Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 8

наряду с глав. ным максимумом, лежащим в центре, мы будем иметь ряд относительных максимумов, расстояние между которыми зависит от размеров дифракционной щели и от дебройлевской длины волны. Такую же картину мы получим при последовательном пропусканин отдельных фотонов. Таким образом, приходится пересмотреть вопрос о причинности в теории движения точечных частиц. Если по классической .механике при известных силах и начальных условиях мы можем точно и однозначно предсказать траекторию движения частицы и ее скорость, то по квантовой механике мы можем предсказать лишь вероятность того, по какому направлению и с какой скоростью или импульсом точечный электрон будет двигаться, причем точность предсказания ограничена соотношением неопределенностей (см.

(!.60)) йр„бх) Ь. (3.2!) Вокруг этого вывода разгорелись большие методологические дискуссии. Одна из попыток объяснить некоторую «свободу» поведения основана на введении так называемого принципа дополнительности (Бор, Гейзенберг). Согласно этому принципу соотношение неопределенностей возникает благодаря тому, что воздействие наблюдателя на объект нельзя свести к нулю.

Для иллюстрации принципа дополнительности можно привести следующий пример. Допустим, что мы хотим определить положение электрона с помощью ультрамикроскопа. Если электрон будет двигаться на таком расстоянии от объектива, что угол между падающим и рассеянным пучками света с длиной волны Х окажется равным ф, то согласно законам оптики координату электрона х в некотором направлении, параллельном плоскости объектива, можно измерить с точностью до величины Лх — —. л (3.22) маф 4 4! ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 43 Тем не менее объяснение возникновения вероятностного характера теории движения электрона с помощью введения неконтролируемого воздействия наблюдателя не является удовле.

творительным, так как с его помощью нельзя понять все выводы квантовой механики. Вероятностный характер квантовой теории (т. е. отсутствие однозначной предсказуемости результатов измерений) свидетельствует лишь об ограниченности применимости лапласовского детерминизма и носит, бесспорно, объективный характер. Таким образом, квантовая механика независимо от приборов и способов наблюдения должна описывать объективные закономерности микромира. й 4. ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА а) Потенциальная яма.

Рассмотрим одномерные задачи (движение вдоль оси х) н выберем простейшую зависимость потенциальной энергии от расстояния. Для так называемой прямоугольной потенциальной ямы эта зависимость определяется выражением (см. рис. 4.!) )ль пРи — со < х < 0 (область Т), 'г'(х) : 0 при О (х < ! (область П), (4. !) при ! < х < со (область ! П)' Для дискретного спектра энергия Е должна быть меньше потенциальной энергии на бесконечности, т.е.

должно выполняться соотношение Е < )то. Тогда стационарное уравнение Шредингера (см. (3.1)) для области П должно иметь внд тРы + яттР = О, (4.2) где иха п~ "и' ы 'Латад Р а' Рис, СЗ. Даилсеиие часта ы а потел. Пиалаиоа аие. Общее решение уравнения (4.2) будет (потенциальная яма) тр = Ат з!и (йх + б), (4.4) где Аз и б — произвольные постоянные. В областях I н П! уравнение Шредингера может быть представлено в форме тРЯ вЂ” хитр = О, (4Л) 22ирилйтивистскля кВАнтОВАя мехАникА 44 где тз (т — л) л л (4.6) (4.10) т. е. находим (4.1 1) Точно так же получим в точке х=1 1а(й1+ б) = — — „". (4.12) Равенства (4.11) и (4.12) могут быть приведены к виду з!п б= — и з(п (е1+ б) = — —, А А (4.13) хе хв ' где хр=л/2т„1/,/л, т.

е. х= 2/х' — ер. Решение уравнения (4.5) (потенциальный барьер Ур) Е) Ф з= Аьзе"к+ В2ле-"к (4.7) (Аьа и Вь з — произвольные постоянные) содержит две части: экспоненциально убывающую н экспоненцнально возрастающую (см. рис. 4.2). Собственные значения для энергии электрона находятся из граничных условий, согласно которым экспоненциально возрастающее решение должно обращаться в нуль. Для этого мы должны положить в первой йнаюнпицпппьна области А2 = А и В2 — — О, в Ра ающееРеше "е третьей Области А.

