Galitskii-1992 (1185113), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Доказать независимость значения коэффнцнента отражения прн данной энергии от направлення падения частиц на потенциал. 2.24. Найти коэффициенты прохождения н отраження частицы в случае сепарабельного потенциала (см. 2.19). Убедиться, что общие свойства (П. 5) этих коэффициентов сохраняются н в случае сепарабельного потенциала. 2.35. Найти коэффициент прохождения частиц через потенциальный барьер, указанный на рнс. 11. Рассмотреть различные предельные случаи, допускающне наглядное восприятие полученного выраження для б(Е). 2.36. То же, что н в предыдущей задаче, в случае барьера (.! = — Рс(х), рнс.
12. о!с! ( Рис. !2 Рис. !3 2.37. Поле У(х) имеет внд потенцнальной ступеньки, т. е. (У(х)-~0 прн х-~- — оо н (!(х)-+ Ус) 0 прн х-~- +со, рнс. !3. Найти энергетическую завнсн- 31 мость коэффициента прохождения частиц при Е-». ~-0». Сравнить с результатом из 2.29. 2.38.
Найти коэффициенты отражения и прохождения медленных частиц, йа ~ 1, в случае «слабого» поля (/з «' .йх/та» (0~, а — характерная величина и радиус потенциала). Сравнить полученные выражения с результатами для б-потенцнала (см. 2.30). 2.39. Показать, что коэффициент прохождения в произвольном потенциале, удовлетворяющем условию У(х) = О для 1х() а, прн Š— О обращается в нуль: 0(Е) сю Е. В каких исключительных случаях нарушается эта зависимость'. Выразить коэффициент с в зависимости 0 = сЕ через параметры, характеризующие аснмптотику решения уравнения Шредингера с Е = О. Применить полученный результат к прямоугольному барьеру (яме) и сравнить с результатом точного решения, см. 2.31. 2.40.
Найти коэффициент прохождения для медленных частиц в потенциала (/= — (/за'/(ха+ а')~. Указание. Прн решении у. Ш. с Е = О сделать замену переменной г= агс1д(х/а) н перейти к новой функции ш = Ч' (х'+ аз)-'~». 2 41. Исходя из решения уравнения Шредингера в импульсном представлении, найти волновые функции стационарных состояний частицы в однородном поле (/ = — Рзх. Нормировать нх иа б-функцию по энергии н убедиться в полноте полученной системы функций.
Воспользоваться полученными результатами для определения энергетического спектра в потенциале, рассмотренном в задаче 2.8. 2.42. Найти функции Грина 6<*'(х, х') свободной частицы прн Е » О; индексы (~) указывают на характер асимптотикн: Он*~со ехр(~1 1/2тЕ/й»1х — х' !) при ~ х — х'( — »со.
Записать уравнение Шредингера в виде интегрального уравнения, решения которого описывают процесс отражения и прохождения частиц с импульсом р ( — со < р < +со) в потенциале (/(х), обращающемся в нуль прн х — ~~со. На основе полученного уравнения рассмотреть случай б-потенциала. 2.43. В случае б-барьера, 1/ = аб(х) с а) О, доказать непосредственным вычислением полноту 32 системы функций Ч"р (х), описывающих процесс отражения и прохождения частиц с импульсом р ( — ~> <Р<+,©). 2.44. Обобщить результат предыдушей задачи на случай 6-потенциала притяжения У = — аб(х),а)0.
2.45. Найти функции Грина: 62(х,х') при Е(0 и й~з~~(х, х') при Е: 0 для частицы в 6-потенциале отталкивания У = иб(х) „а » О. Обсудить их аналитические свойства как функций комплексной переменной Е. Сравнить со случаем свободной частицы, см. 2.42. 2.46. То же, что и в предыдущей задаче, для б-ямы. 2.47. Найти в импульсном представлении функцию Грина частицы в 6-потенциале У = аб(х). й 4. Системы с несколькими степенями свободы Частица в периодическом потенциале 2.48.
