Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Мы видим, что волновая функция практически сосредоточена в главном максимуме Л$ я. Вол. сз новая функция распространяется с фазовой скоростью и = — „. а амплитуда с групповой й = О. ктйлллтрл Рис. ЬЗ. Форма волиовото наката прв 3 0 дли дсбройлсвских волн (Ьй ). Акилле лх а )' а!п с туда — указана штриховой лпнпсй, волна †сплошн. 3 Аналогичным способом мы можем исследовать временную локализацию волнового пакета.
Полагая в (1.46) х = О, найдем Ьй ззш Ьш 2 йй 2 (! .56) Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, мы из ра венства (1.56) получаем Лай ° М ~ )2я. (1.57) Выражения (1.54) и (1.57) имеют место для любых волно. вых процессов (линейных). В частности, выражение (1.57) хо рошо известно из оптики и связывает ширину спектральной ли нии с длительностью излучения. Член второго порядка малости (см. (143)), который мы от.
бросили в разложении (1.41), определяет время расплывания волнового пакета. В самом деле, когда величина йуй( становится порядка 233, линейное разложение (1.42), входящее под знаком В(п $, теряет свой смысл, 27 введенив эи Если волновой пакет образован в момент 1= О, то тогда имеем ( = б(, где величина М равна искомому времени расплы.
вания, Из соотношения (1.43) находим т. е. 2я ет,э (М)'— их~ (1.58) Если воспользоваться соотношением (1.55), имеем (Лх)~ и'и 2я— еьз (1.59) Напишем выражения (1.55), (1.57) и (1.59) для дебройлевских волн пучка электронов. С помощью соотношений (1.35) мы можем их представить соответственно в виде Ьр Ьх) Ь, (1.60) (1.61) (Ах)~ ея 2яа— ер2 (1.62) Соотношение (!.60) называют обычно соотношением неопределенностей Гейзенберга. Из него следует, что чем уже Ьр, тем шире Ьх. В частности, для монохроматической волны Ьр-+ 0 величина Ьх -ь со (см.
рис. 1.2), где амплитуда во всем про. странстве имеет одно и то же значение, т. е. положение частицы (одномерный случай) во всем пространстве в равновероятное. Выражение (1.60) легко обобщить и на трехмерный случай. Тогда оно будет иметь место не только для координаты х, но и для координат у и х (три соотношения). Более точный вывод соотношения неопределенностей мы произведем ниже.
Выражение (!.6!) получило название четвертого соотноше. ния неопределенностей. Исследуем, наконец, время расплывания волнового пакета, определяемое равенством (1.62). ФЕ В частном случае фотонов Е = ср. Поэтому — „, =О, а вре ее* мя расплывания волнового пакета обращается в бесконечность (Ы-ь со), т. е, пакет фактически не расплывается. нвовлятнвистскАя кВАнтовля меххпика 2$ Для дебройлевских волн, т. е. для частиц с массой покоя, отличной от нуля, получаем из (1.35) оЕ сор сор р ар Е тс~ ес Если мы ограничимся рассмотрением нерелятивистского случая (а! = спо), то будем иметь кон ор (1.63) Тогда для времени расплывания волнового пакета находим выражение Д! с'о (Дх)2 (1.64) В случае макроскопической частицы, масса которой равна, например, 1 г, а размер Дх — 0,1 см, время расплывания чрезвычайно велико: Д! 1Ооо с.
(1.65) В случае же электрона спо — 10-о' г, Дх 10-о см (размеры атома) волновой пакет расплывается практически мгновенно Д! 10 'тс, (!.66) й 2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА а) Уравнение Гамильтона — Якоби. Как известно, в классической механике движение частицы можно описать, задав ее функцию Гамильтона Н = Н(г,р, !) и решив соответствующие канонические уравнения при определенных начальных усло. виях. Если Н не зависит от времени явно, т. е. дН(д! = О, то канонические уравнения имеют интеграл — интеграл энергии (2.1) т. е. для описания электрона в атоме мы должны использовать волновое уравнение. Явления, которые подтверждают волновые свойства электронов, были упомянуты нами выше.
После того как мы рассмотрели качественную картину связи корпускулярных и волновых свойств, мы перейдем к строгим уравнениям, описывающим волновые свойства электронов. В последующих параграфах этой главы мы рассмотрим волновое уравнение Шредингера, с помощью которого можно исследовать движение электронов с нерелятивистскими скоростями. тэлвнаниа шгадннгага где Š— энергия частицы, а функция Гамильтона при наличии потенциальной энергии У(т) равна Н 2т + У(г) Ф (р — импульс частицы, гпь — ее масса). Функция Гамильтона (2.2) соответствует нерелятивистскому случаю, когда скорость о = р/лгь частицы много меньше по величине скорости света (в « с). С другой стороны, для описания движения частицы можно воспользоваться уравнением Гамильтона — Якоби.
Для этого рассматривают действие частицы как функцию конечного положения частицы т и времени ! (2.3) где Ь = Е(г, и, () — функция Лагранжа частицы (Е = пр — Н). Частные производные определенной таким образом функции действия В(г, !), как известно, равны Чс — р (2.4) — = — Н дь" (2.5) После подстановки в функцию Гамильтона (2.2) значения импульса (2.4) соотношение (2.6) приводит к уравнению — — — (ЧВ(т, !))'+ У. д5(о /) 1 (2.6) Это дифференциальное уравнение для В носит название уравнения Гамильтона — Якоби. В том случае, когда потенциальная энергия У не зависит от времени, уравнение (2.6) имеет интеграл Б(т, !) = — Е(+ В(т).
