Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu)

Предисловие ОГЛАВЛЕНИЕ ЗАДАЧИ, ОТВЕТЫ И РЕШЕИИЯьт ф 1. Одномерное движение. Спектр энергии н волновые функции................, .. 5 57 8 2. Прохождение через барьер......... 9 бй $ 3. Перестановочные соотношении. Соотношение неопределенности. Расплывание пакетов ..... 14 58 й 4. Момент количества движении. Спин..., .. 18 Ууб ф 5. Центрально-симметричное поле . . . , , . . . 26 729 ф 5. движение частицы в магнитном поле . . . , . . 28 748 8 7. Атом 32 757 8 8, Молекула . . .

, . . . . . , . . . . . . . 40 258 З 9. Рассеяние . . . 45 235 Приложение 1 . 268 Приложение П . 272 в) Номера страниц, относвщихсн к отнстам и решенивьц даны курсивом. ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник состоит из задач по нерелятивистской квантовой механике, которые решались на семинарах, или преллагались я качестве так называемых «заданий» студентам Ю курса физического факультега МГУ. В сборник помещены залачи различной трулности. Залачи, требующие провеления сравнительно больших вычислений, предназначались главным образом для студентов, специализирующихся по теоретической физике, основным уч"бным пособием которых при изучении квзнтоаой механики являлась книга Л.

Д. Ландау и Е. М. Лиф:ница «Квантовая механика». Опыт преполавания показывает, что наибольшую трулность при изучении представляет матричная сторона квантовой механики, поэтому при написании ланного сборника большое внимание улелялось задачал~ на составление матрицы возмущения и ее диагонализацщо. В сборнике сравнительно много места уделено вспомогательным задачам на момент количества движения и спин, поскольку без уяснения этих фундаментальных понятий нельзя говорить о серьезном изучении квантовой механики.

Авторы считают своим долгом выразить благодарность аспиранту В. В. Толмачеву, студентам А. Р. Френкину и В. Д. Кукину за помощь при составлении сборника, а также релактору В. В. Жаботинскому за крити шские замечания. И. Гольд.иан, В. Крив«елков ЗАДА.Ч И $1. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СПЕКТР ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫЕ ФУНКНИИ 1. Опрелелить уровни энергии и нормированные волновые функции частицы, нахоляшейся в «потенциальном ящике». Потенциальная энергия частицы Ь' = — оо при х ( О и при х.»а, 1' == О при О < х ( а. 2. Показать, что для частицы, нахоляшейся в «потенциальном ящике» 1см. прелылушую залачу), имеют место соотношй!ия: 1 =.

аз! 6 х= — а, (х — х)е= — )1 — — !. =!2 ), иВка /. Доказать, что лля больших значений и последний результат совпадает с соответствующим классическим. 3. Определить распрелеление вероятностей различных значений импульса лля частицы в «потенциальном ящике», находящейся в и-м энергетическом состогяши. 4. Определить уровни энергии и волновые функции частицы, находящейся в несимметрической потенциальной яме (см. рнс. 1).

Рассмотреть случай Ь", = 1',. б. Гамильтоннан осцил- !у у лягора равен Й=,~ + Р азха Рнс. 1. +-'-' —, где р и х улов- 2 легворяют перестановочному соотношению рх — -хр= — Н!. Для того чтобы избавиться в послелую!цих вычислениях задачи от Л, р, ы, введем новые переменные Р и Я Р= р, Я= 1/ — 'х (٠— ЯР= — 1), г й а энергию Е будем выражать в единицах йо(Е=ейш). Уравнение Шредингера для осциллятора в новых переменных будет иметь вид 2( +~)т а) Используя перестановочное соотношение РО,— ОР= — 1, показать, что 2 (~+1;В)М~гР)"ф=(е~ п)(О~1Р) (,. 1 б) Определить нормированные волновые функции и уровни энергии осциллятора.

в) Определить соотношения коммутации для оператора 1 а = — (Я+ 1Р) и эрмитовски сопряженного ему оператора и+ =(Π— 1Р). Выразить волновую функцию и-го возбу- '~Г 2 жденного состояния через волновую функцию основного состовния с помощью оператора а. г) Определить матричные элементы операторов Р и Я в энергетическом представлении. Ухплание.

