Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 12

6.22. Исходя из уравнений движения для гейзен- берговских операторов, показать„что (Ф, (1), х,(1) ) = = — 18бьь 72 6.23. Найти значение «разновременного» коммутатора (р(7), х(7')) для указанных в 620 систем. 6.24. Частица (описываймая некоторым нормированным волновым пакетом) находится в однородном, переменном во времени поле, причем сила Р(Г) — О при (-~- ~со. Найти изменение среднего значения энергии частицы, вызванное действием поля.

Сравнить с результатом классической механики. 6.25. На линейный осциллятор, находящийся при 1-~- — со в основном состоянии, действует внешняя сила Р(7), причем Р(?)-»О при 7- -+со. Найти вероятности возбуждения различных стационарыых состояний осциллятора и среднее значение его энергии при 7-~+се. Для решения задачи воспользоваться гейзенберговским представлеыием и исходить из уравнений движения для операторов рождения и уничтожения а+(?), а(7). 6.26. Найти унитарный оператор, соответствующий преобразованию Галилея, т.

е. переходу в новую инерциальную систему отсчета. Убедиться в инвариантыости уравнения Шредингера относительно этого преобразования. Как при этом преобразуется волновая функция частицы в координатном и импульсном представлениях? 6.27. Найти унитарный оператор, соответствующий калибровочному преобразованию потенциалов электромагнитного поля. Убедиться в инвариантности уравнения Шредингера относительно этого преобразования. 6.28.

Как необходимо преобразовать оператор Гамильтона системы, чтобы при зависящем явью от времени унитарном преобразовании уравнение Шредингера сохранило свой вид? Сравнить с каноническими преобразованиями в классической механике. 6.29. Указать вид унитарного преобразоваыпя, описывающего переход к равномерно вращающейся системе коордиыат. Как при этом преобразуются операторы координат, импульса, скорости и гамильтониаи частицы? Сравнить с результатом классической механики. Для иллюстрации рассмотреть заряженную частицу, находящуюся в циркулярном электрическом поле, т. е.

таком, что Е„=Е,созга?, Р„= = Ю'е з(п гз?, Е, = О. 73 6.30. Гамильтониан системы имеет вид Н = Но+ + )г, где «невозмущенный» гамильтониан Йо не зависит явно от времени. Рассмотреть унитарное преобразование от шредннгеровского представления к новому, так называемому представлению взаимодействия, осуществляемое а) унитарным оператором О= ехр()Л(о(г — 1о)/й) (при )7— = О и 1а=О это преобразование описывает переход к гейзенберговскому представлению) .

Как изменяются во времени операторы и волновая функция системы в представлении взаимодействияу Для иллюстрации использования этого представления рассмотреть возбуждение линейного осцнллятора, находящегося при 1- † в основном состоянии, внешней силой г(1), причем г(1)- О при -э-.+-оо. Взаимодействие ьг = — Е(1)х считать слабым. Сравнить с результатом точного решения, см. 6.25. $4. Временные функции Грина 6.31.

Показать, что для не зависящего от времени гамильтониапа временная функция Грина удовлетворяет уравнению ') Ч" ( — 1) 0(Ч, О Ч', 1'=О) =Ч'О(Ч, О Ч', О), где 4(1) — гейзенберговскнй оператор. Используя это соотношение, найти функцию Грина свободной частицы в координатном и импульсном представлениях. Получить ее также по формуле (Ъ'1. 6). С помощью найденной функции Грина решить задачу 6.2. Указание. Предварительно показать, что если в шредингеровском представлении волновая функция при г = О является собственной функцией не зависящего от времени оператора ), то Ч" (Ч, 1) является с.ф.

гейзенберговского оператора )( — т). а) Значение времени тс выбирается обычно таким образом, чтобы оно предшествовало моменту включения взаимонействия Р ()), либо Ма = О. ') В случае нескольких степеней свобоны это — система соответствуюшего числа уравнений. 74 6.32. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы в однородном поле (/ = — гег. 6.33. То же, что и в двух предыдущих задачах, для линейного гармонического осциллятора. 6.34.

