Galitskii-1992 (1185113), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Рассмотреть потенциал 1((«), для которого волновая функция в момент возникновения связанного состояния имеет внд и сравнять его с ()(г). 5 3. Системы с аксиальной симметрией 4.33. Найти энергетические уровни дискретного спектра частицы н днумерной потенциальной яме вида а) с«(р) = — аб(р — а); б) (.г= — У, при р < а и Е) =О при р ) а, отвечающие значению проекции момента т = О.
Специально обсудить случай мелкой ямы; сравнить с од. номерным движением. 4.34. Найти энергетический спектр связанных состояний частицы с произвольным значснием проекции момента т в двумерных потенциальных полях: а) («'(р) = — а/р; б) (.«=О при р<а и (l=оо при р>а. Указать кратность вырождения уровней. 4.35. В двумерном случае найти функцию Грина снободной частицы при энергии Е < О, убывающую при р-~ оо 4.36. То же, что и в предыдущей задаче, но для Е ) О. Рассмотреть функции Грина («а*), имеющие асимптотики при р- оо вида расходящейся и сходящейся волн.
4.37. Найти функцию Грина 6л(гр, гр') плоского ротатора (см. 3.1). Рассматривая ее как аналитическую функцию комплексной переменной Е, показать, что она имеет особые точки — полюсы, и установить связь между положениями этих полюсов в плоскости Е и энергетическими уровнями ротатора, сравнить с 2.26. 4.38. Найти функцию Грина 6л(п, и') сферического ротатора, и — единичный вектор вдоль оси ротатора (см. 3.2). Задачу предлагается решить двумя способами: !) непосредственно решая уравнение для функции Грина, 2) используя общий алгоритм построения функции Грина; см. [15, с.!36).
Глава 5 СПИН Волновая функция частицы со спином з имеет (2з+!) компоненту и в з;представлении изображается в виде столбца ~~) (г, г) ~)(г, г — Ц (Ч. 1) 14~(г, — г) где ф(г, о) является амплитудой состояния с проскцией спина на ось г, равной о, причем а = х, з — 1,... ..., — з. В этом представлении операторы компонент вектора спина — механического момента по своей физической природе — изображаются матрицами йг, зг, У„элементы которых определяются общими формулами (П1. 9) с ! = з, гп = а; матрица У, диагональна н (Я,)~~, =оба, Для спина з = 1/2 эти операторы а ='/,а выражаются через матрицы Паули: Матрицы Паули обладают следующим свойством '): (Ъ'.
3) б,йь = бы + хагегдг -( соз (О(2) т)г = есе з|п (О)2) ) (тг. 4) то 0 и гр определяют полярный и азимутальный углы такой оси и, для которой зь =+1/2, см. 5.3. Часто приходится иметь дело со спиновым состоянием, описываемым лгатрицей плотности р. Элементы р,, такой матрицы сопоставляются билинейной комбинации ф(о)тр*(о') из спиновых волновых функций и могут рассматриваться как результат некоторого усреднения ест): р„, =- ф (о, Х) тр" (о', Х) (ьг. 5) (здесь Х вЂ” параметр усреднения). При этом среднее значение оператора (матрицы) 1 в спиновом про- ') В ЧеетНОСтщ О-=О~=О =1, дх6„=1д И т.д. ИЗ(т'.
3) следует знтикоммутзтивность разных матриц Паули: о.д + А +Вьд =О для (Ф)о ') Матрица плотности нормирована условием Бр р =!. Ее диагональные элементы р определяют вероятности соответоо ствующих значений и проекции спина нз ось з. В случае рз= р матрица плотности имеет вид р ° = ф(о)ф'(о') и харзктеризует чистое состояние, описываемое уже волновой функцией тр(о). (здесь й )с = 1, 2, 3; при этом пг = о„оя = пн, оз === оз). В случае з = 1/2 для компонент спинозой функции часто используются обозначения трг = ф(о = г'Ф 'т = +!/2) и фз = — тр(о = — 1/2), так что т(г= (х х), фт а скалярное произведение в спиновом пространстве записывается в виде (Ф )Ч') = — Ф"Ч" = <р,ф, + ф,фз.