Найти энергетические уровни и соответствующие волновые функции плоского изотропвого осциллятора. Какова кратность вырождения уровней? 2.49. Найти энергетический спектр частицы в потенциале У =(!/2)й(хй+ уй)+ аху, !а~( А. 2.50. Найти спектр гамильтониана 1 2 1 2 . 1 2 2 2 Н = Зм Р1+ 2 Р~+ 2 22 (х~ + хи)+ах~ха, |а)< й. 2.51.
Две частицы одинаковой массы находятся в одинаковом же потенциале У(хь2) н взаимодействуют друг с другом как «непроницаемые» точки. Найти энергетический спектр и соответствующие волновые функции такой системы, считая известным решение одночастичной задачи в потенциале У(х). Рассмотреть в качестве иллюстрации случай двух частиц, находящихся в бесконечно глубокой потенциальной яме. 2.52. Обобщить результат предыдущей задачи на случай У частиц. 2.53. Для частицы в периодическом потенциале вида (2' =а ~„ 6(х — па) (идеальный бесконечный и-— «кристалл», см. рис.
14) найти систему независимых решений уравнения Шредингера для произвольного значения Е. ЗЗ 2 В. М. Галицкий и цр. Определить энергетический спектр частицы, 2.54. Найти энергетический спектр частицы в по- \л с тенциале У=о ~„б(х — па), где штрих у суммы а=в означает отсутствие слагаемого с п = О («кристалл» а~ и,( -аа -а С Рис. 14 с дефектом — вакансией, рис. 15).
Показать, что в дополнение к разрешенным энергетическим зонам в случае идеального кристалла (см. 2.53) появляются новые дискретные уровни, соответству|ощие локализованным вблизи дефекта состояниям частицы. Рис. 13 2.55. Найти энергетический спектр и указать кратность вырождения уровней частицы в потенциале вида: У = а Х' б(х — по) при х ) О и У = Ус ) О при л =- ! х ( О (частица в полубесконечном кристалле, см. рис. 16).
Сравнить со случаем идеального бесконечного кристалла (см. 2.53). Обратить внимание на 34 возможность существования состояний частицы, локализованных вблизи границы кристалла (так Рис. !6 называемые поверхностные, или таммовские, состояния, на возможность существования которых впервые указал И. Е. Тамм). Глава 3 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Операторы компонент момента импульса частицы !)! = [гр] удовлетворяют коммутационным соотношениям ') [!! (д]=!вся ! [!з !1]=О, (111.1) а также [!!, ха] =(ецшх„, [!ь ))а]=(в!яя/)я, (!!1.
2) В сферических координатах операторы !! содержат только угловые переменные О, гр. Так, оператор 1,= — (д/дф, его с, ф. и с. з. имеют вид (пг — = !,): Ф (ф) = е' е/.Х/2»с, гп = О, ~ 1, -Е 2, (1[1, 3) Оператор квадрата момента !' выражается через угловую часть оператора Лапласа; его с. з. равны 1(1+ 1), причем ( = О, 1, 2, ... Прн исследовании ') Таю [!», !я) = !!» н т. д. Говоря о моменте (включая в дальнейшем н спиновый момент), мы имеем в виду измерение его в единипах я, так что соответствующие операторы и их с, з.
безразмерны. Подчеркнем, что как соотношения (1П. 1), так и (1П. 8), (П1. 9) справедливы для момента любой системы (или подсистемы) независимо от его природы (орбитальный, спииовый, полный). лишь угловой зависимости волновых функций частицы операторы 1' и 1, образуют полный набор. Шаровые функции У! (О, !р) являются нормированными с. ф. этих операторов: г 1 д г. дх 1 доз «оУ1 =— — 1ь —. — ( яп 8 — ) + — — ~ У 1о1яВ де (, дв) Мо'Е дро~ =1(1+ 1) «'1, где и, и' — орты вдоль соответствующих направлений, при этом У! (п)= — У1 (О, !р) н пп'=совОсов9'-)- + яп 0 яп 0' сов (<р — <р'), Приведем шаровые функции для низших моментов: / 3 У„=1 у — созО; 4я 1 «оо 4/4п Уоо= т — (1 — Осознай); оо 11 !!аз / 3 Уь ~~ = ~1 '(/ 3 яп Ое го; Уды= ~/3 ЯпОсозОе~ ~; /15 Уо, о= †.у — яп Ое~ ч.
