ~ й / IртаЬ 1 та ~ — +-1 1 ло Состоянию 2р соответствуют 3 собственных функции (иаь = — 1, О, +1) (21 1 1 ( а " й йо'+,'' ~р~р) =- — —,'=,( — ",)'" ",*,",",.

й —.+— йя 4 С помощью этих выражений находим распределение по импульсам !нормированное): (р) =!~0)Р. г= .-. у л21ла+2) р11 ! !уь 2 ") В единицах е —. Ь = Р = 1. 159 АтОЯ При заданном п минимальное значение это выражение имеет для якруговых орбнтз, т. е. при 1 = и†1 гз — г = — и'1Г2л+1, М= -з 1 Ф го — гз 1 2 г г'2л+1 7. При и, = 1, аз = О, т =- О 4)по, о(4, ч, <р) = — =4сзо(г) )оо(й, 4р)+ — зо + 11е4 (г) )г4о (1Е 7) 72 9.