Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 10

вка ала П вЂ”- если в1ввяеа+ сова~~ — ~~ 1 — —, 8 Ь;,,а1' ~2 а' и вша Ыа вла вла + спа ~ — у — — 1) Г Г8И1Г, а ~2 У йа если — ~ 1. 8рЪ'овя йа 6. Потенциальная энергия электрона имеет вил, изображенный на рис. 10. Коэффициент прохождения аь — ) Каоа л~-ле>ле П е о где точки х=0, х==хо=- — ограничивают область, не1Е1 — о — р лоступную частице согласно классической механике. Производя вычисление интеграла в экспоненте, нахопим: — '~~ ~гч.

п,л в .вл (1) Йля выяснения вопроса о границах применимости этого результата заметим, что квазиклассическое рассмотрение неприменимо вблизи классической точки поворота хо внутри области х — хо< ~ — ~ . Формула (1) применима в том о случае, если эта область меньше ширины барьера хо=-— 1Е1 Р При этом коэффициент прохождения будет иметь вил ( с, В, + саВа 1а ~ саАв — саАа!а Подставляя в последнее выражение значения коэффициентов А„Аа, В,. Ва н пронзволя песложнл|е преобразования, получим окончательно: отввты и гвшвння Таким образом, это требование эквивалентно требованию малости коэффициента прохождения Й ~ 1. Коэффициент прохождения В быстро убывает с ростом !Е~ и растет с увеличением Р (см.

таблицу 1). 7. Суммарная потенциальная энергия лэ 1' = — Рх — —. 4х' Следует заметить, что это выражение при малых х (порядка атомного расстояния) становится непригодным. Однако для вычисления коэффициента прохождения точный ход потенциала вблизи этой области несущественен. Коэффициент прохождения ( 2У Г-~ В=:ехр( — — ~ ~ 2р!!Е) — Гх — — )ох~=- и,! г' (- 4х) 2 =ехр~ — — „~ рдх). ! Причем точки поворота х, и х, определяются из условия обращения в нуль классического импульса частицы р = — ~Г2р (1 Е! — Ех — л ) = О, ~ Е(~ 3 Е' — Р~.

хг 3=- 2р интеграл р с1х= — )У2р. ~ ~Г !Е! — Ех — — с!х — — $ представляет собою полный эллиптический интеграл. ЗамеР ной независимой переменной — х =-с интеграл сводится !Е! к функции одного параметра аь 2 — ! Е ! д 1/е~Р Рох — 3 'г' лР Е Ч(У) У— е, Т О «о О О 1 »» О О С'4 л О О О 7 О 1 О ! ««О О ! О «« И «» ы Р. «» о Я ! О «» О О ! ! с'»»« СЧ ! О :Ф ! О Ф 1 О О И 1 О Ю "1 ! О 1 О е» л Ф 1 О Ь О В Я й ! ! ! О О О К 'О р Я Д Т О О О Ж ! О ! 1, ! !! !! !! ! !! ! !! й :» «» и Р. «» о й «» о М Р й Р. Й Ю ИРОХОжяенИе Чкрез гАгью «» о ы ы О о и М «> «» М «« П о ««« ж «» »« ь х ь ° .'$ к И о у 6$ »' В «» Ф \:$ М о о «» 4 л и б .В М 3 ~~ о »„", о «,'! ю ф й о «» х к ««о 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Таблица 2 0.5 ) 0,3 0,95 ! т (у) 8.

Волновая функция имеет следующий внд: ф = — Ая11йх йи — — В,е" +В,е-" О.х(а, аСх(а+Ь, фщ = С э1пlг(2а+Ь вЂ” х), а+ Ь <.' х < 2а+ Ь, здесь 1ЬТ ъ 2 1г — е~ й=, х= Ь Ь условия непрерывности волновой функции и ее производ- ной приводят к следующим соотношениям: А Рйпйа = В,е""+ В,е-"', Ай соз Фа ==- и !В1е"' — В,е-"и), В,еиМи+Ы+Вез — "0иэь! =Сз1пйа, Х4В1Еиш+Ь1 — В Е "!и+Ы) = — Сйеаэйа.

Здесь 1Р(У) = ~ У 1 — — — $е!ч, ИРедель1 интегРации Ц„$з уз е определяются из условия обращения в нуль подкоренного 4 г — 1е!а выражения. Вводя обозначение йе =='- — у 2р=, получим 3 Г П =-е "Р(Ю. Отметим, что коэффициент прохождения без учета электрического изображения (у = — О) Π— -- е-" !см. задачу 6). Значения е!у) приведены в таблице 2, Влияние силы электрического изображения иа коэффициент прохождения через потенциальный барьер можно уяснить из данных таблицы ! пгохождвнив чвгвз влгьвг Исключая нз этих уравнений В, и Во, находим: ( — "1яйа+1)Ае™=-( — "; 1ййа — 1)С„ (-"' -— — ' 1д )оа — 1) Ае — "о =- ( — „' гц йа+ 1) С. Из условия обращения в нуль детерминанта ( 1й да+1)ехь ( ' 1дна 1) ( — ' 1д Фа — 1) е-"о — ( — ' га да+ 1) =О получаем: ( — '1о йа+1) е"о== г-( — 1п ага — 1).