/15 . о о! ~/ 32я (П1. 7) 1,У1 — ! д У! тУ1:, дт и имеют вид (~ т ~~(1) то-1 гл! У =( — 1) о 1' ( +Ц 0 ! П) Р','" (созО)Х 1т 4я (1+1 т1)1 Х е", (П1. Б) Р', 1(сов9)=31п! Ы!'" Р,(совО)/и'(сов9) где Р, и Р! — полнномы Лежандра и присоединен!я! ные полиномы Лежандра соответственно; при этом «1и ( 1) «ь-т Шаровые функции имеют определенную четность равную ( — 1)'.
Для иих имеет место «теоремп сложенияо: 4 Р!(пп)= ~ У! (п)У (п), (1П.О) Отметим, что полезно иметь в виду возможность записи шаровых функций через декартовы координаты; так, Уг,е! сю з!п9еее=(х=Е (у)/г, уюоз созй=г/г и т. д. «Повышающий» (значение проекции момента на ось з) 1е и «понижающий» 1 операторы, Ь = =1, -~- 1(ю удовлетворяют соотношениям коммутации [1ю 1а) = =91 . Отсюда следует, что для них из матричных элементов ((т' ~ 1е (1пт) отличны от нуля только а) (1ь), = (1 ),„, ю = ~/(1 + гп) (1 — т + 1) . (111. 8) Соответственно для операторов 1„, 1„отличны от нуля только матричные элементы: (1 )„,, =(1,), = '/ -~/(1+т)(1 — т+ 1), (1н), — ! = (1») ! = !/з( 'т/(1 + т) (1 т + 1), (Н1.
9) чем и определяется вид этих операторов в 1,-пред- ставлении, при этом (1,)„, = тй 5 !. Общие свойства момента 3.!. Найти волновые функции стационарнык состояний и уровни энергии плоского ротатора з) с моментом иверцпи 1. Какова кратность вырождения уровнейр В состоянии ротатора с волновой функцией Ч' = = С созагр найти вероятности различных значений энергии и проекции момента, а также средние значения и флуктуации этих величин.
а) для определения величины матричного элемента следует также учесть соотношение ! = 1 1т + 1» + 1 . Выбор фазового множителя а (П!. 8) фиксирует используемую в теории момента относительную фазу в. ф, состояний с различными лз (для одного и того же значения 1). ') Ротатором называется врашаюшаяся относительно центра масс (в пласкостк илн в пространстве) система из двух жестко связанных друг с другом частиц.
Момент инерции ротатора равен 1 = Ыаа, где р — приведенная масса частиц, а — расстояние между ними. 37 3.2. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии пространственного (сферического) ротатора с моментом инерции (. Какова кратность вырождения уровней? В состоянии, описываемом волновой функцией Ч' = Ссоз'6, найти вероятности различных значений энергии, момента и его проекции на ось -, а также средние значения и флуктуации этих величин.
3.3. Показать, что равенство 1.'=1(1+1) получается с помощью элементарных формул теории вероятностей, исходя из того, что проекция момента на произвольную ось может принимать лишь значения т = — 1, — 1+ 1, ..., й причем все они равновероятны, а оси равноправны. 3.4. Дать наглядную интерпретацию: а) коммутативности операторов проекций импульса, б) некоммутативности операторов проекций момента импульса, в) коммутативности операторов проекций импульса и момента импульса на одну и ту же ось и их нскоммутатнвностн для проекций на различные осн, исходя из кинематического смысла этих операторов, связанного с бесконечно малыми переносами и поворотами. 3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
