Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 6

Для того чтобы выяснить физический смысл волновой функции зр, или, точнее, выяснить вопрос, какую ей можно дать интерпретацию, найдем плотность заряда р и плотность тока 1, которые связаны между собою уравнением непрерывности з) вг + б(ч ') = О. (2.20) Для этого умнон<им уравнения Шредингера (2.9) и (2.10) соответственно на волновые функции ф' и ф и, вычитая одно равенство из другого, найдем — + — т'(файф — ф Чф) = О. (2.21) В последнем уравнении волновая функция зависит и от г, и от г. Соотношение (2.21) можно записать также в виде — ~+ — г)(и (зр пгаг) ф* — ф' пгаб ф) = О.

(2.22) ') Уравнение непрерывности выьоажает собою закон сохранения заряда. й самом деле, умножан (2.20) на и х и интегрируя полученное соотношение по всему пространству. мы найдем — ~ р взх — ~ гит 1 и'х — (~) (! вн), гле поверхность 5 удалена на бесконечность, так как охветывает весь обьем, Предполагая, что на бесконечности токи отсутствуют, мы найдем, что полный заряд остаетси величиной постоннной: р оох е сопзь УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Умножая (2.22) на элемент объема Фх и интегрируя по всему пространству, имеем: —,( ~ ф"ф пол=0, (2,23) ф"ф с(зх = сопз(.

(2.24) Поскольку уравнение Шредингера — линейное, то волновая функция ф определена с точностью до постоянного численного коэффициента. Мы всегда можем выбрать его так, чтобы нор. мировочный интеграл (2.24) равнялся единице о) (2.25) При этом еще остается произвол относительно умножения вол- новой функции на постоянный фазовый множитель, по модулю равный единице". ф- ф'=и"ф, Ф' — ф"'=и 'Ч*, где а — постоянное действительное число ( ~ е'" ~ = 1) . Заменяя ф на ф'= иихф н ф' на е-пхф', мы видим, что равенство (2.22) не нарушается н интеграл (2.25) не меняет своего значения. Сопоставляя уравнение (2.22) с (2.20) и полагая заряд электрона равным е, находим для плотности заряда и для плотности тока, соответственно, выражения р = еф'ф, ) = — (ф игам ф' — ф* нгаг( ф).

(2.26) «) Соотношение (2.25) имеет место длн дискретного спектра, когда волновая функция на бесконечности обрашзется в нуль. В случае же непрерыв. ного спектра на волновую функцию накладываются специфические граничные условия такие, которые также приводят к соотношению (2.25), хотя волновая функция на бесконечности в нуль и не обрашаетсн. Возможна а лгом слу.

чае также н другая нормировка (более подробно см. $4). 2 А. А. Соколов к др. Таким образом, квадратичные комбинации волновых функций ф и ф' (2.26) удовлетворяют уравнению непрерывности (2.20), известному еще в классической физике. Однако имеется прин ципиальное различие в интерпретации этого уравнения в квантовой и классической физике. В классической физике существует возможность проследить за движением отдельных частиц постольку, поскольку известны их траектории. Поэтому в уравнении непрерывности типа (2.20) иерелятивистская кВАЯТОВАя меххиикА 34 г) Линейные операторы в теории Шредингера. Введем понятие линейных операторов, с помощью которых зацмшем уран.

пенне Шредингера. Линейные операторы при действии на обычные функции )(г) должны обладать следующими свойствами: МЙ + ув) = М~ + М)ш МС7 = СМ), (2.27) где С вЂ” постоянное число. В качестве линейных операторов можно выбрать, например, операцию дифференцирования ') нли умножения на обычные функции ва).

Если сравнить обычное классическое уравнение (см. (2.Ц и (2.2)) с волновым уравнением Шредингера (см. (2.9)), то для перехода от классического уравнения к волновому необхо. димо энергию Е заменить оператором энергии Е-+ Е = — —.— А д 4 д4' (2.28) а импульа )а- оператором импульса: р р= — Ч А (2.29) ") Операторы, сваваиные с дифференцированием, мы будем обозначать. прямым шрифтом. ") Обычные функции мы не будем обоаначать прамым шрифтом, р понимается как плотность числа частиц, а у — как плотность потока частиц материи. В квантовой механике, напротив, импульс и местоположение частицы в каждый момент времени г одновременно не известны точно.

Соответствующие неточности находятся из соотношения неопределенностей. Поэтому для волновой функции ф, аписы. вающей состояние частицы (или в общем случае — квантовой системы), принимается вероятностная интерпретация, предло. женная Борном. Согласно Борну произведение ф'(г)ф(г) следует понимать как плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства с радиус-вектором г. Это означает, что квантовая механика даже для однои частицы является вероят. постной теорией.

