Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Впервые волновые свойства электронов были обнаружены в опытах по дифракции электронов Дэвиссона и Джермера (1927). Поскольку длина волны де Бройля для электронных пучков имеет порядок 10-а см, в качестве дифракционной решетки, так же как и в случае мягких рентгеновских лучей (опыты Лауэ), был выбран кристалл, постоянная решетки которого соизмерима с длиной дебройлевской волны Л. Обобщая методику, разработанную Дебаем — Шеррером для рентгеновских лучей, на случай электронных волн, П.
С. Тартаковский и Г. П. Томсон (1928) пропустили через поликристаллнческую пленку не рентгеновские лучи, а пучок электронов. Онн получили вместо рентгенограмм так называемые электронограммы о). В настоящее время электронограммы наряду с рентгенограммами находят большое практическое применение при изучении строения кристаллов. Следует заметить, что формула де Бройля применима не только к электронам, но и к другим частицам, например протонам и нейтронам, даже к сложным атомам и молекулам. Правда, благодаря сравнительно большой массе этих частиц длина их дебройлевской волны чрезвычайно мала.
Однако Штерну и Эстерману удалось наблюдать дифракцию атомов гелия и молекул водорода при отражении от кристаллов 1.1г'. о) Смк Тартаковский П, С. Экспериментальные основания волновой механики. — Л. — Мс ГТТИ, 1932. 21 введении Весьма эффективным оказался метод исследования структуры вещества, основанный нг днфракции нейтронов.
Дело в том, что нейтроны не обладают электрическим зарядом и поэтому даже в случае малой энергии (так называемые тепловые нейтроны), когда длина волны де Бройля практически еще отлична от нуля, свободно проходят сквозь вещество. Все перечисленные выше факты с полной убедительностью говорят о том, что волновые свойства в принципе должны обнаруживаться у всех частиц. Гипотеза де Бройля заложила основы развития новой отрасли физики — электронной оптики, изучающей волновыесвойства электронных пучков. Важным приложением электронной оптики явилось создание электронного микроскопа, разрешающая способность которого гораздо выше, чем у обычных оптических приборов*). Действительно, верхний предел разрешающей силы (а значит, и увеличение) обычного микроскопа определяется длиной волны света.
Чтобы сделать увеличение по возможности большим, необходимо было как можно сильнее уменьшить длину волны света. Однако такое уменьшение возможно только до некоторого предела. Нельзя, например, построить рентгеновский микроскоп, поскольку для рентгеновских лучей не существует соответствующих линз. Вместе с тем электронные пучки достаточно легко могут фокусироваться с помощью воздействия на них электрического и магнитного полей («электрические» и кмагннтные» линзы). Этот принцип использован в электронных микроскопах. г) Фазовая скорость.
Как известно, движение монохроматической плоской волны вдоль оси х можно описать функцией (!.31) ~р = Ае- г (ег-*к) Скорость распространения волны может быть найдена как ско- рость перемещения постоянной фазы ю1 — йх = сопз1. (1.32) Тогда, если время изменится па величину И, то для того, чтобы соблюдалось условие (1.32), координата должна измениться на величину Лх, которая может быть найдена из равенства ш(1+ Ы) — й(х+ Лх) =ш1 — йх, ') Современные оптические микроскопы дают увеличение примерно в одну — две тысячи раз. Электронный же микроскоп позволяет получить увеличение более чем в миллион раз.
В настоящее время, кроме электронного микроскопа, используется такиге протонный микроскоп, разрешающая сила которого превышает разрешающую силу электронного микроскопа. незвлятивнстскля квАнтовАя мехАникА [ч. 3 т. е. гоИ вЂ” йЬх=О. Отсюда находим скорость распространения постоянной фазы, получившую название фазовой скорости и Ьх ы АГ А' (1.34) В частности, как для света, так и для электронов имеем (см. (1.7) ) з) , ~рт+ т„'сз р А а ' А ' (1.35) т. е. фазовая скорость фотонов (лге — — 0), как и следовало ожи.
дать, равна скорости света и= — = с. (1.36) Для того чтобы определить фазовую скорость в случае алек. трона, двнжушегося со скоростью о, можно вместо (1.35) нанн. сать (см. (1.11)) Е тсз гпо от= — = — й = —. А А' Я' (1.37) Тогда фазовая скорость должна быть равна сз и= — )с, о (1.38) д) Групповая скорость и волновые пакеты, Согласно прин. ципу суперпозиции сумма (или интеграл) частных решений ~у,(х,1) (или их линейная комбинация) также должны быть ре. шепнем волнового уравнения, т. е, р(х, Г)=ЕС,р,(х, 1), (1.39) где С~ — некоторые постоянные коэффициенты, которые, не на рушая обшности, можно положить равными единице (С~ = 1), Принцип суперпозиции имеет место лишь для линейныхвол.
