Galitskii-1992 (1185113), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Каковы средние значения Т, (7? 4.1!. Найти энергетический спектр частицы, находящейся в бесконечно глубокой сферической потенциальной яме радиуса а и испытывающей также действие в точке г = О потенциала нулевого радиуса (п. н. р,). Сравнить со спектрами в яме и в и. н. р. в отдельности. Обратить внимание на возможность существенной перестройки спектра «ямных» уровней под влиянием п. н. р. 4.12. Обсудить вопрос о связанных состояниях частицы в случае сепарабельного потенциала, представляющего интегральный оператор с ядром (сравнить с 2.19): (/(г,г)= — )((г)('(г), причем ((г)- О при г- оо. Рассмотреть конкретный случай У = = — ()/гг')ехр( — у(г+г')) (потенциал Ямагучгг), 4.13.
Рассмотреть связанные з-состояния частицы в 6-потенциале У = — ссб(г — а), исходя из решения уравнения Шредингера в импульсном представлении. 4.14. Найти решение уравнения Шредингера предыдущей задачи с граничным условием Ф(р) =О для Рейрз(рз > О). Показать, что в такой постановке задачи в яме произвольной глубины имеется связанное состояние, з) Такой «потенциал», оказывающий действие лишь на частицу с 1 = О, моделирует потенциалы«ую яму достаточно произвольного вида (Г(г) конечного радиуса гз в случае, если в ней имеется мелкий реальный (илн виртуальный) уровень с эиергней з, такой, что зз«Са /тгз.
При этом свойства состояний частицы с моментом 1= 0 н энергией Е йа (Опт~ слабо зависят от конкретного вида (г(г). Применения потенциалов пулевого радиуса в задачах атомной н ядерной физики рассмотрены в главах 11 и 13, см. также монографии (19,20). в котором частица локализована в ограниченной области пространства, и найти энергию связи частицы в случае мелкой ямы. Образование связанного состояния н рассматриваемой постановке задачи при наличии сколь угодно слабого притяжения составляет содержание так называемого феномена Купера — явления, лежащего в основе микроскопического механизма сверхпроводимости.
4.15. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции дискретного спектра в одномерном потенциале (« = — и/х при х ) О и (l = со при х ( 0 из решения уравнения Шредингера в импульсном представлении. Используя полученный результат, найти нормированные волновые функции з-состояний частицы в импульсном представлении для кулоновского потенциала ( «(г) = — а/г. 4.16.
Найти поведение при р-«.0 волновой функции Ф„, (р) стационарного состояния дискретного спектра с моментом ! частицы в импульсном представлении. 4.17. Показать, что асимптотика волновой функции стационарного з-состояния частицы в импульсном представлении при р- со имеет вид «7«,ж (р) = — 2 (2пй) ' Ч" е (0) тр 'б (р), где Ч'„„е«(г) — волновая функция состояния в коор- динатном представлении, б(р) =(2пй) ~ е 'Рмь У(г) сЛ« — фурье-компонента потенциала, Предполагается, что О(р) при р- ео убывает степенным образом: 0(р) о~ р " с п ) 1 и не содержит быстро осциллирующего множителя вида з!п(ар«) с й ) !.
4.18. Показать, что обобщение результата предыдущей задачи на случай состояния с произвольным значением момента ! имеет вид г1«л «««(р) «2 (2пй)н" (21) «пайп «(О) ~ р «~ Ху~ ( — )Ф ' —,, у(р), 50 где Д„,,(г) связано с волновой функцией в координатном представлении соотношением Ч"„,, (г) = = г')1„,, (г) У, (г/г).
4.19. Частица находится в потенциале, имеющем при г-~О вид (/ = а/г' с з (2. При этом радиальная волновая функция состояния с моментом 1 имеет вид Я„,~ = С„,,г~. Найти поправку к этому выражению при значениях О ~ з ( 2. 4.20. Найти функцяю Грина 6е(г, г') свободной частицы для значений Е ( О, убывающую прн г-+. -+-оо.
С помощью функции Грина записать уравнение Шредингера для состояний дискретного спектра в потенциале (/(г), обращающемся в нуль при г-+.со, в виде интегрального уравнения. 4.21. Как известно, у частицы в потенциале притяжения (/(г) = О ((/(г) — О при г- оо) не всегда имеются связанные состояния. Показать, что необходимым условием существования таких состояний является выполнение неравенства ~ г(У(г)~йг) йз(2т. Сравнить это условие с точным условием существования состояний дискретного спектра в потенциальных полях: прямоугольная яма (см.
4.1), б-потенциал и экспоненциальная яма (см. 4.8), см. также 4.32. 4.22. Показать, что выполнение условия 12 — „, ~ ~ У (г) [1 — ехр ( — 2 х/2те~/й' г)] й. ~ ) е, о является необходимым для существования в центральном потенциале 1/(г)( О (1/(г) — «О при г — +-оо) связанного состояния частицы с энергией связи ез (при ее-э-О это условие соответствует результату предыдущей задачи). 4.23. Найти функцию Грина 6с з(г, г') радиального уравнения Шредингера (1Ъ'. 6) для свободной частицы с Е = — й х'/2т ( О на отрезке (а, б! (при зтомО~а<Ь =оо): ах Р д» 1 д (1+ 1/2) 2щ 1.д»~+ г д» »~ я')сг! а(г, т')= = 6 (г — г'), удовлетворяющую граничным условиям ьг! л(а, г') = =0, (Ь, г')=О. 4.24.