Умножая ф'ф =~ф(' на элемент объема аах, получим )ф)Чах — вероятность обнаружить частицу в области пространства объемом с(ах вокруг точки г. Равенство (2.25) при этом означает, что частица обязательно находится в какой-то из точек пространства и поэтому полная вероятность всех значений ее координат равна единице. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА (2.32) Еф =~ — (р — — А) +еФ~ф. (2.33) Если подействовать оператором энергии на монохроматическую волну (2.18), соответствующую волновой функции свободного движения, то оказывается, что она удовлетворяетуравнению на собственные значения Еф=Еф, (2.34) где Е является собственным значением оператора энергии.

Точно так же в случае свободного движения волновая функция (2.18) удовлетворяет уравнению на собственные значения для оператора импульса (2.35) рф=рф где р — собственное значение импульса. и подставить эти операторы в классическое уравнение. Тогда будем иметь Е = — рт+ у'(г). (2.30) Сами по себе операторы, т. е. в данном случае символы дифференцирования, лишены какого бы тони было физическогосодержания.

Поэтому, чтобы соотношение (2.30) приобрело фи. зический смысл, необходимо подействовать операторами на вол. новую функцию ф. Тогда вместо (2.30) получится уравнение для ф Еф=Нф, (2.3!) где для оператора функции Гамильтона имеем ~е йе Н= — '+ 1'(г)= — —,Р + и(г). Подставляя в (2.31) операторы (2.28) и (2.29), получим уравнение Шредингера (2.9). Заметим, что замена энергии и импульса в классических уравнениях их операторными значениями (2.28) и (2.29) имеет универсальный характер.

Такой заменой можно получить волновое уравнение при наличии магнитного поля, а также и в релятивистском случае. Так, например, волновое уравнение для нерелятивистской частицы с за. рядом е при наличии электромагнитного поля, характеризуемого векторным потенциалом А н скалярным потенциалом Ф, должно быть получено из уравнения Шредингера в свободном случае путем замены операторов Е и р следующими оператое рами: Е-РŠ— еФ, р-Рр — — А. В результате находим уравне- ние нетелятнвнстскяя квлнтоВАЕ мехлннкА 1ч.

1 й 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА а) Стационарный случай. Стационарное уравнение Шредингера (2.19), которое имеет место, когда потенциальная энергия не зависит от времени, запишем в виде Рзф + — „,' (Š— У (т)) Ф = 9. (3.1) В уравнении (3.!) потенциальная энергия т'(г) задается как функция координат. Наша задача заключается в том, чтобы найти энергию Е и волновую функцию зр. На волновую функцию как на решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа Штурма — Лиувнлля, должны быть наложены следующие условия.

Она должна быть непрерывна, иметь непрерывную производную. Это приводит к тому, что заряд и плотность тока (см. (2.26)) также должны быть непрерывными. Кроме того, волновая функция должна быть однозначной и конечной во всем пространстве, а также удовлетворять определенным граничным условиям. В случае дискретного спектра, когда на бесконечности (т -~ оо) )т ) Е, волновая функция стремится к нулю (ф - 0). Эти требования приводят к тому, что решение волнового уравнения (3.1) существует лишь при определенных значениях параметра.

В данном случае таким параметром является энергия Е, а возможные ее значения, получившие название собственных, определяют энергетические уровни системы: Ем Ез ° ° ° Ел ° ° ° (3.2) Соответствующие этим значениям решения волнового уравнения фн зйз зрз ° ° ' зг (3.3) называют собственныни функциями, а пумерующие их числа п обычно называ1от квантовыми числами. Собственные значения и собственные функции нумеруются одним квантовым числом для одномерного случая (например, движение вдоль оси х). В трехмерном случае волновые функции ф зависят от трех квантовых чисел. Собственные же значения энергии Е также могут зависеть от трех квантовых чисел, хотя бывают случаи, когда энергия зависит от двух квантовых чисел или даже от одного.

В последних случаях мы имеем так называемую вырожденную систему, когда одному и тому же уровню энергии соответствует несколько волновых функций. Та- Таким образом, полученные выше соотношения фактически оправдывают выбор (2.28) и (2.29) для операторов энергии и импульса. рвшенив урдвнвиия шрвдингврд 4з1 зт ким образом, в общем случае под и можно понимать несколько квантовых чисел. Согласно (3.1) собственные значения и собственные функции связаны между собою уравнением 'тзф, + а,' (Е, — 1') фп = О, (3.4) или (3.5) (Еп — Н) ф„= О, где оператор функции гамильтона Н определяется соотношением (2.32) .