Отметим характерное для з = 1/2 свойство произвольного спинового состояния: возможность всегда указать такое направление, на которое проекция спина имеет определенное (равное (-!/2) значение. Если записать нормированную на 1 спиповую функцию наиболее общего состояния в виде странстве описывается выражением ( = Яр ()р) = =Вр(р1) Для спина з = 1/2 матрица плотности может быть записана в виде (Ч. 6) 2 ( + где Р = 28 — так называемый вектор поляризации. Случай Р = 0 соответствует полностью неполяризованному состоянию, а при ~ Р~ =1, наоборот, состояние является чистым и описывается спиновой функцией (Ъ'. 4) с выбором соответствующей оси вдоль вектора Р. й 1.
Спин »=1/2 5.1. Для частицы со спином з = 1/2 найти собственные значения и собственные функции операторов з„ з» и М, соответственно. 5.2. Указать вид оператора проекции спина й„ на произвольное направление, задаваемое единичным вектором и. В состояниях с определенным значением проекции спина на ось г найти з„. Каковы в этих состояниях вероятности значений проекции спина -~-1/2 на направление пр 5.3. В случае спина з = 1/2 нормированная волновая функция наиболее общего спинового состояния СО» Я имеет вид Ч" =(,. ), где Ое='а~(п/2, Оеар( хе'а мпа ~ 2п. Найти полярный и азпмутальный углы такой оси и в пространстве, на которую проекция спина имеет определенное значение, равное +1/2 (возможность указать такую ось для произвольного состояния — специфика спина з = 1/2; сравнить с результатом 3.42 для момента Е = 1). Используя полученный результат, решить задачу 5.1.
5.4. Показать, что коэффициенты в разложении произвольной квадратной матрицы 2-го ранга А по полной системе матриц 1, о„о„, о А=а»1+а„а,+а»д»+а,д, а,+ао равны 2пе= Зр А, 2а= Яр(пА). 58 5,5. Упростить выражение (аа) ", где а — вещественный числовой вектор, а — целое число, а в матрицы Паули. 5.6. Найти: 1) собственные значения и собственные функции оператора ) =а+ Ьа, 2) явное выражение для оператора вида г" = =с (а+ Ьа); здесь а и Ь вЂ” вещественные скалярный и векторный параметры, г (г) — достаточно произвол ьн ая функция перемен но й г.
Рассмотреть в качестве иллюстрации оператор 1с (аь) = ехр (йр,а/2), описывающий преобразование спинозой функции, Ч" = Р(~р»)Ч', при повороте системы координат на угол ам и с его помощью найти собственные функции Ч',„ьцз оператора проекции спина на направление вектора и (сравнить с 5.3). 5.7. Используя закон преобразования спиновых функций Ч'=( ) при вращении системы координат (.Ч,) Ч" = Р(Чч)Ч' (см. предыдущую задачу), показать, что при этом величины вида = % "~1+ Ч2"~з не изменяются, т. е. являются скалярами, а вида У=Ф*аЧ' (или У,.= ~", Ф*,(б,)„рфр~ кр преобразуются как вектор. 5.8.
Рассмотреть матричный элемент вида (Ч "'~ А ~ Фо) (Фа'~ 8 ~ Ч и) = — ф."'"Л., р',",р,"'В„фн', где А,  — некоторые матрицы 2 Х 2, а Ч""' ', Ф' ' '— спиновые функции. Показать возможность записи его в форме Е Си (ЧЛ2'! о.! Чг(п) (Ф<2> ! ",! Фп)) с»-О с «переставленнымн» спиновыми функциями; здесь для единообразия записи положено 1= — д,. Записать таким образом скалярные матричные элементы (Ч' ~Ф' )(Ф' ~Ч" ~) и (Ч"' ~ е ~Ф ')(Ф' ~ а ~Ч" ) 5.9. Найти проекционные операторы Р, м», для состояний с определенным значением проекции спина на ось я.
