Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 9

Ограничиваясь одной бегущей волной, движущейся вдоль оси х или против нее, для стационарной части волновой функции находим (4.26) ф = Аем". Нетрудно убедиться, что интеграл +40 „~ „~,~з СО расходится, и поэтому стандартный способ нормировки (см. (2.25) ) требует пересмотра. Существует два способа нормировки этих волновых функций: метод Бориа и метод использования дельта-функции Дирака. в) Метод Берна.

В методе Бориа вместо граничных условий на волновую функцию накладывается условие периодичности. Так, например, в одномерном случае, вводя длину периодичности Бориа Ь (которую в конечном случае можно выбрать сколь угодно большой (Ь-~ос), поскольку она тем или иным способом исключаетси иа конечного результата), мы должны на волновую функцию наложить условие периодичности ф(х) = ф(х+ Ь), (4.27) или ,У~ = Аем и+и. Отсюда находим (4.28) (4.29). НВРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МВХАНИКА Квантовое число л может принимать как положительные, так и отрицательные значения, включая нуль, т.е.

а=О, ~1, ~2, ~3, ... (4.30) Тогда для спектра энергии (свободное движение) получаем согласно (4.24): Ро ао)оо клоаоао Е„ 2лоо Ялоо лооь' (4.3!) Если предположить, что частица находится на отрезке А А — — (х~ —, то из условия нормировки Д2 1 фф(2» (4.32) находим А=— 1 .гЕ Поэтому нормированная функция равна 1 2 — к мк ~/Г = ~Я (4.33) Легко показать, что волновые функции являются не только нормированными, но и удовлетворяют условию ортонормированности, в чем нетрудно убедиться путем непосредственного интегрирования Ц2 С/2 (л л )к 5(ля(л л ) 2л л л в(л — п ) -ЬГ2 — Г./2 Отсюда видно, что, полагая С-+. со, мы найдем, что ЛЕ->.

О, т, е. спектр энергии будет непрерывным, Таким образом, вводя искусственным путем длину периодичности, мы делаем непрерывный спектр дискретным. Однако, если в конечном результате длину Е, не имеющую особого физического смысла, стремить к бесконечности, то дискретный спектр становится непрерывным. В самом деле, из равенства (4.31) находим для разности ЬЕ между двумя соседними уровнями: (4.35) клал Учитывая, что Ли=1, а р=гиоо= —, находим ЬЕ = — о.

(4.36) дискретныи н непРеРНВный спектР % 41 Обобщим указанную задачу на трехмерный случай движения свободной частицы. Уравнение Шредингера в этом случае принимает вид: ( дха + д г+ д ' + й ) 2Р = О, (4.37) где ии2 ~~~~0 Е А' (4.38) где Величины пь п2 и п3 могут принимать любые целые как положительные, так и отрицательные значения, включая нуль. Полученные решения, так же как и в одномерном случае, удовлетворяют условию ортонормированности (423х = 44х 4(у 41г) ~(3х= б а б фи'и'аа ра а л л иа л иа п аа' 4 23 Г23 22 зиа а волновая функция, зависящая не только от координат, но и от времени, будет равна — — е-ЯМ4Е4-РН (4.43) 4 'А где р = йй, Е = — = —, (л2+ л22+ л2).

(4.44) ра 2яааа 2343 344ьа ! 2 3 ° г) Дельта-функ4(ия Дирака. Прежде чем излагать нормировку на дельта-функцию. необходимо остановиться на некоторых ее основных свойствах. Она представляет собою обобщение дельта-символа Кронекера — Вейерштрасса на непрерывные функции. Допустим, мы раскладываем некоторую функцию по полной системе ортонормированных функций ) (х) = ~ 7афа (х), (4А5) Накладывая на волновую функцию условие периодичности для всех трех координат ар(х, у, х) = ар(х+ Ь.

у. Е), ар (х, у, г) = ф(х, у+ Ь, г), (4.39) ф (х, у, г) = ф(х, у, г+ Е), находим, что общее решение равно ар (г) = — „е' м'>, (4.40) ниввлятивистскля квантовая мвххннка зо где система функций фь(х) подчиняется условию ортонормнро- ванностн' (4.47) (4.49) Величина ,Ее-«~ "~Чг (х') ф„(х) =б(х' — х, а) « (4.52) становится размазанной. Можно ввести и другие множители, которые делают сумму (4.52) сходящейся.

Поскольку в конечном результате (т. е. после интегрирования) мы полагаем множитель и равным нулю, то способ введения этого множителя может быть самым разнообразным. Величина (4.52) носит название размазанной дельта-функции. Саму жв дельта-функцию можно ввести следующим об. разом: б (х' — х) = Х ф'„(х') ф„(х). (4.53) ~ ф'„, (х) ф„(х) г1х = б„„,, (4.46) т. е. представляет собою орты в бесконечномерном, так называемом гильбертовом, пространстве. Этому условию, в частности, удовлетворяют собственные функции уравнения Шредингера. Умножая (4.45) на ф'„,(х) н интегрируя по всему пространству, мы найдем обобщенные коэффициенты Фурье 1;и 7„= ~ 1 (х') ф"„(х') Их'.

