Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 13

В этом выражении $ удовлетворяет уравнению: р1 = — раас+ +У(1) и начальным условиям с(т) =-О, $(т) = О, а Š— функция Лагранжа, равная Е= — — Р— — ч +Л. 2 2 112 отняты и гашения 17. Вероятность перехода иа состояния и в состояние и дается соотношением (вычисления будем проводить в системе единиц й = 1, р = 1, ш = 1) Р „(1, 0)=!0„,.(б 0)Р, где 0 „(1, О) = Ц ф!м(х) б(х, 1; х', О) ф„(х')с!хи!х'.

При помощи производящей функции ехр 1 — — (2ла+ хе — 4хх) ~ = у л"ф„(х) 1 чз )Гт 2" ч и! построим функцию 0(и, о) 0 (и. о) = ~ ~ ехр ~ — — (2ьа+ х' — 4ох)— ! 2 — — (2иа+х" — 4их')10(х, Р; х', 0)йхйх'=— 2 о „!йо~. !ч л! >п! мел а=а Из выражения (2) следует, что величины О!~(1, О), квадраты модулей которых определяют вероятности переходов, являются е2*чд с точностью до множителя Ь' .

коэффицнентамивразйу! ложении 0(и, о) в ряд по степеням и, о. Вычислим 0(и, о)„' с этой целью в (2) подставим выражение для функции Грина 0 (см. задачу 16 й 3). Подставляя, получим: 1 0(и о) = — ехр( 1, ~!!1 111+ 1~ и о ~ Х )г2ФЕ 2л о Х ~ ~ ехр( — !ь11 — — )х + — '+ 2(! Е/ л +(1 — — ) х' — 2(2о — — 1+ !Е) х — 2(2и+ — ) х) !Ххах'. 11З пвввстановочныв соотношания В случае ы = сопл! с, .с, У имеют вид ((!) =~а!п(т — Ь')дг') И', К=а!п0 1 =солт.

о При вычислении интеграла воспользуемся формулой ~ с!х ~(у ехр ~ — — (аха+ 2Ьху+ су' — 2рх — 2ду) ~ = 1 2 ехр 2» (ала — 2ард + »уз) уй — Ьа ! 2 (ас — Ья) В результате простых вычислений получим следующий вид функции 0(и, о): 0(и. о)= г' ие' 1~!е а ехр( — — ио+Аи+Во), Здесь А =! ~е-!"'!(г) г1Г, В=- е-иА, 2тл ='! А~ ° ! В~ =-Р+К о а Р(Г) — некоторая действительная функция времени.

Для того чтобы разложить 0 (и, о) в степенной ряд, воспользуемся соотношением ар ! %т аг» ехр( а+ р — — ! =- ~ с(ш, и~ та) — —, та т! и1' »ь» о где зп!» !ю»! и! и! -! с(~~' и!и) Х 1!(т — 1)!(л — !)!( ) ю=о Производя разложение, получим: и ) 0(а, о)=~/яе~™е ' ~~М„с(т, и/тл) ( ) ( — ). (3) »ь» О 3 3»». !жа. и. и. Голь»»вн, в. д. кя»»»»»»»а 114 Отввты н Рвшвнйя Из соотношения (2) и (3) следует, что пь 2 Аььдьп Сь „(», О)= — .. с(т, п~!тс)еьк!ь1, 1ь 2"+'и т! и! а искомая вероятность перехода равна Рта (» О) (с (ьл п $ тс))О В частном случае п=0 вероятность перехода имеет вид Р О(», О)=, так как с(ьл, 0(пь)=1.