(2.7) Подставляя это выражение для 5(г, г) в уравнение (2.6), для определения функции В(г) получаем следующее уравнение: Е = — (ЧВ (т))'+ У (г ), (2.8) называемое стационарным уравнением Гамильтона — Якоби. б) Волновое уравнение для электронов. Для того чтобы учесть волновые свойства электронов, характеризующиеся дебройлевской длиной волны Л, необходимо произвести обобщение уравнения Гамильтона — Якоби, записав волновое уравнение иггвлятивистскля квлнтовля мгхлиикл !ч. ! зо Шредингера. 0 строгом выводе подобного уравнения ие может быть и речи. Его следует рассматривать как некое постулиро.
ванное уравнение Чз»)» + $'»)», а д»!» Во (2.9) д! 2то где о(» — волновая функция, физический смысл которой будет выяснен ниже. Для комплексно-сопряженного уравнения Шредингера имеем — — = — — Ч'»(»*+ У»р'. д»1»о ао дт 2то (2.10) Уравнение Шредингера должно удовлетворять ряду пре. дельных условий. Прежде всего при й-о 0 ово должно переходить в уравнение Гамильтона — Якоби, т. е. волновые свойства электронов должны исчезать. В справедливости такого перехода легко убедиться, если вместо волновой функции»р ввести функцию 3 яри »томощи соотношения ф (г о) — Аен/л]з(н о» (2.11) Учитывая равенства ЧФ= а (Ч3)Ф Ч'ф = — ф (Чз)о р+ —,' (Ч»3) ф, (2! 12) — — = — (Ч8)о — — Ч»Я+ У дд 1 гл д» 2то 2то (2.13) Полагая в последнем уравнении Ь-~.О, находим уравнение Гамильтона — Якоби (2.6), причем функция 5 в данном предель.
ном случае представляет собой функцию действия. Уравнение (2.!3) совершенно эквивалентно уравнению Шре. дингера. Если бы нам удалось решить точно уравнение (2.13), то мы могли бы найти и волновую функцию. Второй предельный случай, который мы хотим рассмотреть нв базе уравнения (2.9),— это случай свободного движения.
Когда потенциальная энергия отсутствует (У= 0), уравне. иие (2.9) допускает точное решение, преобразуем уравнение (2.9). Поскольку волновая функция»р в результате данного преобразования должна входить во все члены лишь множителем, мы ее можем сократить. Тогда полу. чаем: УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Волновая функция в этом случае равна ф —,4Е-((дч (е(-Рс1 (2.14) Подставляя (2.14) в (2.9), получим известное классическое соотношение между энергией и импульсом частицы при отсут. стяни внешних сил: р2 Е= —. 2то (2.15) В случае, если ось х мы направим по импульсу р, то будем иметь ф= Ае ("2>(е( Р"(.
Принимая во внимание, что движение плоской волны опре деляется соотношением сх Ае — ((а( — Ам 4е '(" АГ (2.16) найдем Е = й(с = йт, р = йй. Полагая л(с = О, мы найдем волновое уравнение для фото< иов, Уравнение же Шредингера из него получается, если мы положим ЕР- = Е+ п(сс2 и предположим, что р чг, л(сс, тогда г РХ2 можно отбросить члены второго порядка малости ~ — ~ . С Таким образом, уравнение Шредингера удовлетворяет не обходимым предельным условиям. При Ь.= О, т, е.
когда мы Отсюда для одномерного движения получаем известное выра« жение для дебройлевской длины волны: А= — = —. А А (2.17) Р точ Переход от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона — Якоби эквивалентен в теории света переходу от волнового уравнения к уравнению эйконала, т.е. к геометрической оптике. Заметим, что волновое уравнение для фотонов содержит вторую производную по времени, в то время как в уравнение Шредингера входит первая производная по времени. Это свя. вано с тем обстоятельством, что уравнение Шредингера описы. вает движение нерелятивистской частицы, в то время как фо.
тоны всегда являются релятивистскими. Если же исходить из релятивистского соотношения между энергией и импульсом (см. (1.7)), то тогда релятивистское волновое уравнение принимает вид (свободная частица) 62 д "~ — АРФ+ йзл22сзф С2 дм о неннлятииистскхя кВАИТОВАЯ мехАпикА 32 можем пренебречь дебройлевской длиной волны, оно переходит в уравнение Гамильтона — Якоби. Свободное же движение электронов является волновым с длиной волны, определяемой формулой де Бройля.
Заметим, что, когда потенциальная энергия не зависит от времени, в уравнении Шредингера мы можем сделать замену тр(г, ()=е ша1е'гр(г). (2.18) Тогда волновая функция зр(г) будет удовлетворять стационарному уравнению Шредингера Еф ( ) = — — (гхф(г) + )гф( ), (2.19) которое при Ь -ь 0 переходит в стационарное уравнение Гамильтона — Якоби (см. (2.8)). в) Физический смвгсл волновой функции ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