Подставляя (4.47) в (4.45), имеем; 7 (х) = ~~' ~ Нх' ) (х') ф'„(х') ф„(х). (4.48) В равенстве (4.48) вначале необходимо взять интеграл по Их', а затем вычислить сумму по и, поскольку сумма 2 ф" (х')$,(х) всегда явлиеавя расходящейся. Однако, если мы введем иеиоторый «обрезающийэ множитель, например, е-'ч'ч (и) 6) та.

ким образом, чтобы сумма ~ е-« ~ "!ф' (х') ф (х) (4.50) « стала сходящейся, то равенство (4.48) мы можем представить в виде1 7'(х)= 1нп ~дх'1(х')Яе «~«'ф" (х')ф (х). (451) а-э+О ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР $41 Рассмотрим конкретное выражение 6-функции Дирака в случае свободного движения. В этом случае решения для ортов в гильбертовом пространстве принимают вид (см. (4.33)) 2лл4 ф (х)==е ' л /— (4.54) 244Л Введем далее новую переменную л= — и учтем, что (Г,) Е (4.57) поскольку Ьа = !.

Если длину периодичности Ь стремить к бесконечности (М-+ О), то сумма (4.56) перейдет в интеграл + лл Р Ь(х' — х)= — ! 4)яе'24" "'= — ! 4!ясов я(х' — х), (4.58) 2я 44,.) о а для функции 7(х) вместо (4.45) будем иметь 1(х)= — ~ 4!й ') 4(х'~(х')соэ/г(х' — х). (4.59) о В равенстве (4.59) порядок интегрирования является весьма существенным: вначале по х', затем по й. Если же мы хотим изменить порядок интегрирования, то мы должны ввести размазанную дельта-функцию (а ) О): б(х' — х, а) = — „~ 4!ле лэ сов й(х' — х).

11 о Тогда равенство (4.59) принимает вид 1 (Х~= !!т '1 4!Х') (Х') — 1 4!й Е 22 СОЗ я (Х' — Х). (4.6!) а.+О 4 н / л Из равенства (4.54) следует условие ортонормированности 224 1 ! — 2(л-ло, 2ЩЕ(л — л') (4.55) )- 3 44(Л вЂ” О ) -Е42 Согласно (4.53) дельта-функция Дирака в этом случае равна Эта б(х' — х)= — ~~~~ ~е е (4.56) неРелятнвнстскАя квлнтоВАя мехлннкл [Ч 1 при а -+ О, (4.63) Если вычислить интеграл (4.60), то размазанная дельта- функция становится равной (см. рис.

4.4) б (х — х, а) = и аи + (х' — х)а ' (4.62) В самом деле, когда х = х' б(х — х, а)= — — -э оо а 1 ! я о когда х чь х' Ь(х' — х, а)= — „(,, — — О при а-эО, т. е. дельта-функция обладает следующим свойством: Г оо при х'=х, Ь(х' — х) = ~ (4.64) — 1, О при хнах. В случае интеграла Фурье дельта-функция равна ~Ю а б(х' — х) -а — о! а!й е'А <"-и = — з! ~И соз й(х' — х), (4.65) Г ! Г Б я о т. е.

имеет ту же форму записи (4.58), что и в результате пре- дельного перехода для ряда Фурье (4.56). Поскольку окончательный результат не зависит от способа размазывания, Дирак предложил равенство (4.59) записать в виде ~(х) — ~ с(х'~(х') ~ И соз й(х' — х), (4.66) о понимая его в смысле предельного перехода (см. (4.61)). Учитывая равенства (4.65) и (4.66) при наличии под инте- гралом дельта-функции, будем иметь ~ Ь (х' — х) 7 (х') дх' = 1 (х).

(4.67) Точно так же, принимая выражение (4.64), имеем (Ь > а) ь а ~ 7 (х') Ь (х' — х) дх' = — ~ 7 (х') Ь (х' — х) Их' а ь ) (х) при Ь > х > а, (4.68) О при х>Ь или х<а, т.е. для того, чтобы получить отличный от нуля результат, точ- ка х должна лежать в области интегрирования а ( х ( Ь. Несмотря на то, что дельта-функция обладает необычными для функции свойствами (см. (4.64)), с ней мы можем обра- ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР бз х'=х Рнс. 4.4. Размазаннаа дельта-Функция. Рнс. 4.5, производная от дельтаьфункцнн 4размазанноАЬ (4.62), а в окончательном результате параметр размазывания а стремить к нулю.