После того как вероятность перехода вычислена, мы можем определить средние значения энергии и квадрата энергии оспиллятора в момент времени ». Средние значения определяются соотношением г=-,'~'! Р.;(» 0) ( + —,) Оь-О Х =,'~' Р „(», 0) (т -+ — ') . ььь=е С келью вычисления подобного рода сумм рассмотрим вы- ражение (- -) аьт 1 — — ) еп=Ф(т. а!пь). Легко показать, что Ф(т, а!тс) = ~~> —, с(т, »»!тс). Из равенства 2 1 е-ьь ° пльь Ф (и, а ~ ПЬ) Ф (т, й ~ ЕО) = Еь ь'ьь т! ьм = О вытекает, что с(т, и !Оаь) с(т. л'! пь)= — О„„п!мь-", ьп=О 1!5 % З) пегестлновочные соотношения откуда непосредственно следует физически очевидное соотношение Х Р...=1. ею=о рассмотрим равенство лг' лг, Ф (гл. а ~ тв) Ф (т, Ч ( тл)=-(я — а — р+ — ~ е'ало, дифференцируя его правую и левую части по а п раз, а по р' лг раз и полагая затем а =- О, 2 =- О, имеем: Х тР „= — и+та.

оо= о 'Таким образом, среднее значение энергии осциллятора в момент времени Г равно Е = Е„+ тв. Здесь оо есть работа силы Г'(1) за промежуток времени 1 тв = ~ У(~)(Ж = ~( с+ $) (сИ =- о о 2 (Р+ Р)г=г 2 (Р+ га)г=о' Аналогичным образом находим: Ео = 2овЕч. 20. а) х(1)=-х — — à —, Рл д дх ' В . д б) х(Р) = хсозы1 — — яныт —. дх' 21. (Ьх)~ = (Ьх),'+ — ((Ьр) (Ьх)+ (Ьх) (Ьр)) + — (Ьр~). Замечание. Из приведенного соотношения легко определить момент времени т, в который величина (Ьх)~ имеет минимальное значение.

Функция (Ьх)о, является симметричной функцией относительно точки т. В том случае, когда волновая функция в момент времени ~ =- О имеет вид 116 отввты и Решения Мж ф(х) = <р (х) е " (о (х) — действительная функция) т = 0 (см. задачу 10 а) й 3), 22. а) (Ьх)~ =Рх)~ + —, ~ ( — ) Нх, б) (Ьх)г = — (Ьх)а ° соля ой+ — а ~ ~ — ) Мпа о~1 Нх. и 4. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН.

1. Как известно, при бесконечно малом повороте системы координат волновая функция преобразуется следующим образом: ф (г) = (1+ й1гаг1 ф(г). (1) Здесь На — вектор, направленный вдоль оси вращения и по величине равный углу поворота, а 1 †операт орбитального момента количества двюкення. Рассмотрим сперва поворот относительно оси а на угол гЬ. При таком вращении имеем: дь ф'(г, О, в)==. )(г, О, Е+-г1я) —.— ф(г, 0, Е)+ — '- г)щ (2) дт Сравнивая (2) с (1)„получаем: . д дв ' Для того чтобы получить вид оператора 1 в сферических координатах, соверщим поворот относительно осн х.

Тогда ф'(г, 0. т)=-ф(г, 0+-д0, Т+-дй)= +~ив д+дт д ) откуда следует, что Ивд двдт ~Эа д0 ' да дт~' 'ФО дт Вычислим — и —. дя да О 41 момгнт количвства движвни5!. спин 1Л Легко видеть, что  — Х = — — !554й, У' — У= Я4Ь, и так как я' = гсов б, у' =.=- г в!55 0 в!и о, то имеем: дб . дт — = — яп 55, — = — с!д б ° сов 5я, да а'а следовательно, д д! =- 4 ! в!в 44 — + с!я О ° сов р — ) . дв д!5)' Поступая аналогично, получим: д .

д5 1 = — 4'!СОВ а —.— С!ИО ° ян 54 — ). ' дб дт)' 8. !е = 1, сов (хя )+!ясов (! я ) +14 сОв (яя ). 7. Преобразование можно записать в матричной форме е !т+Р!сова —, =е4вяпб,— -е — 45т — яв5пв— О г „., 0 2 )Г2 2 l уи — евяяп О, гг2 = е-4т' в1пб, и'2 сов б, — е4!в — т! в!и —, =е-!тяп 0, е — 4 !Вч я совв- 6 ! . -, О 2 1/2 2 l «Ь-4 а5 (О) = — япв О а5( — 1) = в1П4 —, 1 0 для М=-0: а5(-+ 1) =- — япв О, а (О) —.соввб, 1 2 а5( — 1) = — в!55я 0 1 2 и, наконец, в случае М= — 1: а5(+ 1) = яп4 —, а5(0) = — япв О, 0 ! 2' 2 9.