Это уравнение определяет уровни энергии. Воспользовавшись неравенством хй)~1, последнее уравнение можно приближенно представить в следующем виде: — -хо ф )оа — 2 е-хь 7 Правая часть равенства представляет собою малую величину. В нулевом приближении получаем (Фх~х): лх 1о1 ляхово но= сх = а ' 2р,ао — значения энергии для частицы в потенциальном вцике (гм.

задачу 1 ф 1). В следующем приближении )г = — ' — — ~ 2 — е-".о (л -:=: 1, 2, 3...,), а ахо + ахо 21ло> Первые два члена Е„=. Ео — — не зависят от Ь и дают Н1 1О) и ахо приближенные значения уровней энергии для частицы в потенциальной яме, изображенной на рис. 20 (Ь-+со). 2Е(о> Е[о> ахо ' ахо ~/ 2 (1 хьэ) то= й 80 ответы и ввшвния В этом приближении уровни лвукратно вырождены; это соответствует возможности нахождения частицы как в области 1, так и в области !1!.

Учет конечности Ь, т. е. возможности прохождения частицы через потенциальный барьер. приводит к расщеплению уровней, Это расщепление экспоненциально мало. Найдем в рассматриваемом приближении коэффипиенты А, В„ Вг и С. Нижнему уровню х яоо) ато Рвс. 20. соответствуют такие коэффициенты В = ( — 1)а ~ — е «Ль+а) А т.о С=А, Вг == ( — 1)" — е" о А. то Верхнему уровню о1 Е+ = — В'~'+ 4 —" е-".о соответствуют коэффициенты Вг —— — — ( — 1) ~ — е-ч1 +о1А С= — А, Вг=-( 1)" — ое" оА.

го Значение А, определяемое из условия нормировки, равно 1 — (при вычислении нормировочного интеграла долей, вно- '31 а симой областью П, можно пренебречь), Таким образом. нижнему уровню соответствует волновая функция 1 фг = — — г1п 11х, Уа ( 1)о г Ло ( е — х,1м-Ю + е — ъ,1а ь-х, 1 ° Г' аоо 1 фщ = — з1п 1о (2а+- Ь вЂ” х). Уа 2 21 пгохожлвниа чегяз влеьяг Соответственно Лля верхнего уровня находим: 1 фь = гапйх, 'Ег а =-( — ЦЯ ь — — ( е ""1.— и) е дь1а+а-а11 я-ь 1 Г ате 1 фщ = — = я1 п Рг (2а+ Ь вЂ” х).

рииьииит~елриирьье 'йььнирььь Сункиии ь йрхний иерррибеий йитнчряньье реинирые ьрннйнни 1нии1инйц неьррррень3 Рис. 21. На рис. 21 приведены графики волновых функаий лля л=1 и л=4. Я Зьк. ПЯС. И. И. Гсь диан, В. Д Кьдддюпьд ответы и Рвшвний 9. Пля волновой функции в области х»,.— Ь имеем'. -ь à — л» с у'Ю (решение на бесконечности должно обрашаться в нуль). В области Ь < х .

— а Г е » ) Рл» » Рл» с е ~ д " д 6= — — е ае -в +=е 'е — )~-г -а -й е Г е Г » — ( ул» ~ Рл» » — е -»х а .! е» е " е ' + 1Р— в — а » -41 ° О" + — е»е -ь е )р В области — а (хС-+а — а Ж 1 л ~ ил~ -~ — -- ~ ~в~ л» ф=се ~ е 'а ( =-е — + 2 Ф~Ы! » 1 à — — ~ !в!л»1 Иг1 — ял», » — — ~»~л» 2 Й~Ф Г вЂ” — — !в! л» .,' а -~- а — — у~л.

— ' ~ 1в~а А = — — ай1 ~ рДх в -а е» + ~Т~Т ответы и Решения И, наконец, продолжая это решение в область х)+Ь, имеем: ь Г„~л~ ь ф=- — —,яп — ~ ру~х сов — ~ руГх е -" + =~,ТИ12 ~Гу 1 ) ~яу 1 и а О а +а и — „~~И.~ — „~'я * 'к'е — /е ь +а 1 — 1пу лм +== — япе — ~ рдх е -+ ии ь '! 2 1 ( — у и у уьу — у я! ли и .у и.у +4совь — рдх е — е ~ Гу а Для того чтобы решение при х — и + со стремилось у à — у уяув к нулю, необходимо, чтобы коэффициент при в обращался в нуль. т. е.

