Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 10

Для частицы со спином з = 1/2 показать, что наиболее общая спин-угловая зависимость волновой функции рпа-состояния (т. е. состояния с 1= 1 и полным моментом 1'=1/2) имеет вид Ч'=(пп)т, или Ч',=и, пта, /а~ где Х=~ ) — произвольный спинор, не зависящий =1.ь/ от направления вектора и (и = г/г или и = р/р в зависимости от используемого представления).

Нормировать на единицу эту волновую функцию. Каково распределение (усредненное по спину) по направлениям импульса частицы в указанном состоянии? Вычислив среднее значение 1, выяснить, как этот вектор зависит от конкретного выбора спинора у. Найти вид функций, описывающих р,м-состояния с определенным значением 1, = -+1/2. 5.22. Провести анализ состояний частицы со спином з = 1/2, спин-угловая зависимость волновых функций которых имеет вид Ч'.- = (! =епп)т (спинор т не зависит от и), по значениям следующих квантовых чисел: 1, 1,! (четность), а также Л вЂ” с. з. оператора Л =оп/2 — проекции спина на направление вектора и (при этом если и = р/р, т.

е. используется импульсное представление, то Л является спиральностью). Как функции Ч' преобразуются при инверсии координат? 5.23. Для частицы со спином з = 1/2 показать, что наиболее общая спин-угловая зависимость волновой функции состояния р,м имеет вид 'Р = (2(сп)+ ') Отметим, что так как вектор импульса — полярный, а спина — аксиальный, то спиральность является псевдоскалярной величиной и прн инверсии координат иаменяет анак. г а'т +1(сп] п)У,, где вектоР с и спиноР У,= 1ч5! от вектора и = г/г не зависят. При каком конкретном выборе с и )г указанная функция описывает рмв-состояние с определенным значением 1, = +-1/2, -+.3/2 проекции полного момента на ось а? 5.24. Для частицы со спином з = !/2 найти спин- угловые волновые функции Чгм~ состояний с определенными значениями й 1', и 1 = 1 ~- 1/2 (1, 1 †орбитальный и полный моменты).

Задачу предлагается решить следующими двумя способами, не прибегая к коэффициентам Клебша— Горлана: 1) используя проекционные операторы Рп 2) используя повышающие (понижающие) операторы 5.25. Показать, что функции Чгп,, рассмотренные в предыдущей задаче, связаны соотношением Чгы,; =(ап) Чгм;, 1, а=)-'; 1/2 (п=г/г или р/р). Найти спин-угловую зависимость волновых функций Чг;;,х (в импульсном представлении) состояний частицы с определенными значениями 1, 1', и спираль- ности ? .

5.26. Частицу со спином з = — 1 можно описывать как симметричным спинором ч) второго ранга фпв(г) (спинорное представление), так и векторной функцией Ч(г) (векторнос представление), Указать: 1) вид оператора спина в этих представлениях, 2) связь этих волновых функций с волновой функ. цией тр(г, и) в ампредставленни, 3) явный вид рассматриваемых волновых функций для состояния частицы с орбитальным моментом 1= 1 и полным 1'= О, ') Для решения задач 5.26 и 5.27 надо знать основы спинорной алгебры н связь спнноров с тензорамн, см. 6 56, 57 в (11. При этом следует различать ко- н контравариантные спинорпые компоненты. Соответственно обычные матрицы Паули (У.

2) теперь надо писать не в виде (а.), а как оо а, здесь ! является ' аа' векторным, а сс и 6 контра- и коварнантнылги спинорными индексами. В 5.26 и 5.27 векторные индеисы изображаются латинскими буквами, спннорные — греческими. 63 5.27. Частицу со спином з = 3/2 можно описывать как симметричным спинором третьего ранга трпрт(г)„ так и спин-векторной функцией г'а(г), удовлетворяюшей дополнительному условию (ба)р прав = О. Указать вид оператора спина и связь волновыхфункцийвзтих представлениях друг с другом и с волновой функцией чр(г, а) в з,-представлении, Указать вид волновых функций состояний частицы с 1 = 1 и полным моментом 1 = 1/2. $3. Спиновая (поляризационная) матрица плотности. Угловые распределения и корреляции в распадах 5.28.

Система из двух частиц с з = 1/2 находится в состоянии с определенными значениями 5 и 5, (5— суммарный спин). Найти спиновые матрицы плотности каждой из частиц в зтих состояниях. 5.29. Частица со спином з = 1/2 находится в состоянии с определенными значениями у, 1 и йп Найти спиновую матрицу плотности, характеризующую спиновое состояние частицы безотносительно к ее положению в пространстве. 5.30. Указать ограничения на квантовые числа')— спин У и внутреннюю четность Р— нейтральной частицы А', следующие из факта существования распадов такой частицы А'- и+и-, идуших с сохранением четности; квантовые числа лиона У = О . Найти угловое распределение пионов в системе покоя частицы Ао, если она находится в состоянии с определенным значением У„см. также 5.32.