Р'+ Яе — ! = (Р+ КД (Р— 1©. 6. На основании результатов предыдущей задачи показать непосредственным перемножением матриц, что для осцнллятора, находящегося в а энергетическом состоянии, (Ьх)е = х' = — (и+ —,); (ЛР) = ря —..- рйы (и+- — ) . и«лхз 7. Частица движется в потенциальном поле У(х) = —. 2 Определить вероятность нахождения частицы вне классических границ для основного состояния.

8. Найти энергетические уровни частицы, движущейся в потенциальном поле следующего вида: Г(х) = (х «.. 0); У(х) =- —" — (х ) 0). 9. Написать уравнение !Иредингера для осциллятора в «р» представлении и определить распределение вероятностей различных значений импульса.

СПЕКТР ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 7 ф 11 10. Найти волновые функции и уровни энергии частицы l а х'12 в поле вида У'(х)=--$' ~ — — -~ (х > О) (см. рис. 2) и по- Рис. 2. казать, что энергетический спектр совпадает со спектром осциллятора. 11. Определить уровни энергии для частицы, находящейся в потенциальном поле у' = — — е (см. с'нз— и рис. 3) а х Рис. 4.

Рис. 3. 12. Определить энергетические уровни и волновые функции частицы в поле )Г=.1' с(из — 'х (Ос",хс.а) (рис. 41, произвести нормировку волновой функпии основного состояния. задачи Рассмотреть предельные случаи малых и больших значений Ь'о. 13. Определить волновые функции заряженной частицы в однородном поле Г(х~ =- — тчх, 14.

Написать уравнение Шредингера в «р» представлении для частицы, движущейся в периодическом потенциальном поле Ь'(х) = $'е совках. 16. Написать уравнение Шредингера в «рь представлении для частицы, движущейся в периодическом потенциальном поле Г(х) = — Ь" (х+ о). 16. Определить зоны разрешенной энергии для частицы, движущейся в периодическом потенциальном поле, изобра1гУу 1 Ю а а..". Рнс.

5. женном на рис. 5. Исследовать предельный случай Ь'е-«со, Ь-+О при условии, что Ь'еб = сопз1. 17. Для потенциала Ъ'= — определить в квазис'лев и классическом приближении уровни энергии и полное число дискретных уровней. 18. Определить в квазиклассическом приближении спектр энергии частицы в поле: й«дха а) $' =- — (осциллятор); 2 б) 1'= 1'ее(д' — х (О «, х < а).

19. Определить в квазиклассическом приближении среднее значение кинетической энергии стационарного состояния. 20. Используя результат предыдущей задачи, найти в квазиклассическом приближении среднюю кинетическую энергию частицы в поле: а) Г=— Н«еле ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР б) Ъ' =- Р'з с1да — (О < х < а) (см. задачУ ! 8). 21. Определить внд энергетического спектра частицы в поле Р'(х) =-ах', используя квазиклассическое приближение н применяя теорему виризла. 22. Определить вид потенциальной энергии 1'(х) по энергетичесному спектру Еч в квазиклассическом приближении. Р'(х) считать четной функцией )г(х) = Р'( — х), монотонно возрастающей при х) О.

$2. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ бАРЬЕР 1. При изучении эмиссии электронов металлами необходимо принять во внимание то обстоятельство, что электроны с энергией, достаточной для выхода из металла, согласно квантовой механике, могут отражаться от границы металла. РассматРиваЯ одномеРнУю модель с потенциалом Р'.†.= — 1'е при х е 0 (внутри металла) и 1г===.О при х О (вне металла) (рис.

6), определи гь коэффициент отраженна электрона с энергией В ) О от поверхности металла. 2. В предыдущей задаче предполагалось, что потенциал на границе металла изменяется скачкообразно. В действительности это изменение потенциала происходит непрерывно в области, размеры которой порядка междуатомных расстояний в металле. Аппрокснмнруя потенциал вблизи поверхности металла, с помощью функции (см. рнс. 7) )е + алдлчи определить коэффициент отражения электрона с энергией Е ~ О. Рис.

