Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 7

Определение собственных значений для энергии Е представляет собою квантование энергетического спектра, иа необходимость которого для гармонического осциллятора впервые указал Планк (см. (1.13)). В полуклассической теории Бора квантование производилось на основе постулата устойчивых состояний, в то время как из уравнения Шредингера энергетический спектр (3.2) получается совершенно автоматически. Определив энергетический спектр, мы можем частоту излучения найти как результат перехода нз состояния и в состояние а' (Е, < Е„).

Рассматривая при этом фотон как частицу с энергией йщ, мы можем написать закон сохранения энергии: ггг» = Еп — Еп, из которого находим частоту излучения Еп Еп' Юпп' (3.6) Соотношение (3.6) представляет собою второй постулат Бора и носит название условия частот. В квантовой механике оно также получается автоматически на основе квантовой теории излучения (см. ниже).

Важно при этом определить квантовые вероятности переходов или интенсивность излучения, которые зависят от собственных значений волновых функций ф,. б) Общее решение. Определив собственные значения Е. и собственные функции ф„мы можем найти частные решения уравнения Шредингера (2.9) и (2.!О), которые будут иметь соответственно вид и) (г г) — и п~м~пнф (г), ф*(г, 1) =епмг~вп ф'(г). (3.7) ') Вообще говоря, волновая функция ф должна зависеть не только от пространственных координат г, но и от времени Ь В стационарном случае в волновой функции можно выделить пространственную часть, зависящую только от г, и временную часть, зависящую от Г по зкспаненциальному закону, Когда зта зависимость очевидна, мы аргументы вообще будем опускать. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !ч.

т Поскольку уравнение Шредингера является линейным, для него имеет место принцип суперпозиция, согласно которому об; шее решение равняется сумме или, точнее, линейной комбинации частных решений, т. е. ф= ~ Сле "'"' лфл (3.8) л ф*= 2 С'„е!н~!~л'ф', (3.9) При выводе последнего соотношения мы приняли во внимание стационарное уравнение Шредингера (3.4). Подставляя выражения (3.8), (3.9) в условие нормировки (2.25) и заменяя в равенстве (3.9) индекс л индексом и', найдем С",С е-им!!(е -е 9 ( ф' ф З(зх = 1 (3.

10) л' л 1 л' л Для того чтобы выполнялось соотношение (3.10) для невырожденной системы, т. е. для того случая, когда каждому собственному значению Е. соответствует лишь одна-единственная волновая функция ф„ собственные волновые функции должны удовлетворять условию ортогонельности, т. е. ~ ф„,ф„!(зх=0 при а' чь и.

(3.11) В противном случае левая часть (3.!0) будет зависеть от времени, и тогда для произвольных значений постоянных коэффициентов С, зто равенство не может иметь места. Далее, не нарушая обшности рассуждений, мы можем прн л = л', когда левая часть (3.10) не зависит от времени, выбрать волновые функции таким образом, чтобы они были нормированы на единицу: 1 ф*„ф„дзх = 1. (3.12) Вводя дельта-символ Кронекера — Вейерштрасса: ~ 1 при п=л', Ь„л = з 0 при а~а', (3.13) где Сл и С„' — некоторые произвольные постоянные коэффициенты. Для того чтобы проверить решение (3.8), подставим его в уравнение Шредингера (2.9).

Тогда будем иметь (Е Н)ф — 2" С е-~~~М~л'(Е Н)фл — 0 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 5 3! зв условия (3.11) и (3.12) можно объединить в одно, получившее название условия ортонормироваиности: ~ зр'„л!з„с(зх = 6„„.. (3.14) При наличии же вырождения, когда одному и тому же значению энергии Е, соответствует несколько волновых функций, например, две: зР„' и ф„", они могут оказаться и не ортогональными друг к другу: ~ ф~*зугг (зх В ~ 0 Тогда нз них всегда можно составить такие линейные комбинации (в данном случае две), которые будут ортогональиыми.

Например, в случае вещественного В такими комбинациями являются следующие: Ф„+ Ф„ Поэтому при наличии вырождения мы можем всегда выбрать волновые функции таким образом, чтобы условие ортонормиро- ваиности имело вид с(зх=б б (3.15) причем в нашем простейшем случае индекс пг = 1, 2. Если воспользоваться условием ортонормированиости (3.14), то выражение (3.10) мы можем представить в виде Х С„"С„= !. л (3.1б) (3.17) следует трактовать как плотность вероятности распределения по пространству электрона, находящегося в квантовом состоянии ф,. Отсюда мы можем дать следующую интерпретацию коэффициентов С: квадрат модуля С,С =!С,!З должен характеризовать вероятность нахождения частицы в состоянии и.

