Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 10

Тогда производная от размазанной дельта- функции будет равна )) (* — *..) (" - *) ( (- (*' — *)')' ' Производная от размазанной дельта-функции изображена на рнс. 4.5. Интеграл прн наличии производной от дельта-функции (4.69) щаться как с обычной функцией, т. е. взять от нее производную нли рассматривать ее как производную от разрывной функции. Для этого проще всего взять размазанную дельта-функци о НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА равен ~ б'(х' — х) / (х') г/х' = — /' (х).

(4.70) Точно так же легко показать, что дельта-функция представляет собою производную от разрывной функции. Для этого введем размазанную функцию А ' ) -кл ам а(" ") в(/т= в агс(вв" "° (4.71) тт,) а л а О предел которой при а-рО становится разрывным'. ее А(' у(х' — х)=!ипу(х' — х, а)= — ~ "" ~" л1 ОИ= Π— '/л при х' ( х, О при х' х, (4.72) '/т при х' > х. Размазанная у-функция изображена иа рис.

4.6 — сплошная линия, а ее предельное значение изображено пунктирной линией. Взяв производную от у(х' — х), мы получим дель. та-функцию: б(х' — х) = у'(х' — х) 1 Г = — ~ соз й (х' — х) г(/о. (4.73) О /о (хо) — /в (хо) = а. (4.74) Указанную функцию мы можем представить и виде /(х) = /т (х) ( — — у (х — хо)) + /л (х) ( —, + у (х — хо)) ° (4 76) Дельта-функция позволяет описать производную от разрывной функции, В самом деле, пусть функ. Ркс. сл. Фуаккак(в ареаеле раараааакк срока.

аслкаа От катароВ лает аелвла фуцкцккц ция /(х) равна /в (х) при х (хо и равна /о(х) при х > хо, в точке же х хр она претерпевает разрыв, равный дискгетныи и нвпгегывнып спекте Тогда производная от этой функции будет равна ( (,'(х) при х < х„ 7'(х)=аЬ(х — хо)+ ~ ' (х) прн х ) хм (4.76) Напишем некоторые полезные формулы, описывающие свойства дельта-функции: Ь(х) =Ь( — х), т.

е. дельта-функция является четной функцией; (4.77) Ь'(х) = — Ь'( — х), Ь(ф(х)) = ~~~ (4.79) где х,— простые корни уравнения ф(х) = О, лежащие в рассматриваемом интервале. Для вывода последнего соотношения необходимо учесть, что дельта-функции имеет особую точку при ф(х) = О. Поэтому функцию ф(х) мы можем представить в виде (в окрестности точки х,) ф(х) = (х — х,) ф'(х,), а затем должны воспользоваться соотношением (4.78).

В частности, нз формулы (4.79) следует, что Ь(х — а )= 6 (х — а) + 6 (х + а) 2а (4.80) В равенстве (4.80), не нарушая общности, мы всегда можем положить а ) О. д) Нормировка непрерывного спектра на дельта-функцию. Ограничимся рассмотрением свободного движения, когда волновая функция в одномерном случае может быть представлена в виде (см. (4.26)) ф(р, х) =Аешмах, (4.81) т.

е. производная от дельта-функции является нечетной функцией; Ь(ах) = —; )а) (4.78) НЕВЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 56 Нормируя (4.81) на дельта-функцию, можно найти коэффициент А из соотношения А ф' (р', х) ф (р, х) г(х = А' ~ е " Нх = 1 =Атй2и — ~е'"' АЧТЦ=Ь(р' — р), (4.82) где $= —. х »' Учитывая, что — „~ е' Е"-Мтг(Я.= Ь (р' — р), 1 (4.83) мы находим значение для нормированного ковффициента А А== «/ай (4.84) Сравним нормировку дискретного спектра на дельта-символ Крон екера — Вейерштр асса: ~ ф„', (х) ф„(х) дх = Ь„„, (4.87) с нормировкой непрерывного спектра на дельта-функцию (см.

(4.86)). Оба условия нормировки могут быть представлены в виде: для дискретного спектра Х- — -~ (4.88) к 0 при п(п1 или п>п;, для непрерывного спектра Ь(Р Р) "Р = (4.88а) (.О при р(р, или р>р. Заметим, что в последнем равенстве случаи р = р1 нли р = ре требуют особого исследования и зависят от выбора размазывания дельта-функции, т.е. нормированное на дельта-функцию решение (4.81) принимает вид Ч'(Р х) = ецуи~'. (4.85) «/Б» причем ~ ф'(р', х) ф (р, х) дх = Ь (р' — р).

(4.86) днскРетныи и непРеРыВный спектР 3 4) бу Нормировка в этом случае равна*) ~ 'ф'(р', «) ф (р, «) т('л = 5 (р' — р), (4,90) где трехмерная дельта-функция Ь(р р) б(р, р,)б(р; р,)б(р; р,)= ', ~его-Рыдван. (4.91) е) Решение уравнения Пуассона для точечного заряда. Как известно, уравнение Пуассона имеет внд 'Рф («) = — 4яр («).

(4.92) С помощью трехмерной дельта-функции легко описать плотность точечного заряда ,(«) ()(«) йпз (4.93) где полный заряд мы положим равным 1"). Подставляя (4.93) в (4.92), для определения потенциала, получаем уравнение Рф, ~ егзгдзй 1 ймг (4.94) Решение уравнения (4.94) имеет вид г ф азл (4.95) *) В двньнейшем иитегрзлы, стоящие без пределов, следует брать от -со ди +со, з число ввтегрзлов определяется числом дифференциалов, т. е.

