Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Оказалось, что, ограничиваясь рамками классической теории, невозможно построить разумную теорию равновесного излучения (см. ниже). Для того чтобы построить теорию, находящуюся в согласии с опытом, Планк в 1900 г. выдвинул совершенно новую гипотезу, коренным образом изменившую ряд фундаментальных представлений классической физики.
Согласно гипотезе Планка энергия микроскопических объектов (атомов, молекул) может принимать не любые непрерывные, а только определенные дискретные значения. В частности, для осцнллятора энергия должна быть кратной некоторой минимальной энергии 64», где ы — частота колебаний осциллятора, а й — некоторая постоянная величина, т. е. Е„= лй42, (1.!3) гдеп=0,1,2,3, Заметим, что Планк записывал соотношение (1.13) несколь ко иначе: Е„= пЫ.
(!.1За) Последняя запись совершенно эквивалентна (1.13), если учесть, что обычная (не круговая) частота т = 4э/2я, а постоянная Ь = = 2лй. В дальнейшем выяснилось, что использование 4а и й вместо т и Ь представляет определенные удобства. Исходя из формулы (!.!За), Планк получил следующее вы ражение для спектральной плотности равновесного излучения: (1.! 4) где Ав — постоянная Вольцмана. Из формулы Планка легко получить плотности излучения 224 о Формулу для обычной 444 (1.15) известную как закон Стефана — Больцв4аяя, открытый эмпирически еще до появления формулы Плаэ2кл, а также закон смещения Вина 2яса пеяелятивистская кВА!!товяя лтсха!и!кя 1ч определяющий ту длину волны Амаяк которая соответствует максимуму излучения, если от плотности р(ет) перейти к плотности р(Х). Поскольку значения постоянной Стефана — Больпмана (и= 6,67 10 — а г с-'град-'), а также постоянной Вина (Ь = = 0,29 см град) были известны из эмпирических данных, Планк нашел численное значение для величины й = 6,626 10-" эрг с, получившей название постоянной Плавка "), а также и значение для постоянной Больпмана йв — — 1,38 1О е эрг ° град ', при.
чем численное значение для постоянной йв было известно из других данных (например, из классической статистики, так как постоянная йв определяет функпию распределения Максвелла — Больцмана 1 = Ае емвг). Подчеркнем, что дату введения Планком его постоянной (!900 г.) можно считать днем рождения всей современной квантовой теории. При переходе от квантовой к классической теории мы должны положить й = О.
Тогда формула Планка переходит в известную классическую формулу Рэлея — Джинса езя р(ез)= —,, йвТ, (!.17) приводящую для суммарной плотности излучения к расходящемуся результату: авт, е о Это означает, что, вопреки всем опытным данным, в классиче. ской теории не может быть установлено состояния термодииамического равновесия между нагретым телом и излучением, Вообще говоря, классическая формула Рэлея — Джинса правильно определяет кривую спектрального распределения лишь в области малых частот (д!о « йвТ). В области же больпгпх частот (йот» явТ)она дает явно абсурдный результат, названный Эренфестом «ультрафиолетовой катастрофой».
Только после появления квантовой теории Планка «ультрафиолетовая катастрофа» была ликвидирована, При выводе своей формулы Плаик предположил, что энергия осциллятора может принимать лишь дискретные значении. Однако это новое свойство осциллятора в первоначальном варианте теории осталось физически необоснованным (точнее„сам Планк «особые свойства» старался скорее приписать только нв- *) для постояииая З = Ь/зя, которая также носит вазваиве постояииой Плапва, получим зиачеиие Л = 1,055 1О-м зрг с. Введении гретому телу, т.
е. осцилляторам, а не электромагнитному из. лучению). Эйнштейн сделал второй крупный шаг на пути развития теории «квантов», а именно, он выдвинул новую гипотезу, согласно которой вопрос о дискретности энергии осцнллятора самым тесным образом должен быть связан с тем фактом, что само электромагнитное излучение состоит из отдельных корпускул — фотонов, несущих энергию Ьы.
Согласно Эйнштейну, электромагнитное поле можно рас. сматривать как совокупность частиц в фотонов с массой покоя. равной нулю, и энергией (1.18) Для импульса фотона при этом получается соотношение р=» — =й —.=дй, о"" юд с к (1.19) где й= — — волновой вектор, й — единичный вектор в на2яао о х 2я правлении импульса фотона, й = — — волновое число. л На основе этих представлений Эйнштейном в 1905 г. была построена количественная теория фотоэлектрического эффекта. Это явление, открытое Г.
Герцем в 1887 г., было подробно исследовано выдающимся русским физиком А. Г. Столетовым. Одно из проявлений фотоэффекта заключается в том, что при освещении светом достаточно большой частоты искра между двумя заряженными шариками проскакивает при значительно меньшем значении разности потенциалов между ними посравнепию с тем, когда свет отсутствует. Для объяснения этого явления Эйнштейн предложил простое уравнение о 2 = йв — йг, представляющее собой баланс энергии и означающее, что кинем,»' тическая энергия — вылетевшего электрона должна быть 2 равной разности энергии поглощенного фотона Ьв и работы выхода В' электрона из металла.