Г 1 — вупя — ~ рлух е — + а ь — уи)де 1 и.у +4соаа —, рдх е -и =О, а о~куда ь (1 ~ у~ 1 п — уя)л~ сф — р уГх = -+- — е ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР Считая прозрачность барьера малой величиной, получаем условие для определения уровней энергии ь 1 — ~ рНх =т. ~п+ — ~-+- — е 11,1 = ''1 2! 2 а Обозначим через й уровни энергии отдельной потенциальЕ1о) ной ямы —, ~ 1'2р <ЕГ' — и> ~ =- . ~ + —,). а Уровни энергии в двойной яме Е„=ей ~+оЕ„найдем из полученного условия квантования, разлагая Ь1 2р(Е„ — Ь') в Рад по 11Еа и огРаничиваЯсь линейным членом по оЕа ь 1 р~ах 1 йń— ~ „=- -+.

— е 3 ~"2„Уо>,,~ нли + 1 — ~р~ ЕХ и 2а где 1о — циклическая частота классического движения в оть 2а Глх дельной яме — = 2й ~ — . а Расщепление уровня Е„равно 2~ЬЕ„!. -1-а — !Р1е Г Ь 1 аа — а 19. 1=- — е ответи и Решения 11. В области и-го потенциального барьера Ьи < х < < а„+, волновую функцию запишем в виде 1р1 е» вЂ” ~ 1 р1ех Г ь Г1 ь и 1'1И 'и+1 и+1 1р1дх 1 ~ 1р1ех ьи е + ь ф =-=е С„ Йй С„ М1И продолжая эту функцию в область (и+-1)-го потенциального барьера Ьи+, < х < а , будем иметь: и+1 — 1Р~ Лх Г Ь ие1 "-.~ ") "»+1 И+1 1 — 1р~ ех ь 3 — С„е и ь Х вЂ” 1р1 и» 1 + — е +1 1 ь 1-!я ! и+1 Г и+1 1„1е ь„, ъ;мв ~ р»Гх -+2О„Е и соэ — ~ рах Г.

Г Ьи 1 й »»+1 и+1 х — ) 1р1лх ф = — — Е и+1 1 ь И~ хи+1 И+1 Г 1р1е. — ' 1 1р1а» л.,' -Ь.1" + — е и В„ь е И+1 — 1р1 л» Г ь и+1 Си ь Г 2 соэ — ~1 рах + Ь,) и+1 й 2! пгохождение чееез вьвьш Введем обозначения 1 !р!гЕе — — !р(гЕе — .. — ) !р!г!х 1 Г ь', "ь, ь,, ь, И вЂ” ) М =- — ! р 1~=... = — ) рею~= .

д3 =д3 =" =д3 Тогда предыдущее выражение для ф в области (и+1)-го барьера преобразуется к виду 1 ь ~С„ ф =- — е и+з ~ —" е-.сов а+ Е1зе. з1п а) + ь !,а! 1 2 г — ! п~ л6 1 ь +=е пег ( — С„е-=з1па+2О„е соза,' =- )г г! Г г ь — ) 1я~е Ь Сп, е .гг + — е и+г В„„ Ии йИ где С„+,— — — — е-=сова+Е>,е з)па, С„ Е)п,,= — С„е-=в!па+2В„е сова, Связь коэффипиентов Сззн ЕГп+, с С„, Е1п удобно предста- вить в матричной форме ~"'.::)-('-'.-':;.::.'-":.) (::Н::) " Применяя соотношение (1) последовательно И раз, получим Ю=('-'.':;::.: -"') (::)-"Ь ответы и РЕшения Как нетрудно убелиться непосредственно, матрица влетворяет уравнению Ж вЂ” =- АЗ аг 5 удо- (2) с начальным условием Б(О) = 1.

Запишем уравнение (2) более подробно ~2! ~22 У ~ ~22 ~22 или 2Юи л'елва = ач22+Р22,у~ = аЗ22+22с22 Ю~ ЛО22 ,Ц =-'(Ф22+%» —,„= Ф22+~З22. Поскольку условие, определяющее спектр энергий, может быть записано в виде (А ') —.= ~ — ~ =.О. г'~Р~, 1 ю — ~ и ) Ф' 2=2 достаточно рассмотреть вторую пару уравнений. Полагая 522 = геи, 322 =- дви, получаем: ЛЛ = — аг'+ ~3я, е Л = "ьг + ВК Значения Л определятся из уравнения ( а — Л = О. Ла — Л12е" + — е-')сова+1 =-О, Волновая функция стационарного состояния должна убывать как при х (аи так и при х ) Ьи, поэтому надо потребовать, чтобы Се=Он=О. Легко видеть, что для этого должен обратиться в нуль элемент (А")2 .