Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 13

7.2. Для заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле указать операторы координат центра орбиты р0 поперечного (перпендикулярного магнитному полю, направленному вдоль оси г) движения, квадрата радиуса-вектора этого центра р~~ и квадРата РадиУса оРбиты Рзч.

Установить коммутационные соотношения для этих операторов друг с другом и с гамильтонианом. Найти спектры собственных значений операторов р0" рл Охарактеризовать поперечное пространственное распределение для частицы в стационарных состояниях Ч~ р, рассмотренных в предыдущей задаче, в случаях: а) гп = — еи/(е( (прн этом специально обсудить значения п » 1 и произвести предельный переход к классической механике), б) и = О и )т( » 1. 7.3. Найти волновые функции стационарных состояний и соответствующие им значения энергии для заряженной бесспиновой частицы, находящейся во взаимно перпендикулярных однородных магнитном и электрическом полях. 7А.

То же, что и в предыдущей задаче, но в случае параллельных полей. 7.5. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний заряженного сферического осциллятора (заряженная частица в потенциале (7 = йг'/2), находящегося в однородном магнитном поле. Исследовать предельные случаи а) слабого и б) сильного магнитных полей. 7.6. Показать, что магнитное поле Ф(г), отличное от нуля в ограниченной области пространства, не может «связать» заряженную бесспиновую частицу, так что не существует стационарных состояний, в которых частица локализована в ограниченной области пространства. Почему этот результат не противоречит существованию магнитных ловушек для заряженных частиц в классической механике? 7.7. Как известно, в одномерном и двумерном случаях в любом поле притяжения всегда существуют связанные состояния частицы, в которых она локализована в ограниченной области пространства.

В трехмерном случае таких состояний может и не быть, если потенциальная яма достаточно «мелкая». Показать, что при наличии в пространстве однородного магнитного поля у заряженной частицы в произвольном потенциале притяжения, удовлетворяющем условиям (/(г)(0, (/(г)- 0 при г- со, всегда имеются стационарные состояния, в которых она локализована в ограниченной области пространства (и не только в поперечном направлении!), так что при наличии магнитного поля любая яма может «связать» частицу.

В случае мелкой ямы, для которой (/е « 8'/щаз (где (/е, а — характерные величина и радиус потенциала), получить приближенные выражения для энергии связи частицы; в связи с этим вопросом см. также 8.81. 7.8. Найти волновые функции стационарных состояний и соответствующие значения энергии для нейтральной частицы, имеющей спин з =1/2 и спиновый магнитный момент 1ьо (так что 14= Росе) в оД- породном магнитном поле.

7.9. То же, что и в предыдущей задаче, ио для заряженной частицы со спином з = 1/2. Сравнить с результатами задач 7.1 и 7.8. Обратить внимание на появление дополнительного вырождения') уровней поперечного движения для частицы, имеющей магнитный момент, равный ре — — ей/2тс (е, пг — заряд и масса частицы; такое значение ро, следующее из уравнения Дирака (29), имеют электрон, мюон и их античастицы). 7.10. Показать, что гамильтониан Паули (Ч11.1) для электрона в электромагнитном поле может быть ') Это вырождение может быть связано с супер«ими«»речным характером гамильтоииеие. О суперсимметрии в квантовой мехзиике см. обзор: Генденигтейн Л.

Э., Крисе И. В.//УФН.— 1985.— Т. 146.— С. 553. Характерные черты и следствии супер. симметрии рассмотрены в зедечвх 10.26 и 10.27. 60 представлен в виде Й = (а (р — еА/с))»/2т + е~р (г). На основании этого выражения показать также, что а) при движении электрона в стационарном однородном магнитном поле проекция спина на направление скорости является интегралом движения, б) магнитное поле Ж(г), отличное от нуля в ограниченной области пространства, не может «связать» электрон; сравнить с 7.6.

Сохраняются ли утверждения задачи для других частиц со спином з = 1/2 (протона, нейтрона и др,) 7 $2. Изменение состояний во времени 7.11. Показать, что при движении заряженной частицы с отличными от нуля спином и спиновым магнитным моментом в однородном переменном во времени магнитном поле Ж(1) (и произвольном электрическом) зависимость волновой функции частицы от спиновых и пространственных переменных разделяется.