Очевидно, что если йы ( (Р', то электроны не могут выйти из металла. Только в том случае, когда энергия падающих фотонов превысит величину (р, электроны вырываются из металла. Экспериментальная проверка теории фотоэффекта Эйнштейна блестяще подтвердила основной вывод о том, что энер. гия вылетевших электронов зависит только от частоты (но не от интенсивности) падающего света, причем фотоэлектроны на. чицают вылетать тогда, когда частота света гэ будет превышать (ч.
е неРелятивистскАЕ квхггтоеАя мехАникА' гв некоторое предельное значение вг а ) —. а Весьма убедительно выводы теории фотонов были подтверж. дены экспериментально в 1923 г. при исследовании рассеяния рентгеновских лучей свободными электронами — эф4екга Комптона. Эффект Комптона интересен еще и в том отношении, что им проверяется не только закон сохранения энергии (как в теории фотоэффекта), но и закон сохранения импульса. Как известно, в классической теории при рассеянии света свободными электронами его частота не изменяется (а' = а), Может уменьшиться лишь интенсивность падающего пучка, так как часть энергии идет на раскачку электронов.
По квантовой же теории часть энергии фотона е = Йа передается электрону, и поэтому энергия рассеянного фотона е' = г!а', а вместе с тем и его частота, вообще говоря, должны быть несколько меньше (е'< е, а' < а). Чтобы найти зависимость частоты от угла рассеяния, папи шем законы сохранения энергии и импульса, рассматривая не только электроны, но и фотоны как частицы (см. рис. 1.1): Йа — Йа'=се(т — то), ЙЙ вЂ” ЙЙ'=ти. (1.20) Здесь те и я!=те/1/11 — р — масса электрона соответственно до (электрон покоится) и после столкновения, о — его скорость, Рнс.
!.!. Рассеяние свста на свободном элентране (эффент Комнтона]. 1) = о/с, ЙЙ = Йа)с и ЙЙ' = Йа'/с — импульс фотона соответ» ственно до и после рассеяния. Перепишем уравнения (!.20) в виде ст » СЕР а — а = — (т — то) л » з Возводя эти равенства в квадрат и вычитая затем первое ра венство из второго, получаем аа'(1 — соз б) = — '(са — са'). л 19 ВВЕДЕНИЕ Замечая далее, что Л= 2ис/ы и Л' = 2лс/сс', после деления (1.22) на ыы' находим выражение для увеличения длины волны рассеянного света бЛ=Л вЂ” Л = 2Лсз(п —, / . яо 2 ' где Лс — кожптоновская длина волны электрона Лс= — = — — — 2,4 ° 10 см. 2ла а -1о ы,с тсс (1.24) Таким образом, мы видим, что с точки зрения квантовых представлений длина волны рассеянного света Л' должна быть больше начальной Л (Л' ) Л), так как сс' ( а.
Это увеличение тем существеннее, чем больше угол рассеяния О. Поскольку комптоновская длина волны Лс — малая величина, комптоновское рассеяние экспериментально наблюдалось, как правило при сравнительно малых длинах волн (рентгеновское излуче. нне, гамма кванты). В самом деле, для видимого света (Л— 10-4 см) — — 10 = 10 с/О, Лс -з -з Л (1.25) для рентгеновских же лучей (Л 10 '-: 10 ' см) — '-1О '=!ОЙ. Л (! .26) в) Волковвсе свойства электронов.
Согласно гипотезе де Бройля поток свободных электронов, обладающих энергией Е и импульсом р, связанными между собою соотношениями (1.7) и (1.11), должен обладать и волновыми свойствами. Соответствующая частота и длина волны должны быть равны Е=йе, Л= —. (1.2?) Длина волны Л для пучка электронов получила название дебройлевской. Таким образом, соотношения Эйнштейна, сформулированные им для фотонов, обобщаются и иа электроны, т. е. носят универсальный характер. В том и другом случаях мы мо. жем их записать в виде: Е=йв, р=йй. (1.28) Прежде всего определим порядок величины дебройлевской длины волны, которую практически можно получить для пучка электронов.
Для того чтобы исследовать волновые свойства электронов, необходимо прежде всего получить монохроматнческнй нерелятивистская квлнтовАЕ мехАника 1ч в (по скоростям) пучок электронов. Такой пучок может быть получен в приборе, называемом «электронная пушка», где электроны в вакууме ускоряются, проходя некоторую разность потенциалов между электродами. Скорость электронов о может быть найдена из соотношения (1.29) где Ф вЂ” потенциал между катодом и анодной сеткой, выраженный в вольтах, а ее в значение заряда электрона.
С помощью (1.27) находим соответствующую дебройлевскую длину волны Л вЂ” —— й Ьа/!ЗО 1,2 1Π— см. (!.30) тов 1/таеоФ Ч/Ф Заметим, что выбор величины потенциала Ф ограничен некоторым минимальным значением 15 — 20 В. Такой потенциал должен сообщить электронам энергию, большую, чем энергия хао. тического движения электронов в металле. При этом деброилевская волна электронов будет иметь примерно ту же длину Л = 10-а см, что и мягкие рентгеновские лучи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
