Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 16

Рпс. 2б. Как нетрудно заметить, значения Е„представлявот истинные уровни дискретного спектра задачи с потенциалом, изображенным на рис. 26 (», -+со). 140 ответы н Решения с» уд(г) = — Г 9(Е) уу(г) ганг». Р) о функции уь(г) будем считать нормированными по шкале энергии. Состояние частицы в момент времени 1 Ь(г.

1)=- ~ 9(Е)ул(г)е " ~(Е'. Рассмотрим вероятность того, что частица через время 1 будет находиться в начальном состоянии уе(г) СО ОЪ .и (г'(1)=! / у„(г)у (г, ~)г!г!Я===~ / ~ср(Е)!'е Я сЗЕ! . (4) о о Таким образом, задача сводится к нахождению распределения по энергии начального состояния ';ч (Е)!-'. Из уравнения (3) следует: л(Е) .—.= ~ у„(г) у,л(г)г1г. о (5) Итак, значениям энергии, лежащим в узкой полосе вблизи квазиуровней, соответствуют исчезающе малые в области !!1 волновые функции (рис. 25, б).

для частицы, энергия котороп строго определена, вероятность нахождения в области 1 равна нулю. В самом леле, волновая функция частицы с определенной энергией относится к непрерывному спектру и интеграл по области !Н от ! ф (г, г)!т расходится, в то время как интеграл по области 1 конечен. Это утверждение справедливо и для состояния вблизи квазнуровня.

Поэтому в задаче о вероятности выхода частицы нз области ! надо рассмотреть состояние, представляющее суперпозвцию ряда стационарных состояний близких энергий, т. е. «волновой пакет», локализованный в области 1, и исследовать его «расплывание» с течением времени. В качестве волновой функции при г = 0 возьмем функцию уе, которая практически обращается в нуль в области !11, а в областях 1 н П совпадает с волновой функцией квазистационарного уровня. Произведем разложение у (г) но стационарным волновым функциям: цвнтглтьно-симматгичноя полн 141 В соответствии со сказанным, в качестве уо(г) можно прпнять собственную функцию вспомогательной задачи с потенциалом, изображенным на рис.

26 при г( г, и при г)г, во — тхй-и) 2 „2 2 У, (г) — л, то — Йо мо Значение 2то опРеделЯетси Условием "о и 21пй г = — —, свай г = —, О 2 — ° то О 2— "о Г йл а нормировочная постоянная а == ~~ Г 1+ Функции ул(г) в областях 1, В и 1И были определены лишь с точностью до общего постоянного множителя А.

Теперь надо выбрать А так, чтобы у (г) были нормиро- ваны по шкале энергий. Асимптотнческий вид ув(г) опре- деляется значениями коэффициентов С и С . Нормировка ~ у (г)у*„(г)гй. =.= й(Š— Е') о дает ~Со ~=~С-1=~' 2ол. Отсюда с помощью (2) можно определить зависимость А от энергии. Раньше отмечалось, что отношение А— велико почти для всех значений энергии и мало лишь тогда, когда Е близко к одному из квазиуровней. Поэтому е(Е) 1РЛ,'", имеет один резкий максимум вблизи Е =- —. В области о 2н других квазиуровней, хотя А(Е) и возрастает снова, но интеграл в (б) будет близок к нулю вследствие почти пол- ной ортогональности уо(г) к собственным функциям ув(г), относящимся к другим квазиуровням. Итак, в выражении(4) для вероятности йо(г) существенна область значений Е, ба~эких к Ео. ответы и яяп!ения После этого предварительного рассмотрения приступим к вычислению е(Е).

Прежде всего найлем зависимость А от Е. Из выражений (2) для С, и С следует: С =С =- — В, ~1+ —,„)е" "' "!+ — В (1 — —.,)е """ . Кроме того, В+ и В выражаются через А: В ь = —. !1я1п лг, + — соя лг ) 2 ( ! Аг л В =- — — (тя)п лг — — соя /гг 1.