Например, .когда частица с полной достоверностью находится в квантовом состоянии п, мы можем положить С, = 1, а все остальные коэффициенты С„(п'Фп) равны нулю (С,'=О). Тогда для волновой функции находим частное решение (3.7). В то же время, согласно Борну (см. $2 пункт в), величину Ф„'Ф„= ~ ф„!' НЕЯЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА чо в) Квантовые ансамбли. В квантовой механике можно ввести понятие квантовых ансамблей, объединяющих совокупность одинаковых невзаимодействующих друг с другом частиц (например, электронов или фотонов), описываемых одной и той же волновой функцией. В самом деле, если электроны обладают отличной от нуля вероятностью нахождения в двух квантовых состояниях пч и пм то тогда общая волновая функция должна представлять собою линейную комбинацию волновых функций этих состояний, которая согласно (3.8) равна ф С -гимеп,~ р + С -ША)еп,ю( (3.18) п~ п, Выражение (3.18) является следствием принципа суперпози цин, который должен иметь место для уравнения Шредингера благодаря тому, что оио является линейным.

При определении плотности вероятности распределения электрона по пространству находим + С" С вн~м (~п~"еп*)ф' ф (3 19) п, п„ п, пи' Ансамбль, описываемый волновыми функциями, которые можно складывать, как в (3.18), называется чистым (квантовым) ансамблем. В этом случае смешанные члены, пропорциональные произведению С;,С, и С;,С„„определяют статистическую связь между невэаимодействующимн электронами, находящимися в различных квантовых состояниях.

Наличие этой связи приводит к волновым явлениям интерференции и дифракции дебройлевскнх волн. Чистые ансамбли, связанные с принципом суперпозиции, могут встречаться в любом волновом процессе. В волновой оптике они образуют так называемый когерентный свет. Наряду с чистыми ансамблями существуют смешанные ансамбли. Они, как правило, встречаются в классической теории частиц, когда складываются не волновые функции, а вероятности, т.

е. 1С ~ 1С Р+1С, 1з. (3.20) В этом случае никакой статистической связи между различными состояниями не возникает, и поэтому должны отсутствовать типичные волновые процессы, такие, как интерференция и дифракция. В волновых процессах смешанный ансамбль возникает при исчезновении членов, пропорциональных СаС~ и С)СИ Это возможно, когда фаза между различными квантовыми состояниями РЕШЕП1Ш УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА быстро изменяется со временем.

В волновой оптике подобная ситуация имеет место для так называемого некогерентного света, возникающего от двух (илн нескольких) независимых источников. е) О статистической интерпретации волновой функции. Итак, волновые свойства электронов и фотонов связаны со статистической интерпретацией волновой функции. При наличии многих электронов статистическая интерпретация волновой функции не вызывает каких-либо трудностей. В этом случае величину 1 = 1ф 1Я следует рассматривать как функцию распределения. Дифракционную картину мы можем интерпретировать следующим образом: на светлые пятна попадает наибольшее число электронов, т.

е. функция 1 достигает максимума'. Вероятность же движения электронов по направлению темных пятен, наоборот, будет наименьшей. Большие затруднения в статистической интерпретации волновой функции возникли при описании движения одного электрона. В самом деле, квантовая механика не может точно указать, по какому направлению он начинает двигаться после прохождения днфракционной щели.

Неправильно было бы говорить, что электрон представляет собою и частицу и волну. Если бы один электрон представлял собо1о волну, то тогда одна его часть пошла бы по одному направлению, а другая часть — по другому. На самом же деле электрон представляет собою чрезвычайно малую частицу, размеры которой еще не определены. Эксперименты по изучению столкновения электронов очень большой энергии, например, с позитронами говорят лишь о том, что электронный радиус меньше чем 1О-'а см *).

Поэтому при прохождении одного электрона сквозь дифракционную щель на экране мы будем наблюдать лишь одну точку. Однако, если начать последовательно пропускать отдельные электроны, то одиночные точки будут постепенно сливаться, образуя в совокупности на экране дифракционную картину, совпадающую с той, которая возникает от одновременного пропускания многих электронов. Это напоминает до некоторой степени стрельбу по мишени, когда попадание одной пули дает как будто бы случайную отметку.

Однако при большом числе выстрелов можно установить некоторый закон попадания. Отличие заключается в том, что пули представляют собою смешанный (классический) ансамбль, и поэтому возникает лишь один максимум, лежащий в центре ') В связи с этим заметны, что при анализе прохождения быстрых электроноа с энергией, более чеи н тысячу рзз преныпинопГей энергию покоя, сквозь протоны и нейтооны были определены размеры последних, которые оказались порядка 1О- з сн.

Найдено распределение зарядов н иагнитных момеитоа а этнх частицах. НЕРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Ь Однако в силу того, что фотоны обладают импульсом р= —. А' который частично передается электрону (эффект Комптона), составляющая импульса электрона вдоль оси х может быть определена с точностью до величины порядка и Лр„—,.„з(п ф, (3.23) Произведение Лх и Лр, приводит к соотношению неопределен« ностей (3.2!). (гауссова кривая). Совокупность электронов представляет собою чистый (квантовый) ансамбль, и поэтому вместо гауссовой кривой мы получаем дифракционную картину, т. е.