Galitskii-1992 (1185113), страница 2
Текст из файла (страница 2)
стае волновых функций (еекгороа состояний) Ч', описывающих состояния физической системы. В общем случае произвольному линейному оператору Х, задающему соотнетствие между функциями, Ф(!?) = ?.Ч'(!?), можно сопоставить оператор Е+ эрмитово сопряженный ?., определяемый соотношением ( 2~ ~ !) ~ 2('?) 1(г?) с ~ (й Чэ(г?)) 11(Ч) г?тд (? Чэ ~Ч !) (1 !) (при некоторых ограничениях на функции Ч"!,э). Если ?.+ = Е, то оператор называют эрмитовым (самосопряженным) ') . В вопросах сопоставления свойств физической величины ) и соответствующего ей самосопряженного квантовомеханического оператора ? важную роль играют понятия, связанные с уравнением на собственные функции и собственные значения этого ') Строго говоря, понятия эрмитовостн и самосопряженности не совпадают, см.
по этому поводу !.29. 11 оператора: (1. 2) Спектр собственных значений )„являющихся вещественными, определяет те значения величины 1, которые она только и может принимать. При этом собственные функции Ч')„описывают состояния системы с определенным, равным („значением физической величины 1 (в случае произвольного состояния она не имеет определенного значения). Эти функции, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны и образую~ полную систему. Последнее свойство обеспечивает возможность разложения волновой функции Чг(д) произвольного состояния в ряд по собственным функциям: Ч Х с() )Ч1е (!.
3) где с (~„) = (Чг)„ ~ Ч') — = ~ Чг~ (б) Ч'(г)) с(т,. (1. 4) з) Ради краткости разложение по с. ф. записано в виде суммы. В обшем случае его следовало бы писать а виде двух «слагаемыхю суммы по с.ф., отвечаюшим дискретным с.з., и интеграла по с. з. непрерывного спектра. Аналогично говорится о полной системе с, ф. Чг), хотя более точно следовало бы говорить о собственных функциях совокупности операторов, образуюШнх полныа набор. з) В. ф. Чг любого физически реализуемого состояния должна быть квадратнчно интегрируемой. Ненормнруемые на 1 собственные функции непрерывной части спектра с.з. сами по себе не описывают реальных физических состояний (онн описываются залповыми пакетами, составленнымв нз таких с. ф.).
12 Здесь з) (как и часто специально не оговариваясь в дальнейшем), предполагается, что с. ф. т!г1 выбраны ортонормированными, причем они нормированы на единицу для дискретных с. з, и на 6-функцию — й(1 — 1") — в непрерывной части спектра. Если волновая функция рассматриваемого состояния также выбрана нормированной ~на 1'), т.
е. (Ч" ~ Чг) = 1, то коэффиЦиенты с(1п) непосРеДственно опРеДелЯют вероятности гн(1.)=~с(1.) (з значений )„величины 1 в этом состоянии (плотность вероятности — в непрерывной части спектра с. з.). При этом среднее зна- чение 1 = 2, 1„та Дл) физической величины может быть рассчитано па квантовомеханнческой формуле 1 = (Чг !1 ! Чг) =~ Чг* (д) ~Ч' (д) с(т, (1. 5) не требующей предварительного вычисления вероятностей.
Если зрмитав оператор /(Л) зависит от некоторого вещественного параметра Л, то для производной от с. з. /„(Л) в дискретной части спектра справедливо соотношение д/„(Л)/дЛ = (Ч'у„(Л) ~ д//дЛ ! Чгр„(Л)), (1. 6) имеющее многочисленные приложения. 2 1. Основные понятия теории линейных операторов 1.1. Рассмотреть следующие операторы ( — со ( < х(+со); 1) отражения 1: 7Чг (х) — = Ч' ( — х); 2) сдвига Т;. Т,тР(х) = — Ч" (х+ а); 3) изменения масштаба М,: М,Ч'(х)— = ~/с Ч" (сх), с>0; 4) комплексного сопряжения К: КЧ'(х) = — Ч'(х); 5) перестановки координат двух частиц Ри. Р, агу (х„х,) = — Ч' (хм х,). Являются ли зтн операторы линейными? Найти внд операторов, которые по отношению к ним являются: а) зрмитово сопряженными, б) обратными.
1.2. Операторы А н В эрмитовы, Š— произвольный линейный оператор'). Показать эрмнтовость следующих операторов: 1) Е+Е и (1.'-; 2) Х+Х', 3) 1(1.— Х'); 4) ЕА1."; 5) АВ+ ВА; 6) 1(А — ВА). ') В дальнейшем все рассматриваемые операторы предполагаются лвнейными и термин «линейный» для краткости опускается. 13 1.3.
Показать, что произвольный оператор Е можно представить в виде А=А+(В, где А и  — эрми- товы операторы. 1.4. Выразить коммутаторы 1А, ВС] и [АВ, С] че- рез ]А, В], '1А, С], ]В, С]. 1.5. Могут ли две матрицы Р и Я конечного ранга удовлетворять каноническому коммутационному со- отношению ]Р, Я] = — Й 1? 1.6. Предполагая Л малой величиной, найти раз- ложение оператора (А — ЛВ) ' по степеням Л.
1.7. Оператор вида Р=Р(1), где Р(а) — функция г, разложимая в ряд Р(г) = ~, с„а", следует поник мать как оператор, равный Р = ~., с„)". Используя и это определение, найти явный вид следующих опе- раторов: 1) ехр(?аГ); 2) Т, = — ехр(ад/дх); 3) Л,=— ехр(ахд/дх), где а — вещественный параметр, 1 — оператор от- ражения. В связи с данной задачей см.1.24, а также 1.8 и 1.57. 1.8. Каков явный вид оператора Т(й(х) ) = — = ехр(д(х)д/дх), где д(х) — некоторая функция х? Рассмотреть частные случаи: а) д = ах; б) д = = аз/Зхз 1.9.