2 1 ~ я 1) ' Вблизи квазиуровня можно положить й — 1!в = М и счи- тать, что выполняются неравенства ~бй~ Сй, 1,М1~-я При этом главные члены в Ве и В В„=- А '— ;(1+я „)бй, В = — — А — '. тя ' Предполагая, что е "!"' "<~1, находим: А ".о 1Ся1= 4 Л,я(1+яг)е ' ' Х 1+ яг! и так как 1Сч ( = — аг —, получаем: 1 Г н йУ 2ел 1 / Н 4еха „<~. ~ > 2™ Ява(1 + лг~) А(Е) = — =.— / (4вз И т .

2 (1Л)з 1 ( Я . -ы1ы — и!) 1,4 1 3 тг 1я„~ 1 Теперь интеграл (5), определяющий о(Е), может быть легко вычислен, если считать, что по-прежнему справедливы неравенства (6). Функция у (г) в области 1 и П мало отли- Ф 61 движение частицы в магнитном поле 143 чается от — уо, область 1~ вообше не сушественна для А (Е) Ю нахождения е(Е), так как уо(г) экспоненциально спадает при г) г,. Таким образом, оо(Е)= — ~ уа(г)о1г= —. А(Е) ! А(Е) о В результате простых преобразований находим еа(Е) =,„— Л 1 (Š— — Ео)о+ —, где 8А «оло Выполняя интегрирование в (4), находим закон распада %'(1) =- е Вероятность того, что частица осталась в начальном состоянии внутри барьера Ят(т), уменыпается в е раз через промежуток времени а и Л Г (го ) '"- 2~(~,-о) т= —,— ( — — ) е ' ' (1+хг). 1б (Уо1Е (17о — Е)l ! и 6.

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 1. В однородном магнитном поле электрон, рассматриваелоый согласно классической механике, движется по винтовой линии, ось которой направлена вдоль магнитного поля. Движение в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, происходит с частотой, равной удвоенной частоте Лармора (оо = — — ~.

Рассоготрим движение волнового пакета гуун 2но на основании квантовой механики. 'Уравнение Шредингера 144 Ответы и Ращения для частицы в магнитном поле можно записать в следую- щем виде: дч' йо , й / дч' дч"г 1 И вЂ” = — - — Ь%"-+ — оз(х — — » — )+ —,плот(х'+»Я)%. дс 2Н 1 ( ду дх ) 2 Чтобы найти решение задачи, удобно перейти к вращаю- щейся системе координат х = — х' соя ег' — »' з1п оо1', » = х' с%п оо1'+»' соз Ы', %" (х, », з, 1) =-%" (х', »', г', 1'). Тогда дс' д1 ' 'т ду -' дх) ' Уравнение Шредингера в новых переменных принимает сле- дующую форму." гб — = — - —, Ь %" + —, (х' +»' ) %'. дФ~ ЛЭ о „Ноя,г т о дг~ 2Н 2 Решение этого уравнения может бьжь получено разделением переменных х', »', з'. Уравнение для функции о(з') описывает свободное движение вдоль оси з.

Решение уравнения, определяющее функцию ф(х, », 1), имеет вид ф(х, », 1) ==,'),'Ао„-о~х )У "— ") у.,(» ~~ — ").— -1-.- Здесь х' и»' — функции координат х, » и времени, определяемые из (1), уо — собственные функции гармонического осциллятора, А,„„— коэффициенты, подобранные так, чтобы выполнялось начальное условие. Это выражение для ф (х, », 1) меняет лишь знак, если 1 возрастает на период классичея ,/ ского движения Т = †. Действительно, х' и» при этом меняют знак и, учитывая свойство собственной функции ос- циллятора й 6] движвниа частицы в магнитном пола 145 получим: ф(х, у, 1+ — )= ~~~~„а1„( 1)ау (,„'-$/»" )( 1)кн ~ .ф Р")у уа, е-1 11на на+1)е — 1к!и+вн11 ф (х у и) Таким образом, в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, волновой пакет будет периодически изменять свою форму с периодом, равным периоду классического движения частицы в магнитном поле.