=' О, и ртху Ва = Ве"'. Тогда будем нпнпнпнцпппь- "МЕТЬ НП2тнзННПУПУЦИЕ ф2 — АЕКК АЕ-и ! К ! Е 'Р' ,упьуение (4.8) Е>Я при х< 0, Е Ж фз=Ве н< -Л (4.9) Рис. Е.з. Волновая функция нрк некотороМ виа при х >1. венин Е. За ось абсцксс яля волиовоя функции взят виертетиеескна уровень. «Сшивая» волновые функ- ции ер, и еря в точке х = О, а также ерр и фр в точке х = 1 (под «сшиванием» мы будем понимать приравнивание волновых функций и их производных в заданных точках), получим для точки х = 0 Азз)п 6 =А, Азйсозб =хА, дискпнтныи и нвппипывныи спнктп Исключая из уравнения (4.13) величину 6, находим для определения собственных значений уравнение й я/ = пп — 2 а гез(п —, но ' (4.14) (4.15) Отсюда для энергии Е, (собственные значения) и для соответствующей волновой функции (собственные функции) получаем Е =— (4.18) х оро = А„з(п пп— (4. 17) В этом случае фаза 6 согласно (4.!3) обращается в нуль, а выражение для волновой функции (4.17) имеет место внутри потенциальной ямы О (х ~ !.

В потенциальном барьере ор, обращается в нуль (н-о. со). Коэффициент А, может быть найден из условия нормировки фт г(х = А' ! з1п'пп —" с(х = — А' = 1. л ! 2 а о Отсюда находим собственные функции /з . х ор тг — з1п па— и о (4.18) (4.19) которые удовлетворяют и условию ортонормированности ~ оР„,'Ф„с(х=О при и'Фп. (4.2С) а ') Случай го ( Е, когда спентр энергии будет непрерывным, мы рассмотрим на белее простом примере.

где а = 1, 2, 3, ... — целые положительные числа. Поскольку величина /е ) О (см. (4.3)), а аргумент — = т/ — < 1, мы /в но ро й всегда можем (учитывая, что л — целое число) считать агсз1п— и о лежащим в пределах от О до —. В общем случае уравнение 2 ' (4.14) можно решить графически. Рассмотрим сначала более подробно случай )го Ль Е о), например, когда потенциальная яма ограничена бесконечно высог' й кими потенциальными стенками ~ — = О). Тогда из уравнения но (4.!4) находим ЫЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1ч.

! В этом нетрудно убедиться, подставляя в (4.20) вместо ф„, и рРа их значения из (4.19). Выпишем некоторые конкретные выражения для собственных значений Е, и собственных функций тРа, соответствующие наименьшим квантовым числам п = 1, 2, 3: — з!п /2 т' 2 Фг — — А„т — з1П ='Ч ~ /2 тра = '~/ — зш ='Ч 1 итар Е,= —, 2нтрп ' лк при п=1, 2лх (4.21) при п=2, Еи = 4ЕИ Ез =9ЕИ при п= 3. ро.-' т которые представляют собою пучности (р = — ) и узлы (р=0) 2с х =~) колебаний. Например, при п = 1 пучность будет находиться в г точке х= —, т.е. в середине.

Вообще же квантовое число и будет определять число пучиостей. б) Непрерывный спектр. Непрерывный спектр мы рассмотрим на примере свободного движения частиц. В простейшем одномерном случае, когда иа всем интервале изменения коорди. Эти решения изображены на рис. 4.3. Они очень похожи на известные решения для колебаний струны, которые образуют стоя- чие волны.

Случай и = 1 у=0 соответствует основному р уер,свист т . тону, случай и = 2— е ет первой гармонике и т.д. Наконец, найдем плот- д, 2тгв' ность заряда и плотность ф= у"и тока при движении частиц в потенциальной яме. и— т Ты~У~ Прежде всего заме- тим, что для веществен- у в Х ~ .~ ет ных волновых функций Рис. рд. Частица н иотенааааьное имс с ассионееио согласно (2.26) ПЛОТНОСТЬ смсокнми стенками. тока всегда равняется нулю (1и = О).

Этот результат вполне естествен, так как колебания представляют собою стоячие волны, которые не могут образовывать потоки частиц. Для плотности заряда по той же формуле находим значения р= — з1пт— 2с . тило (4.22) дискгвтныи и няпгкзывныи спекгз 47 зи наты х ( — оо ~ х ( оо) потенциальная энергия обращается в нуль (У = 0), уравнение Шредингера принимает вид ф" +йзф=а, (4.23) где й=ф. (4.24) Оно имеет решение ф = Ае'""+ Ве '"". (4.25) Отсюда видно, что первое решение Ае-д"'-зм описывает движение волны в одном направлении оси х, а второе Ве-ка'+~"> — в противоположном. Волновое число й может принимать как положительное, так н отрицательное значение. Тогда одно первое решение может описать оба случая.