Найти временную функцию Грина заряженной частицы в циркулярном электрическом поле во вращающейся системе координат; см. в связи с этим задачу 6,29. 6.35. Найти временную функцию Грина заряженной частицы в однородном магнитном поле. 5 5. Квазистационарные и квазиэнергетические состояния 'е) 6.36. Найти сдвиг и ширину основного уровня частицы в одномерной б-яме (см. 2.7), возникающие при наложении однородного поля ьг = — гох. Поле предполагается слабым, так что агче « й'/таз, где а = = 1/ис — — йз/та определяет область локализации частицы в основном состоянии (в более сильных полях при нарушении этого условия ширина уровня становится порядка энергии связи частицы и исчезают специфи- О-уп ческие свойства квазистационарного состояния на фоне непрерывного спектра). 6.37.

Найти квазидискретные уровни энергии (их положение и ширину) з-состояний частицы в по- Рис. 19 тенциале (/ = ссб(г — а), см. рис. 19. Специально обсудить случай малопроницаемого барьера тпаа/йа » 1 и не очень сильно возбужденных уровней. Связать ширину уровня с проницаемостью б-барьера, см. 2.30. о.38. Обсудить вопрос о сохранении нормировки волновой функции состояния частицы в случае, когда потенциальная энергия является комплексной функцией: У = (/о(г) — г'У1(г), где Уо,1 — вещественные функции (так называемый оптический потенциал).

") См. по этим, как и по многим другим, вопросам квантовой механики монографию А. И. Ьазя, Я. Б. Зельдовича и А. М, Переломова (15). Общие представления о квазиэнергетических состояниях изложены в решении задачи 6.40, рассмотрение их в рамках теории возмущений см, в 8.41 — 43. Изменение со временем нормировки волновой функции можно интерпретировать как «поглощение» или «рождение» частицы при взаимодействии. Как связан знак мнимой части потенциала с характером таких процессовт Рассмотреть одномерную б-яму с У = †(ао + + 1а1)б(х) и найти сдвиг и ширину основного уровня в ней, связанные с возможностью «поглощения» частицы (см. в связи с этим также следующую задачу).

6.39. Рассмотреть следующую модель системы с двумя каналами. Система состоит из двух частиц, совершающих одномерное движение. Одна нз иих является бесструктурной, а другая — составной, причем у нее имеется лишь два независимых состояния «внутреннего» движения, разность энергий которых равна Яэ (сравнить с системой электрон+ ядро). Волновую функцию такой системы в с. ц. и. можно рассматривать как двухкомпоиентный столбец 11т = г'9~ (х, 1) ~ ~, где х = кз — х1 — относительная коор- (,4.(, О,)' дината, а фь, являются амплитудами нахождения составной частицы в 1-м и 2-м внутренних состояниях (соответственно этим двум возможностям и можно говорить о двух каналах).

Взаимодействие частиц является точечным и описывается оператором /а 0 = — аб (х) = — — 1 „) б (х)'„ ал и, (3 — вещественные параметры, причем и > О. Найти спектр дискретных и квазиднскретных уровней такой системы, Показать, что прп энергиях, близких к порогу второго канала, динамика в нем может быть рассмотрена на основе (одноканального) оптического потенциала н найти его вид. 6.40. Заряженная частица находится в однородном электрическом поле Ж(1), периодически изменяющемся со временем, Ж (г+ Т) = Ж (г), причем так, что среднее за период значение напряженности поля равно нулю. Найти спектр нэаэиэнергии и вид волновых функций квазиэнергетических состояний. Специально обсудить случаи а) $(1) = а,эсозоМ; б) Ех = Ю'о соз вГ, Ют — — Жо з1п Ы, М; = 0 (электрическое поле соответственно линейно и циркулярно поляризованной монохроматнческой волны) . Указание.