У. 3. Определить коэффициент прохождения частицы через прямоугольный барьер (см. рис. 8). Рнс. 8. 4. Определить коэффициент отражения частицы от прямоугольного барьера в случае Г ~ Ь'„(надбарьерное отражение). б. Вычислить коэффициент прохождения через потенциальный барьер Ь'(х) = = — (рис. 9) пото- сп.— в" х ка частиц, движугцихРис, 9.

ся с энергией Е ( Ьв. В. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффи- циент прохождения электронов через поверхность металла ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР под действием сильного электрического поля напряженности г" (рис. 10). Найти границы применимости расчета. Рнс. 10. 7. Изменение потенциала вблизи поверхности металла происходит в действительности непрерывно. Так, например, е потенциал электрического изображения 1,, = — 4— дей- 4х ствует на больших расстояниях от поверхности. Определить Рпс. 11.

коэффициент прохождения В электронов через поверхность металла в электрическом поле с учетом силь1 электрического изображения (рис. 11). 8. Определить приближенно уровни энергии и волновые функции частицы з симметричном потенциальном поле 12 задачи (см. рис. 12), если Е~( 1/р и проницаемость барьера ~'",~" б >> ). 9. Симметричное поле Г1х) представляет собой две потенциальные ямы, разделенные барьером 1см. рис. !3). Считая выполненным условие квазиклассичности, определить уровни энергии частицы в поле Ь'(х).

Сравнить полученный энергетический спектр с энергетическим спектром отдельной ямы. Найти расщепление энергетических уровней отдельной ямы. Указание. См. приложение 1. 1О. Предположим, что до момента времени ~=-0 между двумя симметричными потенциальными ямами 1см. предыду- й 21 пгохожданнв чеРез БАРъег шув вадачу) сушествовала непроницаемая перегородка и частица находилась в левой яме в стационарном состоянии.

Определить, по прошествии какого времени т после удаления перегородки частица окажется в правой яме. 11. Поле Г(х) представляет собой И одинаковых потенциальных ям, разделенных одинаковыми потенциальнымн а, А лс 4~ Рис. 14. барьерами (см. рис. 14). Считая выполненным условие квааиклассичности, определить уровни энергии в поле Г(х). Сравнить полученный энергетический спектр с энергетическим спектром отдельной ямы. 12.

Считая выполненными условия квавиклассичности, найти квааистационарные уровни частицы в симметричном поле, ивображенном на рис. 15. Рис. 15. Найти также коэффициент прохождения О(Е) для частиц с энергией Е .' т'е'. 14 ЗАДАЧИ $ 3, ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. РАСПЛЫВАНИЕ ПАКЕТОВ 1.

Показать, что если лва оператора А и В удовлетворюот перестановочному соотношению А — ВА =- 1В, причем А и  — эрмитовы, то имеет место следующее соотношение: 2. Найти соотношение неопрелеленности лля операторов д и р(р), если д и р удовлетворяют перестановочному соотношению др — рсг =- 11ь Указание. Считать функцию г (р) ззланной в виде ряда Тейлора. 3. Оценить энергию основного состояния осциллятора, используя соотношение неопределенности. 4. Оценить энергию электрона на А' оболочке атома с порядковым номером А в нереаятивистском и релятивистском случае. 6. Оценить энергию основного состояния лвухэлектронного атома, зарял ядра которого равен А, с помощью соотношения неопределенностей. В.

Магнитное поле, создаваемое свободным электроном, обусловлено как его движением, так и наличием у него собственного магнитного момента. Как известно нз электродинамики, напряженность магнитного поля движущегося заряда по порядку величины равна ее Н вЂ” —, сгт ' а напряженность поля магнитного липоля с моментом Р Н, — ---. гэ ' Для того чтобы можно было опрелелить магнитный момент 1с своболного электрона на основании измерения напряженности создаваемого им поля, пеобхолимо выполнение следующих двух условий: На ~Н, П) пг %.

г. (2) ф 3) ПЕРастаноаочные сООтнОшения Последнее условие означает, что область локализации электрона Лг должна быть много меньше расстояния от этой области до точки наблюдения магнитного поля. Могут ли быть одновременно выполнены эти два условиями Указание. Принять во внимание соотношение неопредеей ленностей и значение магнитного момента электрона р .=- — .