5.31. Показать, что существование у К-мезона, имеющего спин Ук = О, каналов распада как на два пиона К- 2п, так и на три К- Зп (для пиона Уп = = О ), свидетельствует о несохранении четности в его распадах (до открытия несохранения четности считалось, что эти каналы распада соответствуют двум различным частицам О и т; и именно разрешение т — 6-проблемы стимулировало эксперименты, в которых непосредственно было установлено несохранение четности в слабогх взаимодействиях), а) Прн применении эакона сохранение четностн к распадам, когда наменпетсп внд частиц, необходимо учнтмвать нх внутренние четности.

О распаде А'-ь 2не см. 10.5. 64 5.32. Покоящаяся частица Х со свином У распадается на две бесспииовые частицы (например, на два пиона). Найти угловое распределение продуктов распада в случае, если а) распадающаяся частица имеет определенное значение У„ б) находится в состоянии, описываемом спиновой матрицей плотности р „ где т — проекция спина на ось з. В качестве иллюстрации рассмотреть угловое распределение пионов в распаде векторной частнцы Ч- 2п (Уч=1 ). 5.33. Найти угловое распределение продуктов распада  — э-пЬ) нестабильной частицы В со спииом Ув = 1/2, если а) в распаде сохраняется четность, и четность частицы В отрицательная; б) в распаде сохраняется четность, и четность частицы В положительная; и) распад происходит с несохранением четности.

Предполагается, что спиновое состояние образующегося нуклона не фиксируется (напомним квантовые числа нуклона и пиона: Унч=(1/2)~, У„=О ). 5.34. В распаде Х-т-а+ В бесспиновой частицы Х спин частицы а также равен нулю, а у частицы В спин равен 1. Найти поляризационную матрицу плотности частицы В при а) фиксированном выборе в пространстве оси квантования з; б) выборе оси квантования вдоль направления относительного движения продуктов распада (в системе покоя Х).

В случае а) найти также элементы матрицы плотности, усредненные по направлениям вылета продуктов распада. 5.35. В условиях предыдущей задачи частица В в свою очередь распадается на две бесспииовые частицы: В в Ь + с. Найти функцию распределения по значениям угла у между векторами р, — импульса частицы а в системе покоя Х и рв — импульса частицы Ь в системе покоя ) В (так что соа у = рарь/рарь), ') Обратим внимание на то, что векторы р и ра опрелеа лены по отношению к раэличным системам отсчета. 3 В.

м. Гачицциа ц цр. описывающую корреляцию между направлениями вылета этих частиц. 5.36. Установить соотношение между спиновымн матрицами плотности рм ь1(п) частиц а и Ь, имеющих спин 1/2 и образующихся в распаде Х-+.а+Ь бесспиновой частицы Х (вектор и направлен вдоль относительного импульса частиц а и Ь). Обсудить случаи, когда а) четность в распаде сохраняется; б) распад происходит с несохранением четности. Глава 6 измвнвнин состояния во врнмвни Изменение во времени состояний квантовомеханических систем может быть описано несколькими различными способами.

В шредиыгеровском представлении волновая функция (вектор состояния) изменяется во времени в соответствии с уравнением Шредингера И вЂ”,', Ча(д, 1) = ЙЖ(д, 1), (У1. 1) а операторы динамических переменных: координат 46 импульсов рь спина е; от времени не зависят. Если гамильтониан ие зависит явно от времени, то волновая функция системы может быть записана в виде разложения ') Ч"(д, 1)= х, с(Е„)е ' "д"Чтв (д) (Ъ"1,2) по полной системе собственных функций Ч'и (д) гамильтониана (описывающих стационарные состоянии).

Коэффициенты в нем однозначно определяются заданием волновой функции в начальный момент времени с(Е„) = ()тР"„(д) зР(д, 1=О) с(т . (У1.3) Если некоторой физической величине 1 сопоставляется квантовомеханический оператор у — )(4, р, 1), то оператор, соответствующий физической величине ') По поводу формы записи разложении см. подстрочное примечание иа стр. 12. 66 1 ~ с()/Ж (производной по времени), определяется соотношением вг «~ Физическую величину, для которой 1=0, называют интегралом движения, Временная функция Грина 6(в,1; д', 1'), удовлетворяющая уравнению Шредингера по переменным г), 1 и начальному условию 6(д, 1= 1', у', 1')= =8(д — д'), позволяет записать решение уравнения (Н. 1) в виде Чг(д, 1) = ~ 6(в, 1; у', О) Чгю(в') ~Ьзч (ЧВ 5) где Чге(г)) — = Чг (д, 1= О).