новых уравнений, как, например, для уравнений классической ') При исследовании фазовой и групповой скоростей для знергни Е мы будем писать релятивистское выражение. Тогда ее связь с импульсом р имеет место не только для злектронов, во и для фотонов. т. е. она становится больше скорости света, поскольку о ~ с, Результат (1.38) говорит о том, что фазовая скорость не мо- жет соответствовать движению частицы или же переносу ка. кой-либо энергии.
введении электродинамики, описывающих распространение электромаг. нитных волн в вакууме, или для уравнения Шредингера, которое описывает движение электронов (см. ниже). Для нелинейных уравнений, например уравнений Эйнштейна для гравитационного поля или уравнений нелинейной оптики, принцип суперпозиции ие выполняется. Волны де Бройля, по предположению, являются линейными, и поэтому для них принцип супер- позиции оказывается справедливым. Введем теперь понятие групповой скорости.
Как известно, реальный волновой процесс не может быть чисто монохроматическим (к = сопя(). Он всегда должен обладать определенной шириной, т. е. состоит из набора волн, обладающих, например, близкими волновыми числами, а вместе с тем и частотами. С помощью набора волн можно построить так называемый волновой пакет, амплитуда которого отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, которую естественно можно связать с местоположением частицы.
Найдем скорость распространения максимума амплитуды волнового пакета, которая и получила название еруппавой скорости. Для примера образуем волновой пакет из набора плоских волн, для которых волновое ьа йь число изменяется в пределах от йо — — до йо+ —. Ради про- 2 2 стоты предположим, что каждая из этих волн имеет постоянную амплитуду А/Ьк = сопэ1.
Тогда согласно принципу суперпозиции (1.39) общая волновая функция должна равняться сумме или интегралу этих плоских волн ьо в+в 2 ,р.(» 1) $ е-~ ьл-опйй А ла (1,40) Частота в в данной задаче является функцией волнового числа й. Если эту зависимость пока что не конкретизировать, то тогда, раскладывая частоту в в ряд Тейлора, будем иметь вИ)=в(йо)+(й — йо)в'(йо)+ 2 ' в"(йо)+ (141) нли в (й) = во + в1 + во + в(й)= о+(к — йо)в'+ ..., (1.42) Если мы ограничимся членами первого порядка малости, то тогда будем иметь НВРВЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МВХАНИКА ~ч.
1 причем отброшенный член, который определяет предел точно. сти нашего разложения, равен (1.43) Подставляя (1.42) в (1.40), найдем: ,р(„1) Ве-о(ойдо-Аом причем коэффициент В равняется ьо го+в В= — $ е '( о)("о ~)ой — А ьо А»вЂ” (1.44) (1.45) где 2 (1.46) Отсюда видно (см. (1.33)), что амплитуда В будет распростра. няться со скоростью й=а„'=( — )„ (1.47) оге оор (1.48) В частности, для фотонов (лоо = О) групповая скорость, так же как и фазовая, равна скорости света в вакууме й= и =е. (1.49) Для дебройлевских волн мы будем иметь, учитывая (1.37), й =-ф- и, (1.50) т. е.
групповая скорость совпадает со скоростью движения частицы. Рассмотрим далее пространственное распределение волно. ного пакета. Полагая 1= О, имеем согласно (1,46) ЬФ $= — х. 2 Квадрат амплитуды волнового пакета ООВО $ Вг Ао и„ $ ооо (1.52) получившей название групповой. Если использовать соотношения (1.35), то групповая око. рость равна вввдвннв 4П достигает главного максимума в точке 5=0 Вх (0) 4Р (1.53] Зн Относительные максимумы для В' в остальных точках $ = -Ь вЂ” „ бм =и — и т.
д. будут резко уменьшатьсш 2 В ~~ — ) — А — А З ' 4 2 ) 9пт 20 В ~-Ь вЂ” ) = — А — А и т. д. Змт 4 2 ) 25мт 00 з т аа ал г (1.54) т. е. ширина волнового пакета Ьх связана с интервалом волно- вых чисел Ьй соотношением Ьй ° Ьх р 2п. (1.55) Для наглядной иллюстрации приведем графики дебройлевских волн при 1 = 0 как для монохроматической волны Рно ЬК Форма монохроматичачкоа иохим при З О.
Амплитуда указана изтриховоа иииича. полна — аплошиор. (рис.1.2), так и для группы волн (волновой пакет) (рис. 1.3), Для простоты положим амплитуду А = 1. Поскольку для монохроматической волны Ьй=О, — и — =1, а1и $ то по оси абсцисс (см. рис. 1.2) мы откладываем координату х. Фазовая скорость равна и, причем в точках 5 = ~п, ~2п и т. д.
квадрат амплитуды обращается в нуль. Учитывая все это, можно считать, что область локализации основной части волнового пакета Ьх находится в окрестности главного максимума. Практически эта область не меньше, чем половина расстояния между первыми нулями функции $(~п), т. е. Ь$ = и. Отсюда согласно (1.51) имеем НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1ч. ( Для группы волн по оси абсцисс мы откладываем $. Ампли. Зплй / Вй туда — ~~= — х) изображена пунктирной линией, а волновая функция — сплошной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