а5(+ 1) = — совв —. 2' а5(+ — ) =сова —, а5!! — — ) =в1пв -. 2) 2' ! 2) 2' Среднее значение проекции спина равно — совб. 1 2 8. Пользуясь результатом предыдущей задачи„получаем в случае М=1: а5(+ 1) = сов' —, О 2' 118 Ответы н Решения — (т+Ф) 6 е' сов— 2 ( - з (т Ф) , В (е з жив 2 ! —., (т-Ф) . В (е'-' в(ив 2 — — (ФФФ) 6 е а сов— 2 С помощью этой матрицы находим спиновую функцию в новой сисгеме координат ! , Г 3 (т+Ф)Ф(Ф В , — „(т-Ф)+(Р . В ф, = ее сов — -сов|+(еа ' в)п — - в)пЬ, 2 2 ! . -а (т'-Ф)г!" . 6 — а (т+ФЫ(В В фа=(е а ' в(п — ° сове+е а сов — ° в)пб. 2 2 Найдем вероятность того, чго спин направлен вдоль оси л'! гэ, с В .

В тл =- ф! ф! = сова — ° сова е+ 5!па — в(па В+ 2 2 + — в(п В ° в1п 2е ° в1п (ф! -+ а — ~). 2 Из этой формулы следует, что вероятность значения проекции спина вдоль произвольного направления аависнг только от разности и — р~ и не зависит от а и р в отдельности. 1!. Направление спина определяетсн углами 0 = 2о, Ф = — „, + )! — я. 12. Да, можно. В случае смешанного ансамбля, как бы ни было направлено неоднородное магнитное поле, всегда будет иметь место расщепление на два пучка. В случае чистого ансамбля соответствующим расположением прибора можно добиться исчезновения одного пучка. 16. При бесконечно малом повороте относительно оси х на угол ((а компоненты спинозой функции изменяются согласно выражению / г (1+Иав ) ',а =-.

Уе ! '(-! 1О. Воспользуемся матрицей преобразования номпонент спинозой функции прн понороте координатных осей. Эта матрица имеет внд $ 4) момвнт количества движения. спин 119 где а== 1 0 1 Выражение (1) эквивалентно трем дифференциальным урав- нениям из решения которых легко ния, имеющую вид ! — япа )12 соз— а 2 — 3!и а 2 =3!и а 1~2 — япа 1' 2 сов д 1 — 3!и а )г2 а — яп!— 2 а соза— 2 Аналогично получается матрица преобразования при пово- роте относительно осй е на угол а В качестве углов, характернзу!ощих поворот, возьмем углы Эйлера ф!, 0, у, Тогда для того.

чтобы найти матрицу иско- мого преобразования, надо перемножить три матрицы. Вычисляя. получаем: =е'тяп0 — е 1!т-т!з(ив 1 .... 0 )Г2 2 Ег !Ф '. т! созз— 6 2 соз 0 (2) — е ~т 5!п 0 — еИяп0 Тгу — е! !Ф-т! япа— 2 (Ь аа с160 ла 1., !1а 1 )'2 — (5 +-6 ), = '1е ~Я получить матрицу преобразова- — е-езяп 0 у2 Е-1!аж!) СОЗ'— 0 2 120 ОТВЕТЫ И РНУЕНИЯ Заметим, что тот же самый результат можно получить, рассматривая преобразование симметрического спинора второго ранга. Между компонентами спинозой функции и компонентами симметрического спинора существует связь ф1! — 41 ф12 фа( ф фаа 1 1'2 Спинор 2-го ранга преобразуется как произведение двух спиноров первого ранга.