В направлении магнитного поля пакет расплывается точно так же, как и для свободного движения. Волновая функция ф(х, у, г) может быть найдена в явном виде, если начальная функция задана в форме Полагая все Анан = О, за исключением Ас„=- 1, нахолим, что такой волновой пакет не расплывается в плоскости ху, а его центр тяжести описывает классическую траекторию.

2. Для нахождение оператора о надо прокоммутировать вектор г с гамильтонианом яа = — (Ог — гЩ Ь так как Й= —,— 1р — — А) +Г/(г), то находим: р = — ( — -'-А). Теперь найдем правила коммутации зтих операторов о„оя — ояо = — ( — (р„А„— А„р, )+(реА — А„рс)1 = 1еб адАя дАн,1 Ссй нас ~ дх ду ) Ннс Путем циклической перестановки получаем остальные два соотиопаения. 1б Знк.

1УБО. И. И. Гаваннам, В. и Кснвнвнквв 146 ОтВеты и Рвшвиия 3. Направим ось л по направлению магнитного поля, напряженность которого обозначим через еВ. Компоненты скорости частицы удовлетворяют следующим правилам коммутации (см. задачу 2 ф 6): аей й„йя — оя а = —, М. ояое — о,оя = О, и, и — и о, = О. р. с Оператор энергии равен ия 2 2 2 Представим И в виде суммы двух коммутирующих опера- торов нп ню„ . рю 2 2 Собственные значения Н равны сумме собственных значений Й, н Й,. Найдем собственные значения Йо для этого введем новые обозначения и = аЯ, оя — -- аР, где l алую и == у — ',—,— . В переменных Р, 1;> правило коммутации н"с едЮ имсет внд РЯ вЂ” ЙР= — 1, а оператор Н, = й — у 2не )< (Ре-+1;1а).

На основании задачи 5 ф 1 собственные значения Н, Е„,=Л вЂ” ' (и+'1,) (и =-О, 1, 2,...). Собственные значения Й, образуют непрерывный спектр. Итак, энергия движения в магнитном поле В~=. -= й — (л+'lа)+ 4. Направим ось г по направлению магнитного поля, а ось х вдоль электрического поля. Векторный потенциал магнитного поля возьмем в виде Ая= сЯГх, А„ = — А, =. — О. Оператор Гамильтона в этом случае запишется следующим образом: е (р,— —,дал) "е Й=.— —,+— + —,' — ейх. 2н 2и 2и $6) движвнив члотицы в магнитном поля 147 Вводя обозначение е,яе " ней — х —,Р =- и, с яе получим для Й выражение Р, "з Р ~ф Нс'ф' Р,' Й= — —,'+ —— 2И 2Н си," 2Жв 22И Соотношение коммутации между р и и .

Ьеуе Отсюда находим. что собственные значения оператора "2 "3 Р:с Й,= — '+ — совпадают с уровнями энеогии осциллятора, 2р 2и колеблющегося с удвоенной частотой Лармора Е „=б — (п+в/д. Поскольку операторы ре и р„входящие в послелние слагаемые оператора Гамильтона, коммугируют с Йы оператор Р, Ряс ГВ 1всз$Я Й = —,' — — — —, может быть приведен одновче21в Ю 2Жв в менно с Й, к диагозальному виду. Итак, энергетический спектр частицы Е =- Ь вЂ” (и -+ '/я) + —, еяр Р~ Ресин рсвфв няярв НС я 2И ж 2ЗВЕЗ Сравнение с результатом предыдущей задачи показывает, что электрическое поле снимает вырождение, которое имеет место в случае одного только магнитного поля: энергетические уровни при наличии электрического поля зависят от трех квантовых чисел.