Показать, что имеет место равенство — 3р (ехр (ЛА + В)) = Яр (А ехр (ЛА + В)), где А,  — произвольные матрицы (одиого и того же ранга). Существенно ли взятие следа матриц в этом соотношении? 1.1О. Показать, что в случае, когда коммутатор операторов А и В является числом: ]А, В] = (с, справедливо соотношение ехр (А + В) = (ехр А) (ехр В) ехр ( — ?с/2). 1.11. В общем случае линейный оператор Х можно рассматривать как линейный интегральный оператор, 14 т.
е Ф(а)=ЕЧ" (з)= — ~Е$, $')Ч'(Г) $', где Е($, Г) — ядро оператора Е Я вЂ” совокупность переменных используемого представления). Как ядро Е+(и, $') оператора Е+ связано с ядром оператора 7? Найти ядра операторов 7, Т„М„У =х, р= 'м* .— Ий/Их (по поводу /, Т,„М, см. 1.1). 1.12. Какой вид имеет ядро Е(х,х') оператора Е, если этот оператор коммутирует с оператором: а) координаты х = х, б) импульса б = — (л й/пх? Показать, что оператор Е, коммутирующий как с х, так н с р, кратен единичному, т. е.
Е = — Е0 —— = сопя(. $2. Собственные функции, собственные значения, средние 1.13. В состоянии частицы с волновой функцией Ч' (х) = С ехр (?р,х/й — (х — х,)э/2а-'), где рм х,, а — вещественные параметры, найти распределение вероятностей различных значений координаты. Определить средние значения и флуктуации координаты и импульса частицы. 1.14. Найти связь между средними значениями координаты и импульса частицы в двух состояниях, волновые функции Ч", и Ч', которых связаны соотношением а) Чг, (х) = Ч", (х + а); б) Чгэ (х) = ехр (1р0х/л) Ч', (х). 1.15. Показать, что средние значения эрмитовых операторов Е+Е и ЕЕ+ в произвольном состоянии неотрицательны. 1.16.
Показать, что среднее значение дипольного момента системы заряженных частиц в состоянии, характеризующемся определенной четностью, равно нулю. 1.17. Эрмитов оператор / удовлетворяет соотношению а) Р=с-'; б) Р=сЬ в) Р=с9, где с — вещественный параметр. Каковы собственные значения такого оператора? 15 1.18. Найти собственные функции и собственные значения физической величины, представляющей линейную комбинацию одноименных компонент импульса и координаты частицы: ) =ар+ ()Х. Убедиться в ортогональности полученных функций и нормировать их соответствующим образом.
1.!9. То же, что и в предыдущей задаче, для зрмитова оператора Р, ядро которого имеет вид з Р(х, х') = 1(х)1'(х') (см. 1.11) . Каковы кратности вырождения собственных значений? 1.20. Решить задачу на собственные функции и собственные значения оператора комплексного сопряжения К (см. 1.1). 1.21. Эрмитов оператор (матрица) 1 имеет Жразличных собственных значений.
Показать, что оператор )н линейно выражается через операторы 1, ~, ... '. В качестве иллюстрации рассмотреть оператор отражения В 1.22. Найти вид оператора Р=Р(1), где 1 — зрмитов оператор, Р(г) — произвольная функция, в случае когда оператор 1 имеет М различных собственных значений. Рассмотреть, в частности, случаи )т' = 2 и Лг = 3, причем в последнем считать спектр собственных значений состоящим из величин О, -1-1а. 1.23. Доказать соотношение (1. 8).
1.24. Какой смысл можно придать оператору вида Р=Р()), где Р(г) — произвольная функция переменной х, 1 — зрмитов операторе Насколько существенно предположение об зрмитовости 12 В качестве иллюстрации рассмотреть оператор 1/~/-Ь, где Л вЂ” лапласиан. 1.25. Эрмитовы операторы А, В, Х удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: [А, Х] =О, 1В, Е) =О, 1А, В)ФО. Показать, что среди собственных значений оператора Е обязательно есть вырожденные. Привести примеры. ') Операторы такого вида используются в модельных задачах атомной и ядерной физики для описания взаимодействия частиц — так называемые сепарабельные потенциалы (см.
задачи 2.19, 2.34, 4.12). Заметим, что, ие конкретизируя представления, рассматриваемый оператор можно записать а виде р = 11)Я). 1.26 Привести примеры такой ситуации, когда в некотором состоянии: а) две физические величины, операторы которых не коммутируют, имеют одновременно определенные значения; б) из двух физиче- ских величин, операторы которых коммутируют, определенное значение имеет лишь одна. 1.27. В состоянии, описываемом волновой функцией Ч',м физические величины А и В имеют опре- деленные значения. Что можно сказать о собствен- ных значениях а, Ь этих величин, если операторы А и В антикоммутируют друг с другом? В качестве иллюстрации результата рассмотреть операторы хи Е 1.28.
Найти оператор радиальной компоненты им- пульса р„(в сферических координатах). Убедиться в эрмитовости полученного оператора. Найти соб- ственные функции и собственные значения, Вещест- венны ли с. з.? Ортогональны ли с. ф.? Объяснить полученные результаты. В связи с данной задачей см. также 1.29. 1.29. На примере оператора — 1й Ы/с(х, действую- щего в пространстве функций, заданных иа а) всей оси — со < х С со; б) конечном отрезке а ( х ( Ь; в) полуоси 0 ~ х ( со, ) обсудить вопрос о различии понятий эрмитова и са- -мосопряженного операторов и о свойствах собствен- ; ных значений и собственных функций таких опе- - раторов. 1.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