Какой вид имеет их обобщение Р~ на случай определенного значения проекции спина на ось, направление которой задается единичным вектором и? С помощью этих операторов найти спиновые функции Ч', ы м и сравнить с 5.3. 5.10. Для системы из двух спинов с з = 1/2 найти собственные функции Чзз, операторов квадрата суммарного спина и его проекции на ось г. Обратить внимание на характер симметрии этих функций по отношению к взаимной перестановке спиновых переменных обеих частиц в зависимости от значения 5. 5.11. Система из двух спинов с з = 1/2 находится в состоянии, описываемом спиновой функцией вида Ч'„в = ~г та (мультипликатинный внд Ф„з указывает на отсутствие корреляции между спиновыми состояниями частиц).
Каковы вероятности различных значений Я суммарного спина в этом состоянии? Чему равно значение Вз? Рассмотреть, в частности, случай, когда я~а — ха. 5.12. Для системы из двух частиц со спинами з = 1/2 показать, что 1) оператор а,п, в состояниях, отвечающих определенному значению суммарного спина, также имеет определенное значение, 2) оператор (п,п,)' может быть представлен в виде, содержащем матрицы Паули п,ы в степени не выше первой. 5.13. В условиях предыдущей задачи найти оператор спинового обмена С, действие которого на спнновую функцию Ч' З состоит в следующем: СЧ"„З = = Ч'з~, т.
е. он переставляет спиновые переменные обеих частиц (задача состоит в том, чтобы выразить С через матрицы Паули). 5.14. Для системы из двух частиц со спином з =- =!/2 найти собственные функции и собственные значения операторов: а) Р~ — — Р(а-)- ба,п,), Р(х) — некоторая функция х; б) Кз = а (бы + йр ) + Ьп,оз; "60 в) )Гз=аймбы+ Ьп~оз! г) Р, = а, о„+ а,а„+ Ьв,о, (параметры а, Ь вещественны, так что операторы У эрмитовы) .
5.15. Спины Ж частиц, равные з каждый, складываются в результирующий спин 5 = ЛЪ. Каков при этом суммарный спин любых 2, 3, ..., л частицй Имеет ли спиновая функция определенную симметрию по отношению к перестановке спиновых переменных любых двух частиц? 5,16. Спиновая функция системы из Ут' спинов з = 1/2 имеет вид Найти з'. В частных случаях и = 1 и и = Ут' — 1 найти также вероятности возможных значений Я суммарного спина. 5.17. Состояние частицы со спином з = 1/2 характеризуется определенными значениями квантовых чисел 1, т, з,. Найти вероятности возможных значений ! полного момента ) = 1+ з; воспользоваться результатом 3.29. 5.18. Моменты двух слабо взаимодействующих подсистем, равные 1 и 1/2, складываются в результирующий люмент У.
В состояниях совокупной системы, характеризующихся определенными значениями У и У„ найти вероятности значений проекций складываемых моментов на ось г и их средние значения. При решении задачи воспользоваться операторами У,, не прибегая к коэффициентам Клебша — Горлана. 5.19. В системе из трех частиц со спином з = !/2 имеется восемь независимых .спиновых состояний. Произвести их классификацию по значениям суммарного спина системы.
Найти полную систему спиновых функций зз, описывающих состояния с определенными значениями 5, Я, суммарного спина. Об-. ратить внимание на характер симметрии этих функций по отношению к перестановке спиновых переменных частиц и сравнить со случаем системы из двух частиц. 6! $2. Спин-орбитальные состояния частицы со спином в=1/2. Высшие спины 5.20, Состояния частицы с определенным значением Л проекции спина на направление импульса называют спиральными а). Для частицы со спнном з = = 1/2 найти волновые функции тур,, ь состояний с определенными импульсом р, и спиральностью Л = +-1/2. 5.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