ьч) В самом деле, плотность 6(г) во всех точкзх («чь О) обращается в нуль, в особой же точке (г О) — в бесконечность, причем, внтегрврун по всему врострзнству, мы нейдем, что общий заряд рззняется единицез В трехмерном случае, когда движение совершается по направлению импульса р, вместо волновой функции (4.85) мы должны написать ф (р з ) — е(пз) чз» (4.89) (2ий) А нвовлятивнстскоя квхнтовоя механика !Ч. ! бв Для того чтобы убедиться в этом, необходимо подействовать оператором Лапласа Чв на функцию (4.95). Тогда, принимая во внимание равенство т7вево' = — Йве!в', ПЗ ~ !(й ~ Емв оов О З1 и О !(О ~ В(ф 2пв о о о Ия!гегф!афуя (4.99) а!о углам О и !р, Найдем 2 Г в!пег Ф= — ~ —.

(й. (4.96) (4.97) Принимая во внимание, что С 2 ' в!о Фс и а о найдем дпа искемого потенциала Ф значение ! Ф= —. с Отсюда легко показать, что в!в — = — 4яб (е). ! Г (4.98) (4.99) Последнее выражение невднокрзтио используем в дальнейшем, например, при вычислении контактных снл. й б. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕПвЕИИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА а) Кеазиклассическое приближение.

Как было показано в $2, уравнение Шредингера для волновой функции ф.— Ае(ив! 3 '(5.1) эквивалентно уравнению для функции 5 (см. также (2.13)) — (вта!1 о)'+ з' — Š— 2' Ч'о = О. докажем, что решение (4.95) удовлетворяет уравнению (4.94). Для того чтобы раскрыть интеграл (4.95), введем сферические координаты вектора й. Тогда с(ой= йв с(й в(п Е ав, (ф. Направляя ось й, = йв по вектору г, представим уравнение (4.95) в виде Если сравнить это уравнение с классическим уравнением Гамильтона — Якоби для функции действия Š— (йгаб 3)'+ У вЂ” Е= О, 1 2мо то видно, что последнее слагаемое в квантовом уравнении (5.2), пропорциональное постоянной Планка Ь, даст небольшие по- правки к классическому уравнению при соблюдении условия (йта 4 Е)' )) й ~ Ч'5 ~. (5.4) Приближение, определяемое неравенством (5.4), носит название квазиклассического.

Принимая во внимание, что р = нгаб 5, последнее условие можно записать в виде —,~ б1ч р1 « 1. а В частности, для одномерного случая имеем: (5.5) Таким образом, квазнклассическое приближение оказывается достаточно точным в том случае, когда дебройлевская длина волны — величина постоянная илн слабо изменяющаяся. Уточним последний вывод на конкретном примере. Принимая во внимание, что р = 42то(Š— У). (5.6) условие (5.5) мы можем записать в виде а ! мр! !тара! 1 (5.7) др где Е= — — — классическая сила, действующая на частицу. дк Отсюда, в частности, следует, что квазиклассическое при« ближенне становится неприменимым при малых значениях импульса частицы и в особенности в тех точках, где по классической теории частица должна остановиться (Е = У, р = О).

Такое положение имеет место, например, в случае, когда частица, находясь в потенциальной яме, н результате отражения от потенциального барьера начинает возвращаться обратно (точка поворота). Все это может найти простое объяснение, если учесть, что прн р-Р О дебройлевская длина волны стремится к бесконечности, и поэтому волновые свойства частицы будут проявлятьси особенна сильно. Фе! ПРИВЛИ)КЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 59 НВРИЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МВХАННКА [ч г б) Приближенный метод Вентцелл — Крамерса — Бриллюэна (метод ВКБ). Как было отмечено, уравнение (5.2) совершенно эквивалентно уравнению Шредингера.

Поэтому можно попытаться в основу волновой теории положить именно уравнение (5.2), рассматривая член, пропорциональный В, как некую дополнительную квантовую потенциальную энергию )т"' = — — ' 'уаБ 2иае (5.8) Сначала найдем решение этого уравнения для первой области (Е ) у'), когда величина ри ) 0 играет роль квадрата клас. сического импульса, Решение ищем в виде ряда Б=Бо+ В~+ от+ ° ° ° (5.10) где величина Бо не зависит от Й, Б~ пропорциональна Й, Би пропорциональна ат и т. д. Подставляя ряд (5.10) в уравнение (5.9) и пренебрегая величинами, пропорциональными ЬЯ и выше, в уравнении Гамильтона — Якоби.

Однако в общем случае решить нелинейное уравнение (5.2) значительно сложнее, чем линейное уравнение Шредингера, и поэтому многочисленные попытки повести развитие квантовой теории по пути точного решения уравнения (5.2) успеха не имели. Тем не менее Вентцелю, Крамерсу и Бриллюэиу удалось, ограничиваясь членами порядка а, найти приближенное решение уравнения (5.2), которое оказалось пригодным для исследования ряда задач квантовой механики. Этот метод решения, применимый лишь к одномерным задачам, получил название приближенного а> метода ВКБ. Будем считать, что потенциальная энергия является гладкой функцией х (рнс. 5.1). Пусть частицы обладают энергией Е, и ла=хл ~ тогда весь промежуток Рие. КЬ К решеииввовиовоеоуравиеиии ио ие ИЗМЕНЕНИЯ Х МЫ МОЖЕМ вову ВКВ.