Galitskii-2 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 8

С увеличенном полн значение (/У, — Дю ! монотонил назрастает и при .ЗУ > .УУ», тле , 6 юйюдю, ю!ю (6) 4»п(р»! 'Х спины всех юстин выстраинахтгсн в олпом направлении При этом магнитный момент сне»сны достигает касьян»чин . »7 = )ре)/у и ориентирован н напранленин магнитного полн. (2) ю юли»легичныни нснпюьюуечмн» четозе тон»с»-Ф»оюююю, сч главу 11, 62, а меле (1), 5 10 10.3$. Выяснить характер экранировки электронами проводимости электростатического поля точечного заряда д, помещенного внутрь проводника.

Воспользоваться статистическими соображениями'", рассматривая электроны проводимости как фермигаз (на фоне равномерного распределения положительного заряда, обеспечивающего электронейтральность проводника) при температуре Т = О. Искажение электронной плотности вблизи заряда считать малым. Решение При температуре Т = О электроны ззнныают нижние по энергии состояния. При атон электроинан плотность п(г), максимаяьная кинетическая энергия электронов в точке г, раннан с»(г) = р»ю(г)/?пю. и электростатический потеншюал р(г) инугри проводника'»ю сензанм 5 3.

Простейшие системь из большого число (1]г » 1) чоспшц 31 соотношениями бзу] = -4хр = -зяб б(г) +4яебп(г), гае 1 1 1 1 — р,(г) — ер(г) = ег = — р» = сапм, 2гп 2 (2) Получаем ер= — рг(ре(г) -р»), бп = — р]»(ре(г) — р»). гп Х]Л] При этом уравнение (1) принимает аид 1'ете р„'3' бр=-4хдб(г)+хе, х = ( — ) .л' ) а ега решение р(г) = — е г показышет, что электрическое поле в проводнике экранируетсп на расстояниях г Пк.

(3) (4) 10.36. Найти распределение заряда вблизи поверхности заряженного (с «поверхностнойэ плотностью заряда е) проводника. Воспользоваться статистическими соображениями, рассматривая электроны проводимости как вырожденный ферми-газ. Считать изменение электронной плотности вблизи поверхности проводнина малым, сравнить с предыдущей задачей.

Решение. Так как ширина прнповерхностной облаатн внутри проволника, а которой распределен заряд (т.е. р та 0), имеет микроскопические размеры, то при рассмотрении полн вблизи поверхности можно пренебречь ее кривизной и ограничиться олномернмм случаем, Прн этом распределение заряда электронов н потенциала вблизи поверхности проволника, которую выбираем как плоскость 3 = О, аписмваютсл уравнением ре(*) = -4яр(з) = 4яе бп(з) ш х~р(з), (!) х= ( — 3-) сравнить с предыдущей задачей. решение уравнения, уповлетваряюшее граничному услонию »р(з) ]ре = 0 при е ао (считаем, что области проводника отвечают значения з > 0). имеет вид р(л) шАе **» з> О, а объемная плотность заряда н] х]А Е(1) = — — т ( ) =- - — е "*, > О.

4»г 4я. Значение А определпетап поасрхностнойе плотностью зарпда (2) (З) 4е»ге ое = ) р(з) 41, 31 = — —. и (4) е Эта же значение А слелует, естественно, и иэ граничного условия Е„(0) м р'(0) м 4тг« электректатикн проводниках. '31 Реесметрнееемые еелнчннм «4мрнчеекн смччетрнчнм атнаеительна та»кн г = 0 раен«замени» енаснмага зереле 4. подчеркнем. чта а атлн те аг агама теперь п(г) — пер' о ерн г сс. '«1 Срееннть, например, е Е 20. 3 1 3 1 п(г) = — р«(г), бп = п - пе — — (р«(г) — р» ). З»г]Л] ' З]г]Л] Здесь е > 0 — веяичина заряда электрона. бп(г) — изменение электронной плотности, вызванное внесением зарява 4; соотношение (2) абесосчнвает минимальность энергии всей системы электроноа, при этом ег характеризует нсвазмушенную систел]У (каковой она остается и при внесении заряда на большом расстоянии от него) Ввиду предполагаемой малости )бп( « пе имеем (ре — рг( « р„, н из соотношений (2) ГлаВа 11 Атомы и молекулы Большинство расчстоа атомнь.х систем оснонано на предположении, чта отдельные электроны (а не только йся систелза а целом) находятсн л определенных клазпаных состояниях.

При этоса лолнойая функция системы записыиаетсл я аиде антнсимметрнчнай комбинации произнеденнй полисных функции таких алнозлсктронных состояний. Наиболее точные расчеты н этом приближении сннзаны с численным решением ураннений Хартри — Фока, полученных на аснойе метода самасогласоаанного поля для олнозлсктранных состояний. Ллн систем с болыним числом злектроной простан реализация идеи самосогласонанного поля лежит й основе метода Томаса — Ферми.