Воспользоваться описанием электрического поля с помощью векторного потенциала: Ж(1)= — А(1)/с, который в случае й",(1)=0 является периодической функцией времени. Об изменении калибровки потенциалов см. 6.27. 6.41. Исследовать квазиэнергетические состояния (КЭС), возникающие из двукратно вырожденного уровня гамильтониана Оа под влиянием пернодического возмущения )1(1), матричные элементы которого между двумя рассматриваемыми состояниями невозмущенного гамильтоннаиа равны ") = ««'гг = О, ««11г = г«гм = (''е з1п ю»», при этом «»га = Ь'е.

Выполнить разложение волновых функций КЭС по квазиэнергетическим гармоникам, см. 6.40. Наличием других состояний пренебречь, сравнить с двухуровневой системой из 6.9. 6.42. Показать, что рассмотрение квазиэнергетических состояний и вычисление спектра квазиэиергии для системы, находящейся в электрическом поле циркулярно поляризованной волны,т. е. д', =десозш1, д'„=Же з(па(, д;=О, может быть сведено к решению стационарного уравнения Шредингера. Глава 7 движкник в магнитном полк Гамильтониан заряженной частицы со спнном и спиновым магнитным моментом ') )ге в присутствии и) Эта задача моделирует, например, влияние электрического поля Ж(1) = Жз Мп а1 на заряженную частицу в потенциале с вырожденными з- и р-уровнями (2з- и 2р-состояння с 1, = О, ось з вдоль Фр, в атоме водорода).

При напряженности поля, много меньшей атомной, искажение волноных функций мале и наиболее существенным является их «перемешивание» внешним полем. ') Оператор спиновагп магнитного момента )ь = резгз, так что последнее слагаемое в (»Н. 1) имеет вид — р уб; для частицы с з = 1/2 оно равно — рзйуб. Обратим также внимание на использование в решениях задач следующих обозначений; буквы т — как для массы, так и для магнитного квантового числа, а р — как для магнитного момента, так и для массы.

77 магнитного поля — гамильгониан Паули — имеет вид 1 л" е Ие Н= — ~р — — А] +У вЂ” — е№ (ЧП.1) 2л2 'х е л при этом ле" = го1 А и р = — ИЧ. Оператор скорости частицы й = (р — еА/с) /т (см. 6.16); его компоненты удовлетворяют коммутационному соотношению !дь де] = /е/1а2е,Я~/тис, (ЧП. 2) или в векторной форме и',л, и=(еалй/тес.

В однородном магнитном поле лае энергетический спектр поперечного движения ') частицы является дискретным: Ет „=Аюн(п+ 1/2), а=О, 1, 2, ... (уровни Ландау)„ (ЧП. 3) где сов =]е],тес/тс, а вид собственных функций гамильтониана зависит от калибровки потенциала, см. ?.1. Плотность тока в присутствии магнитного поля представляется в виде двух слагаемых: (ЧП. 4) 1 = 1орб + ]се* где первое слагаемое связано с орбитальным движением ел 1ерб = 2 ((Ч'1'") Ч' — Ч" *ЧЧ') — — АЧт'Ч2, (ЧП. 5) а второе — со спиновым магнитным моментом частицы 1„, = — ' с го1 (Ч'*эту). (ЧП. 6) 5 1.

Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля ?.1. Найти уровни энергии и нормированные соответствующим образом волновые функции стационарных состояний заряженной бесспиновой частицы в однородном магнитном поле (направленном вдоль 2) Т. е. и плоскости, перпеипикулириой мегиитиому полю. 78 оси г) при следующих калибровках векторного потенциала: а) А„=О, А»=Мох, А,=О; б) А= [РйогУ2. Обратить внимание на дискретность энергетического спектра поперечного движения частицы и на различный характер нормировки «поперечной» части собственных функций. С чем связано такое свойство с. ф.р Сравнить со случаем стационарных состояний дискретного спектра частицы в потенциальном поле (7(г).