7.12. Найти зависимость от времени спиновой волновой функции и средних значений компонент вектора спина частицы со спином з = 1/2 и магнитным моментом р, находящейся в однородном стационарном магнитном поле (о разделении спиновых и пространственных переменных в этом случае см, предыдущую задачу). 7.13. Обобщить результат предыдущей задачи на случай нестационарного магнитного поля, направление которого остается неизменным, т. е. Ф(1) = М(1) пм 7.14. Частица со спином з = 1/2 и магнитным моментом р находится в однородном магнитном поле ,7в" (1) вида 7~»= 7йосозмч1, ~8у= Жоз1пв01, М,=Мь где А~о, ь о,— постоянные величины.

При 1= 0 частица находилась в состоянии с з. = = 1/2. Найти вероятности различных значений з, в момент времени й Обратить внимание на резонансный характер зависимости вероятности «переворота» спина от частоты ыо в случае 1М0/М~( «. 1. 81 7.15. Для заряженной частицы со спином з = 1/2 и спиновым магнитным моментом р, находящейся в однородном стационарном магнитном поле, найти в гейзенберговском представлении операторы радиуса-вектора, скорости, импульса и вектора спина. Векторный потенциал выбрать в виде А =(О, 7в,х,0).

Задачу решить одним из способов, указанных в 6.20. Сравнить зависимость от времени средних значений векторов скорости т(1) и спина з(1), см. также 7.10. 7.16. В условиях задачи 7.12 найти временную спиновую функцию Грина О„а(1, 1') частицы (и,!1=1 и 2 — спиновые переменные). 7.17. То же в условиях задачи 7.13. 7.18. Для нейтральной частицы со спином з = 1/2 и магнитным моментом р, находящейся в однородном стационарном магнитном поле, найти временную функцию Грина 6 а(г, й г', !'), 7.19. Обобщить результат предыдущей задачи на случай однородного нестационарного магнитного поля, направление которого остается неизменным, т. е, рй (1) '7б (') пО 5 3. Магнитное поле орбитальных токов и спинового магнитного момента 7.20. Найти средние значения компонент плотности тока для заряженной бесспиновой частицы, находящейся в однородном магнитном поле в стационарном состоянии Ч',„р, см.

7.1, б). 7.21. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы со спинам з = 1/2 и магнитным моментом рю в стационарном состоянии Чг„„,р, из 7.9. 7.22, Найти среднее зизченис магнитного поля Ж(0), создаваемого в начале координат заряженной бесспицовой частицей, находящейся в кулоновском поле ядра У = — Лез/г в !з- и 2р-состояниях. 7.23. Найти среднее магнитное поле, создаваемое в пространстве злектроном, находящимся в основном состоянии в кулоновском поле ядра с зарядом Яе. 7.24. Найти среднее магнитное поле, создаваемое в начале координат частицей со спином з = 1/2 и магнитным моментом ря находящейся в стационарном з-состоянии в произвольном центральном потенциале.

82 Глава 8 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. ВАРИАЦИОННЫИ МЕТОД, ВНЕЗАННЪ|Е И АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ Методы теории возмущений основаны на возможности представления гамильтониана системы в виде Й = Йо+ )г, где возмущение Ч' является малой поправкой, а решение уравнения Шредингера с невозмущенным гамильтонианом Йо при этом предполагается известным. Эти методы позволяют последовательными итерациями рассмотреть эффекты, связанные с действием возмущения. В стационарном случае, когда Но и )г, как и гамильтониан Й в целом, от времени не зависят, собственные значения последнего в дискретном спектре и соответствующие собственные функции') записываются в виде рядов по степеням кратности возмущения: Ч'.

= Х с..'Р-"', с„=се>„+се > + где Е,, >т>„— спектр и с. ф. невозмущеиного гамиль<о> >о> тониана. При этом если невозмущенный уровень Е„ <о> не выр ожден, то Е~,ц=(~~,~!)'>>то;~) — ( >'и'! ), Е';е'= > (УШ. 1) (в сумме отсутствует слагаемое с и> = п), а для с. ф. с>о> = бам с<>~ =О, с>>а =((с 1Р! п)((Е>о> — Еф>) АФп (Ъ" Ш.

2) Условие применимости приведенных результатов (и Ф Й): ! (А ~ )г ~ п) ~ (( ~ Еф> — Е~а~> ~. (Ъ'Ш. 3) ') О форме записи разложения по собственным функциям см. примечание на с. !2, Подчеркнем, что ниже матричные злементы (а ~ У )и) вычисляются с собственными функциями невозмуц>енного гамильтониана. Если невозмущенный уровень Е7 является з-кратно вырожденным и ему отвечают взаимно ортогональные с.