В этом лзстоде (срелнян) электронная плотность п(т) н оснайналз состоинин нейтрального атома (или положительного атомного иона) иа аснаие статистических соображений связана с электростатическим потенциалом системы р(г) соотношением" п(г) = — (2(уз(т) — тзо)] (Х!.!) злля нейтрального атома ро = 0 и из электростатического ураанення Пуассона, (Зр = -4яр, следует уравнение Томаса — Ферми (г ~ 0) (З(э = 4яп ю — р 8тГ2 (Х(.2) Ззг (самосогласананнае ураннение для потенциала). Вводя более улобные величины э и Х(э), согласно = яЬВ, у (г) = — Х(я) = г гм' х(*) (Х(.З) г Ь где Ь = (Зх/8з/2) гн 0,885, Я вЂ” число электронов (заряд ядра), приладим зуз чнненис Х!.2 к лид ур ( ) ЛХн(*) = Хм'(*), (Х!.4) с граничными услониями Х(0) = ! и Х(сю) = О.

Функции Х(я) яйляетсяуннверсальнай (одинаконой для нсех атомов) а методе Томаса — Ферми. Числааые расчеты дают х'(0) = — (,589, при этом энергия полной ионизашзи атома н модели ТомасаФсрми раина Ео = -(ЗХ'(О)г7Ь)Яз(з = 0,769ВОз = 20,92ВОз эВ„слз. ! !.2!. В этой глайе нредстаалсна серия задач, сказанных с исследонанием сйойстн йо ннешних электрическом и магнитном полях частицы, слаба связанной (т.е. с малой энергией связи е = хз/2, нга ~ () центральным короткодейстнуюшим потсн- " Прн этолз атонннс эмктронм рассн*трнеаютса «ак есрнзз-газ прн тснссратурс Е' К в лзсамнно нзнсннююснсн красс нотеннчваьной энергией У(г) = -ср(г), есанчнна -ерс оарсасеаст наксннеалную полную свергаю состз ннззй, мннгнт эасктроначн, а с(р( -) - утз) — нз наксннмьную кззнстззчмкукз энергию (3/зю,)ру(г! Сау звй ро > 0 отмчаст но кнкн ню гнн втонннн ковач.

з зассз (н часто нс огоаарнеан в аюьлсйюсч) нсооаьзусн юнанннг гсьч Нн (а с ), с = Л = нз, = З 11. Стационарные состояния отомоб с одним и двумя электронами 33 пиалам рааиуса гз. Такая одночасгичная систсмал используется а атомной физике для моделирования отрицательных атомных ионои, и которых пнешний слабосвязанный электрон рассматрнпастси как движущийся и коротколсйстнуюшсм потенциале, созданасмом нейтральныч атал(ом, В этих задачах доминирующую роль играют большие расстояния, на которых невозмушенная волновая функция ичеет асимптотическое нападение (и случае короткодействуюших потеициатов) фм (г) ш С.(2( — — 2)ю(п), г ягге, (Х!.8) '')/2 ше С,( — так называмый асимлтатичгский коэффициент (на бесконечности).

Заметич, что решение уравнения Шредингера для связанных состою(ий одноэлсктронного атома (нона с зарядом ядра 2с и одним электроном), т.с. в случае кулоновского потенциала (У(г) = -2сг/г, приведено в главе 4; радизльные волновые фуНКцИИ дпп НИЖНИХ урОВНЕй ОПИСЫВаЮтСя фсриуЛаМИ ((Ч4) С а == д~/(тг2сг). $1. Стационарные состояния атомов с одним и двумя эяаитронами 11.1. Найти поправку к уровням энергии Ьодородоподобнозо атома за счет гак на- зываемой релятивистской зависимости массы частицы" от скорости в первом порядке теории возмущений. Решение.

Рслятивистскав поправка к функции (амиэьтана заряженной гасгнпы э электро- статичесКом поле е классической теории согласна формуле (-е — заряд частицы, р Ч". тс) 2 2 я' --. 1/ргсг ф тгс — еф(г) — тс — — — — егр(г) г «4 г Р Р (И 2» 8 гс» равна -рэ/Впггс . Квзнтовомехаиичсскил( обобщением этой поправки является оператор Р = -р'/Втгс, рассматриваемый как нозмун(ение гвлгильтоииаиа. Так как ои колгчутируег с Оперзторвлги 1 и (,, то с.ф Фюг„иевозмуа(сина(О гэмипьтониана (с (У = -еф = -2с /2, "1 (эг г см.