Показать, что выполнение условия ~ г ( (/ (г) ! от ) (21 + ! ) и! й 7 2»п о является необходимым для существования в потенциале притяжения У(г) < 0 ((/ — 0 при г-~ оо) и! уровней с моментом 1 частицы. и 2. Состояния с малой энергией связи. Частица в совместном поле короткодействующего и дальиодействующего потенциалов 4.25. Обобщить результат задачи 2.13 на случай з-состояний частицы в центральном поле. Найти условия существованпя и появления новых дискретных з-уровней в потенциалах: а) У = — а/т' при т > а и У = — со при т < а, рис. 17; б) У= — а/(г+ а)~, а> 0; в) у — ц а4/( 2+ ас)з.
итт! Рис. 18 Рис. !7 г) У= — а/»'при т>а и У=со при т<а; з>2, рис. !7; д) У= — а/г' при г<а н (7=0 при г>а; 0<в<2, рис. 18. 4.26. Обсудить вопрос об условиях существования и появления новых связанных состояний частицы 52 с отличными от нуля значеннями момента при углублении потенциальной ямы на основе уравнения Шредингера для Е = О. Каково качественное отличие волновой функции в момент возникновения связанного состояния с 1~0 по сравнению со случаем 1= 0? Рассмотреть конкретные потенциалы а) У = = — ссб(г — 'а); б) У= — са/га при г) а и У= оо при г ~ а, рис. 17.
4.27. Параметры центрального потенциала Ус(г) таковы з), что в нем имеется состояние дискретного спектра с моментом 1 = 0 и Е = О. Волновая функция Чта = ул(г)/-у'4пг этого состояния (т. е. в момент возникновения уровня) считается известной и нормиРованной, длЯ опРеДеленности, Условием 11с(г)- 1 при г — со, Показать, что смещение этого уровня 6Ео под влиянием малого возмутцения 6У ~ 0 описывается выражением Применить полученный результат к потенциалу У = — пб(г — а) и сравнить с точным решением, см.
4.8, а. 4.28. Показать, что обобщение результата предыдущей задачи на случай 1Ф 0 имеет вид 6Е = ~ 6У(г)(~(с1(г))а 1г о где ута> — волновая функция в момент возникновения уровня (Ч'1'1=1111сТ, /г) — нормирована уже обычным условием ~ (Х~с1)зйг = 1, о Обратить внимание на различные законы углубления уровня 6Е1 оо 6У и 6Ео з — (6У)а под влиянием возмущения в случаях 1Ф 0 и 1 = 0 соответственно. ') При решении считать для простоты, что У ~ 0 при г ) а, а — радиус потенциала. Утверждение задачи сохраняется н для потенциалов, убывающих при г-~- со быстрее, чем ж 1/га, В связи с задачами 4.27 и 4.28 см.
также 13.49. Применить полученный результат к 6-потенциалу и сравнить с точным решением, см. 4.9, а. 4.29. Найти 4) сдвиги энергетических уровней частицы в центральном поле [у(г) под влиянием потенциала нулевого радиуса (п. н. р., см. 4.10), считая их малыми по сравнению с расстоянием между невозмущенными уровнями. Спектр и собственные функции оператора Гамильтона для потенциала [)(г) считать известными.
Указать условие применимости полученного результата. В качестве иллюстрации рассмотреть приложение к задаче 4.! 1. 4.30. Показать, что обобщение результата предыдущей задачи на случай, когда состояние а[<<1(г) является слабосвязанным, имеет вид Е„= — Ят~ — Е<ы — — <~Ь )2<а Я~в~(0)) 1, здесь )<'„'(г) — радиальная волновая функция в момент появления в-уровня с Е = О, нормированная условием гК'(и) — е 1 при г -э.оо, 4.31. Частица находится в поле [)(г) (причем г[)- 0 при г — к-0) и испытывает также действие потенциала нулевого радиуса, локализованного в точке г = О, см. 4.10. Считая известной функцию Грина частицы бо(г, г'1 Е) в потенциале [)(г), показать, что спектр связанных состояний в рассматриваемой системе может быть определен из уравнения ') ~ — (с<го(г, 0; Е)) 1 Получить отсюда для сдвига уровня результат теории возмущений по длине рассеяния (см. задачу 4.29, а также 11.4): ЛЕ„= ~"~ ) у<о<(о) )Я во здесь ао —= - 1/ао — длина рассеяния в п.
н. р., Ч' (г) — волновая функция нсвозмущенного уровня, <о) существующего в потенциале [l(г), а Лń— егосдвиг под влиянием п. н. р. 4) По затронутым в эадачая 4.29 — 31 вопросам см. также 1 1.4 и 9.3. ') Многочисленные приложения этой формулы рассмотрены в [20]. 4.32. Для монотонного потенциала притяжения: Е)'(г) ) О и Е)(г) — О при г- оо, показать, что выполнение неравенстна —, о( — 2т(«'(г) й'~ )1 а)) „) о является необходимым условием существования связанного состояния; сравнить с 4.21. Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