(!ЧЗ)) яллэютск правильными функциими нулевого приближения при наличии иозмушс- иия. пр(2 этом согласно (чп!.1) сдвиг уровни г 2 2 Ею =) Ф ' Рф„д г = — — (н,(пл(( — )2 (п,(т) Ш И / (эг — (эг 2 1 Р 2тсг ' (Х 2т ) 1 /- 2сХ и — — (п,(гп/( Йэ + — ) ! н,1пт) = 2тсг ' (, г ) -г — 2сг 2е' — /2ег Х =- — (п( (йи+й, — + — й,+ ( — ) (н! ), (2) 2тсг ' " г г \' гле Йэ — нсваэмУшсннып гамильтониан гю1аРалоиолобнгна атома мчегиь слсвыш сттанчип 2эстггпм с иэзап эисргис1 ь' с а /югг Оигюэспиюгся лишь гьумн иапэчэтрэич эисргиэл сэээи и агиииюэюишгиии тэффииигиюии с„( (см !1.26 и 1122).

Оии, э сэаю очсрсзь сэчээчм с иэрзмстрзми ииэкоэисргст нсгкаго рэссгэчи» дэьиаи ригггпиип иг и эффгкмивию ридиусо» г,, см (Хгпдз) 2 1 Еэдэрымггпдабиии (и эиэгюгичио гаиюпидпдиии) это мач изч иаиоч им пээмгэ ем сис ге чу сесгаимую иэ трэ г праиэлаггьими эариаам лг и одного (азуэ) элгкграиаи Дээ бесспиисэая чзстиим получаемый реггм тат Опрстэист юэпюю гюрукюгру уреэчса юэоролипслебиагелгимэ Вспучэсже ээсктраиэ, кэк этаспелуетиэурээискияйипзкэ(29(, «римсыкоь иаппээю.

имгэтси еше алии сп*глэмсе и гвин.глтинкэке. Ошгсмээюшгс гак иэгмээсмис нии-ирбипимлииг юиииэдгзгюаиг, экэлз которого э сигшгчиэ уровню имеет такай жс перилок мэичиим, «зк и рэггччюииэк э алиная ээлэчг пэпраэкэ. 2 1. ° гм Глава 11. Атомы и молекдлы Так как Ф„н нилнстся с.ф. оператора Йе, то »о всех слагаемых последне!о»эра»енств(2) Н! можно Йе заменить его с.з., равным з! (4) (5) Отсюла»ил!го, что учет релятинистской»одра»ки полностью снимает случайное вырождение уроинея» кулона»оком поле: уровень с аани ылю п расщепляется на п компонент» соответствии с нозможными значени»ми мочеита ! = О, 1,..., (п — 1) лли нсвозмушенного уровни.

При этом сд»нг уровня с увеличением момента уменьшается, что физически естественно. Действительно, чем больше значение 1, тем е среднем иа больших расстояниях от ядра находитсн части»а. Соответственно тем больше и ес потенциальная энерги», а кинетическая энергия и сленг уровни Е! ~ш ы р, наоборот, меньше (так как Т+(1 = Е„).

По этой жс причине ширина интер»а»а то»кай структуры уро»»я — разность энергий крайних компонент, отвечающих значенинм ! = 0 и ! = (» — 1), равная сзЕгт(п) = 4(бп) )Е! 1!, (6) п(2п — 1) улгеньшастся с ростом п, здесь а т е'удс = 1/137 — »агтоя»»ая та»кай структуры. Отметим, что лл» уровни с и = 2 согласно (6) расщепление состанляет сьегэ(2) = 1,21. 10 'Я' эВ. Лл» значений и 1 формула (5) дает — (Яо) 10 В, шк что условие применимости»олучснного результата предполагает, что Е < 137 (зто— сстсстнснныд результат, так как скорость электрона н атоме и де'/Л = упс и при значсиинх Я 100 его у:ке нельзя считать нсрсхнтивистским) Сделаем несколько заключительных замечаний Как отмечалось в условии задачи, раасн»три~же»за» поправка, не учитышющв» спин.

орбитального взаимодействия. относится к случаю бесспииовой частины. При этом она правильно аписы»ает сд»иг уровня в первач порядке теории воз»<ушек»я»о (Ео) . Однако, как это следует иэ рслятн»нстского уравнения ял» таких частию — уравнения К»ей»а-Гардена, н более высоких прибли:кениях возмущение гамильтониана нс по»горист разложении (1) и И частнсст», ! г э Ф Нс — Ф 4 г=/(22»а ) — Ф 4 ° — 'Е / — 1Ф ! 4 г „,.- Д 1и, - !е1,г м1, зи Де „»,, 1»»члу эрни то»кти Йе ею де иста»е мож»о перенести на функ иню, стон шум е»атрнч»оч элене»те с»ею). Е1 1, =Е!1= —, п=и„+1+1. е е гл(бе ) (3) "Л " 2дтпэ После этого расчет поправки первого приближения сводитсн к вычислению д»ух матричных элементов (и,!т) — (п,уш) = -2Е»!, (и,!т) — )и,!нт) =— г г! (21-1.